在采用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時(shí)，首先必須對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，形成有限元網(wǎng)格，并給出與此網(wǎng)格相應(yīng)的各種信息，如單元信息、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、材料信息、約束信息和荷載信息等等，是一項(xiàng)十分復(fù)雜、艱巨的工作。如果采用人工方法離散對(duì)象和處理計(jì)算結(jié)果，勢(shì)必費(fèi)力、費(fèi)時(shí)且極易出錯(cuò)，尤其當(dāng)分析模型復(fù)雜時(shí)，采用人工方法甚至很難進(jìn)行，這將嚴(yán)重影響高級(jí)有限元分析程序的推廣和使用。因此，開(kāi)展自動(dòng)離散對(duì)象及結(jié)果的計(jì)算機(jī)可視化顯示的研究是一項(xiàng)重要而緊迫的任務(wù)。

有限元網(wǎng)格生成技術(shù)發(fā)展到現(xiàn)在, 已經(jīng)出現(xiàn)了大量的不同實(shí)現(xiàn)方法，列舉如下：

1.映射法

映射法是一種半自動(dòng)網(wǎng)格生成方法，根據(jù)映射函數(shù)的不同，主要可分為超限映射和等參映射。因前一種映射在幾何逼近精度上比后一種高，故被廣泛采用。映射法的基本思想是：在簡(jiǎn)單區(qū)域內(nèi)采用某種映射函數(shù)構(gòu)造簡(jiǎn)單區(qū)域的邊界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)，并按某種規(guī)則連接結(jié)點(diǎn)構(gòu)成網(wǎng)格單元。也就是根據(jù)形體邊界的參數(shù)方程，利用映射函數(shù)，把參數(shù)空間內(nèi)單元正方形或單元三角形(對(duì)于三維問(wèn)題是單元立方體或單元四面體)的網(wǎng)格映射到歐氏空間，從而生成實(shí)際的網(wǎng)格。

這種方法的主要步驟是，首先人為地把分析域分成一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單可映射的子域，每個(gè)子域?yàn)槿切位蛩倪呅危缓蟾鶕?jù)網(wǎng)格密度的需要，定義每個(gè)子域邊界上的節(jié)點(diǎn)數(shù)，再根據(jù)這些信息，利用映射函數(shù)劃分網(wǎng)格。

這種網(wǎng)格控制機(jī)理有以下幾個(gè)缺點(diǎn)：

（1）它不是完全面向幾何特征的，很難完成自動(dòng)化，尤其是對(duì)于3D區(qū)域。

（2）它是通過(guò)低維點(diǎn)來(lái)生成高維單元。例如，在2D問(wèn)題中，先定義映射邊界上的點(diǎn)數(shù)，然后形成平面單元。這對(duì)于單元的定位，尤其是對(duì)于遠(yuǎn)離映射邊界的單元的定位，是十分困難的，使得對(duì)局部的控制能力下降。

（3）各映射塊之間的網(wǎng)格密度相互影響程度很大。也就是說(shuō)，改變某一映射塊的網(wǎng)格密度，其它各映射塊的網(wǎng)格都要做相應(yīng)的調(diào)整。

其優(yōu)點(diǎn)是：由于概念明確，方法簡(jiǎn)單，單元性能較好，對(duì)規(guī)則均一的區(qū)域，適用性很強(qiáng)，因此得到了較大的發(fā)展，并在一些商用軟件如ANSYS 等得到應(yīng)用。

2.拓?fù)浞纸夥?/p>

拓?fù)浞纸夥ㄝ^其它方法發(fā)展較晚, 它首先是由Wordenwaber提出來(lái)的。該方法假設(shè)最后網(wǎng)格頂點(diǎn)全部由目標(biāo)邊界頂點(diǎn)組成, 那么可以用一種三角化算法將目標(biāo)用盡量少的三角形完全分割覆蓋。這些三角形主要是由目標(biāo)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定, 這樣目標(biāo)的復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)被分解成簡(jiǎn)單的三角形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。該方法生成的網(wǎng)格一般相當(dāng)粗糙, 必須與其它方法相結(jié)合, 通過(guò)網(wǎng)格加密等過(guò)程, 才能生成合適的網(wǎng)格。該方法后來(lái)被發(fā)展為普遍使用的目標(biāo)初始三角化算法, 用來(lái)實(shí)現(xiàn)從實(shí)體表述到初始三角化表述的自動(dòng)化轉(zhuǎn)換。

單一的拓?fù)浞纸夥ㄒ蛑灰蕾?lài)于幾何體的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)使網(wǎng)格剖分不理想，有時(shí)甚至很差。

3.連接節(jié)點(diǎn)法

這類(lèi)方法一般包括二步：區(qū)域內(nèi)布點(diǎn)及其三角化。早期的方法通常是先在區(qū)域內(nèi)布點(diǎn), 然后再將它們聯(lián)成三角形或四面體, 在三角化過(guò)程中,對(duì)所生成的單元形狀難于控制。隨著Delaunay三角化(簡(jiǎn)稱(chēng)為DT ) 方法的出現(xiàn), 該類(lèi)方法已成為目前三大最流行的全自動(dòng)網(wǎng)格生成方法之一。DT法的基本原理：任意給定N個(gè)平面點(diǎn)Pi(i=1,2,…,N)構(gòu)成的點(diǎn)集為S，稱(chēng)滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)集Vi為Voronoi多邊形。其中，Vi滿(mǎn)足下列條件：

Vi ={X：|X-Pi|(|X-Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,…,N }Vi為凸多邊形，稱(chēng){Vi}mi=1為Dirichlet Tesselation圖或?qū)ε嫉腣oronoi圖。連接相鄰Voronoi多邊形的內(nèi)核點(diǎn)可構(gòu)成三角形Tk，稱(chēng)集合{Tk}為Delaunay三角剖分。

DT法的最大優(yōu)點(diǎn)是遵循“最小角最大”和“空球”準(zhǔn)則。因此，在各種二維三角剖分中，只有Delaunay三角剖分才同時(shí)滿(mǎn)足全局和局部最優(yōu)。“最小角最大”準(zhǔn)則是在不出現(xiàn)奇異性的情況下，Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非Delaunay剖分所形成三角形最小角之和。“空球”準(zhǔn)則是Delaunay三角剖分中任意三角形的外接圓(四面體為外接球)內(nèi)不包括其他結(jié)點(diǎn)。

DT 技術(shù)發(fā)展到現(xiàn)在, 已經(jīng)出現(xiàn)了大量的不同算法。一般可以將其分為以下三大類(lèi)：以Bower 和Green、Sibsos 為代表的Voronoi方法；以Watson 為代表的空外接圓法和以L(fǎng)awson 為代表的對(duì)角線(xiàn)交換算法。一般來(lái)說(shuō),直接計(jì)算Voronoi 圖的方法比較復(fù)雜, 所需內(nèi)存大, 計(jì)算效率低。隨著直接計(jì)算DT 方法的出現(xiàn), 這類(lèi)方法現(xiàn)已很少采用。Lawson 算法特別適用于二維Delaunay 三角化, 它不存在象Watson 算法中出現(xiàn)的退化現(xiàn)象, 對(duì)約束情況同樣適用, 計(jì)算效率高。但在三維情況下, 對(duì)角線(xiàn)交換的推廣變成了對(duì)角面交換, 而對(duì)角面交換將可能改變區(qū)域體積和外邊界, 因此Lawson 算法不能直接推廣到三維情況。Watson 算法概念簡(jiǎn)單, 易于編程實(shí)現(xiàn),也能夠?qū)崿F(xiàn)約束三角化, 而且通過(guò)一些適當(dāng)修改, 例如, 增加每一單元的相鄰單元數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等, 可以將對(duì)三角形的搜索局限在新點(diǎn)所在單元的近鄰之中, 從而大大提高了原算法效率, 因此該法的應(yīng)用頻度最廣。但該法也有一些不足：即出現(xiàn)所謂退化現(xiàn)象或產(chǎn)生所謂Sliver 單元。

雖然Delaunay 三角化方法在2D 平面區(qū)域問(wèn)題中取得了相當(dāng)大的成功, 但在3D 情形, 基于最大2最小角判據(jù)的對(duì)角線(xiàn)交換規(guī)則不再成立, 而基于外接圓判據(jù)的Delaunay 三角化一般也不再能保證生成的網(wǎng)格質(zhì)量。非常遺憾的是, 這是Delaunay 三角化的本質(zhì)弱點(diǎn)。另外, 雖然Delaunay 三角化提供了一種較好的方法將空間點(diǎn)集三角化, 但Delaunay判據(jù)本身并不能指導(dǎo)怎樣在空間布點(diǎn), 因此, 必須尋找一種較好的布點(diǎn)方法, 既要點(diǎn)的分布滿(mǎn)足密度控制的要求, 又要求三角化的結(jié)果形狀盡可能好。目前基于Delaunay 三角化理論的3D 網(wǎng)格生成技術(shù)仍然是一活躍的研究課題, 許多學(xué)者正對(duì)此進(jìn)行深入研究。

Delaunay三角化網(wǎng)格自動(dòng)生成方法的事前(a-priori)網(wǎng)格控制能力不強(qiáng)。然而，Delaunay三角化網(wǎng)格自動(dòng)生成方法卻非常適合于事后(a-postoriori)網(wǎng)格局部加密，因?yàn)樗木W(wǎng)格控制機(jī)理是面向整個(gè)分析域的，可以通過(guò)在原來(lái)網(wǎng)格的任意局部插入新的節(jié)點(diǎn)，然后做新的三角剖分，達(dá)到局部加密的目的。

4.幾何分解法

在這種方法中節(jié)點(diǎn)與單元同步生成, 與拓?fù)浞纸夥ㄍ耆煌氖窃趯?shí)體分解過(guò)程中,考慮了所生成的單元形狀及大小, 確保生成的單元質(zhì)量盡量地好(在拓?fù)浞纸夥ㄖ? 并不考慮生成的單元形狀, 而且除邊界頂點(diǎn)外, 一般不增加新的頂點(diǎn))。常用的有兩種：遞歸法和迭代法。

遞歸法：Tracy、左建政和Chae等先離散二維物體邊界，然后沿離散邊界向物體內(nèi)挖掉一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)三角形，重復(fù)此操作直到區(qū)域挖空為止。Lindhom、Blacker和B.P. Johnston等使用的迭代法不同于前者，首先從物體中挖掉邊界層而不是單元，然后三角化邊界層。上述為二維迭代法，Chae在此基礎(chǔ)上發(fā)展了三維迭代幾何分解法，主要分兩步：采用二維迭代幾何分解法生成表面三角形，然后采用三種算子挖切凸體為四面體。在挖切時(shí)，突出的特點(diǎn)在于采用新方法生成關(guān)鍵點(diǎn)。

關(guān)鍵點(diǎn)的生成分兩步考慮：一是考慮新點(diǎn)對(duì)周?chē)婧瓦叺挠绊懀欢峭ㄟ^(guò)調(diào)整比例因子來(lái)確定新點(diǎn)位置。Chae也將所提出的算法成功地應(yīng)用于自適應(yīng)網(wǎng)格生成中，但由于被剖分物體形狀必須是單連通凸域，因此，不能實(shí)現(xiàn)全自動(dòng)網(wǎng)格生成。

迭代法：Bykat采用該法。他首先將物體劃分為凸體(手工或自動(dòng))，隨后根據(jù)網(wǎng)格密度分布，在每個(gè)凸體邊界上插入結(jié)點(diǎn)，然后將物體中間“最長(zhǎng)軸”一分為二，在該軸上插入結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)對(duì)兩部分做遞歸分割直到最后子域均為三角形為止。商業(yè)網(wǎng)格生成軟件Triquamesh仍采用該法，只是分割線(xiàn)的選取與Bykat不同。

幾何分解法的最大優(yōu)點(diǎn)是在離散物體時(shí)考慮網(wǎng)格單元的形狀和大小，因此，所生成的網(wǎng)格單元形狀和分布均較好。最大缺點(diǎn)是自動(dòng)化程度低，不利于復(fù)雜件網(wǎng)格生成。

5.柵格法

柵格法又分為柵格疊合法和四(八)叉樹(shù)法。

柵格疊合法最早由Thacker，GonzaleZ和Putland提出，它是將柵格置放于物體之上。既可在柵格的規(guī)則點(diǎn)處布置節(jié)點(diǎn)，也可在柵格單元中隨機(jī)布置結(jié)點(diǎn)，容易得到均勻網(wǎng)格，然后對(duì)柵格與物體求交，將在物體外的柵格去掉，物體內(nèi)的柵格保留作為網(wǎng)格。在邊界處的柵格需要變形，也就是要調(diào)整節(jié)點(diǎn)的位置以滿(mǎn)足邊界條件的要求，最終產(chǎn)生的網(wǎng)格內(nèi)部單元完全一樣，只是邊界單元不同。柵格越密, 網(wǎng)格質(zhì)量將越好。這種方法的不足是所生成的網(wǎng)格與所選擇的初始柵格及其取向有關(guān), 網(wǎng)格邊界單元質(zhì)量差。這種方法在原理上相當(dāng)簡(jiǎn)單,也易于擴(kuò)充到三維, 對(duì)于相對(duì)規(guī)則的問(wèn)題區(qū)域不失為一種簡(jiǎn)單有效的方法。

叉樹(shù)法網(wǎng)格生成的過(guò)程是完全面向幾何特征的，它通過(guò)一系列幾何操作，同時(shí)從幾何模型數(shù)據(jù)庫(kù)中取得分析物體的幾何信息，以及網(wǎng)格控制參數(shù)信息等，來(lái)完成網(wǎng)格劃分。叉樹(shù)法主要指四叉樹(shù)和八叉樹(shù)編碼法。對(duì)于二維問(wèn)題，一個(gè)方形區(qū)域用四叉樹(shù)法分成4個(gè)四邊形，每個(gè)四邊形再繼續(xù)用四叉樹(shù)法細(xì)分，最終形成四邊形網(wǎng)格。三維情況采用類(lèi)似的八叉樹(shù)法可得到六面體網(wǎng)格。概括起來(lái)說(shuō)，該算法主要由以下兩個(gè)步驟完成，1)首先找到一個(gè)能夠完全包含分析域的正方形，然后利用四叉樹(shù)性質(zhì)離散該正方形至所需要的大小。同時(shí)，把這些離散信息保留在一個(gè)四叉樹(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)中，通過(guò)這個(gè)樹(shù)狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，把離散的子正方形聯(lián)系起來(lái)。

2)從第一步產(chǎn)生的四叉樹(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)中，取出滿(mǎn)足終止條件的邊界和內(nèi)部子正方形來(lái)形成網(wǎng)格單元，并存儲(chǔ)于網(wǎng)格數(shù)據(jù)庫(kù)中。同時(shí)，使某些特殊點(diǎn)自動(dòng)成為網(wǎng)格單元的節(jié)點(diǎn)，例如結(jié)構(gòu)的支撐點(diǎn)、集中載荷的作用點(diǎn)等。大多數(shù)實(shí)體造型系統(tǒng)都采用樹(shù)形數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行幾何及拓?fù)涿枋觯诖嘶A(chǔ)之上，Yerry等提出了“修正的八叉樹(shù)”法等有限元網(wǎng)格生成算法。基于“修正的八叉樹(shù)”法的空間編碼法在問(wèn)題域內(nèi)部容易生成高質(zhì)量的單元，但是邊界單元需要進(jìn)一步處理，以免因質(zhì)量太差而不適合有限元分析。空間編碼法有兩個(gè)本質(zhì)屬性即階梯結(jié)構(gòu)和空間可訪(fǎng)問(wèn)性可以實(shí)現(xiàn)與實(shí)體造型系統(tǒng)的集成，并且客易精整網(wǎng)格質(zhì)量。

雖然有限四(八)叉樹(shù)方法已經(jīng)取得了相當(dāng)大的成功, 它適用于任何復(fù)雜的二維和三維區(qū)域問(wèn)題, 而且算法效率幾乎與單元節(jié)點(diǎn)數(shù)呈線(xiàn)性增長(zhǎng), 其網(wǎng)格生成易于實(shí)現(xiàn)密度控制, 易于進(jìn)行自適應(yīng)分析, 也易于同實(shí)體造型系統(tǒng)相結(jié)合, 但其缺點(diǎn)也是明顯的, 所生成網(wǎng)格與所選擇的初始柵格及其取向有關(guān), 網(wǎng)格邊界單元質(zhì)量差, 程序?qū)崿F(xiàn)相當(dāng)復(fù)雜, 所需內(nèi)存較大, 不利于實(shí)現(xiàn)并行處理等。

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