但是，神經網絡只是在應力應變數據對上進行訓練，預測一階倒數的效果并不好。可以參考Czarnecki, W. M., Osindero, S., Jaderberg, M., Swirszcz, G., & Pascanu, R. (2017)的圖3（如下所示），即使加入了在訓練中加入了一階導數，模型的在一階導數的預測上與真實值仍然有一定差距。

因此，我們將基于神經網絡的本構模型與顯式有限元求解器，以繞過對切向矩陣的需求。顯式有限元求解的控制方程：

通過計算更新加速度，基于時間積分，更新節點位移即可。

這項工作展示了從雙軸、擋土墻和剛性條形基腳模擬中提取的宏觀結果和高斯點應力-應變曲線。

首先，將神經網絡在IME模型（Isotropic elastic, von-Mises yield surface and Exponential hardening）模擬得到的數據集上訓練。然后將神經網絡嵌入到顯式FEM中計算，下圖展示神經網絡重現IME模型的模擬結果。神經網絡能夠完全重現IME模型的模擬結果。

然后神經網絡在CSUH（Critical State Unified Hardening）模型Yao, Y. P., Liu, L., Luo, T., Tian, Y., & Zhang, J. M. (2019)模擬得到的數據集上進行訓練。神經網絡初步訓練后嵌入到FEM計算中，模擬結果如下圖所示。模型在初始階段計算良好。在加載的最后階段，即將進入臨界狀態的時候，由于預測誤差累計，模擬結果產生偏差。右邊的剪應變云圖的剪切區也有細微的誤差。在有限元計算中嵌入的基于神經網絡的模型幾乎能夠在宏觀層面上重現本構模型計算結果。

進一步檢查積分點上的應力應變，如下圖所示。模型在初始階段預測結果較好，但是隨著加載的進行，誤差逐漸增大，FEM-NN計算結果與CSUH模型計算結果偏差逐漸增大。

隨后，提出了一種檢查-修正的方法，通過增加訓練數據集覆蓋的空間提高神經網絡預測的泛化能力，迭代優化基于網絡的有限元計算。

下圖展示了神經網絡采用檢查-修正方法優化效果。初次訓練后（NN 0），FEM-NN的計算結果較差。優化到第三次的時候，神經網絡模型開始能夠展示基礎的剪切貫穿破壞。優化到第12次之后，計算結果逐漸收斂。

最后，我們檢查了神經網絡嵌入到FEM后，積分點上的預測誤差的出現和傳播的過程，如下圖所示。在雙軸壓縮模擬中，右下角的誤差出現后處于波動的狀態，沒有急劇增長。但是在擋土墻和條形基礎的模擬中，誤差出現后逐漸累計并且擴散。誤差值越來越大，并且誤差逐漸傳播到其他鄰近積分點上。這種誤差的累積和擴散極有可能導致輸入超出神經網絡本構的訓練范圍，最終導致計算失敗。積分點的最佳預測并不能保證基于神經網絡的計算取得成功，但最差的預測會導致計算失效。