2. 數(shù)學(xué)模型及其假設(shè) (Mathematical Models and Assumptions)

數(shù)學(xué)模型及其假設(shè)(Mathematical Models and Assumptions) for Solid

令 u, v ,w 代表速度分量，x,y 是平面坐標(biāo)軸而z是gapwise坐標(biāo)軸。假設(shè)空孔中充填的是不可壓縮流體，一般的射出充填可以很合理的假設(shè)為黏滯流。

射出成型常用的原理簡圖

在充填階段，空氣與塑料都被假設(shè)為不可壓縮的而熔膠的流動行為則以一般牛頓流體來描述。因此3D充填行為可以數(shù)學(xué)形式描述如下：

其中 u 是速度向量，T 是溫度，t 是時間，p是壓力，σ是總應(yīng)力張量，ρ是密度，η是黏度，k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，Cp 是比熱，是剪應(yīng)變速率。要解決這個問題，高分子的特性必須被適當(dāng)?shù)拿枋觥＠纾号cArrhenius 溫度有關(guān)的modified-Cross 模型被用來描述高分子熔流的黏度。

和

其中 η 是power-law指標(biāo)，η0 是零剪力黏度，τ* 是描述零剪應(yīng)變區(qū)域與黏度曲線的power-law區(qū)域間的轉(zhuǎn)換區(qū)域之參數(shù)。體積分率函數(shù)f 是為追蹤流動波前的進展而導(dǎo)入的函數(shù)，f = 0 代表是氣相，f = 1代表高分子熔流相，當(dāng)流動波前處于cells中時 0<f<1。f的增加除以時間可以以下的傳輸方程式來概括：

模具入口的流率與射出壓力是有規(guī)定的。假設(shè)模具內(nèi)壁沒有任何滑移。體積分率函數(shù)的雙曲線傳輸方程式只需要入口的邊界條件。

數(shù)學(xué)模型及其假設(shè)(Mathematical Models and Assumptions) for Shell

理論上，射出成型之過程是一個移動波前有關(guān)的三維瞬時問題。非牛頓流體充填與熱傳導(dǎo)等問題都須于一并考慮。針對薄殼系統(tǒng)而言，一般可應(yīng)用Hele-shaw 流體模式在非等溫條件下表征其特性。在下圖中，令u、v、w代表速度分量，x及y是平面上的坐標(biāo)，而z是厚度方向(gapwise)坐標(biāo)。當(dāng)假設(shè)為不可壓縮流體被充填入薄殼模穴中，此時忽略厚度方向的速度分量w。對一般的塑料射出而言，忽略慣性效應(yīng)為非常合理之假設(shè)。另外，我們假設(shè)厚度方向的熱對流可忽略，且流動方向的熱傳導(dǎo)也一并忽略()。

傳統(tǒng)上射出成形程序的近似分析方法示意圖

基本上，流動的方程式通常包括質(zhì)量守恒、動量守恒及能量守恒。

質(zhì)量守恒Conservation of Mass

如上假設(shè)所述，質(zhì)量守恒定律可以表示為：

?·(u) = 0

u在此處代表速度向量。通常大家希望能夠?qū)ι鲜阶鳇c修正，即以微分或其導(dǎo)函數(shù)項來表示之：

此顯示在直角坐標(biāo)系統(tǒng)中沿不同方向的變化量。

動量守恒Conservation of Momentum

根據(jù)動量守恒定律，流體在某固定的體積下，其總動量只會因為經(jīng)由表面進入流體的動量凈流入量及重力這樣的外力作用在流體上時才會增加。可以下式表示之：

此處是每單位體積的質(zhì)量乘上加速度，此為慣性作用效應(yīng)。當(dāng)處于穩(wěn)態(tài)且無慣性作用時，若進一步忽略重力的效應(yīng)后，式子可被簡化成：

Stokes equation這就是著名的史托克方程式(Stokes equation)。此方程式經(jīng)常被應(yīng)用到其他3D 模具充填分析軟件，用來當(dāng)作默認(rèn)的方程式,  以此方程式為基礎(chǔ), 此動量方程式甚至可簡化為：

當(dāng)應(yīng)用材料不可壓縮性后，并導(dǎo)入厚度方向的平均速度分量，，我們可以進一步簡化：

其中，且 h 是厚度的一半。

所以質(zhì)量與動量守恒可以簡化成與壓力有關(guān)的質(zhì)量-動量方程式