通常，當您使網格變得更細時，應力會收斂到其標稱值 。然而，情況可能并非總是如此。下面我們有一個承受拉力的圓軸，具有不同的網格尺寸：正如您所看到的，隨著網格變得更細，最大應力繼續增加（發散），并且始終集中在截面突變最后一行單元上。這是否意味著 FEA 已失效，我們不能再相信其結果？完全不是——這是一種稱為凹角的應力奇點。

什么是凹角？

我們可以將凹角定義為完全尖銳的內角，它會導致零件的剛度發生突變。由于剛度的突變，凹角處的應力始終會發散。  

 

讓我們用一個例子來說明這一點。這里我們有四個梁單元以一定角度排列，并標記了單元和節點。由于單元 3 沿 x 軸，其剛度矩陣涉及節點 3 和 4 處形狀函數相對于 x (dN/dx) 的導數。然而，在節點 3 處，形狀函數相對于 x 的導數為 0，因為元素 2 沿 y 軸。這導致剛度矩陣僅包含 0。

由于單元 2 沿 y 軸，其剛度矩陣涉及節點 2 和 3 處的形狀函數相對于 y (dN/dy) 的導數。然而，在節點 3 處，形狀函數相對于 y 的導數為 0，因為元素 3 沿 x 軸。這也會導致剛度矩陣僅包含 0。無論使用哪個元素來制定剛度矩陣，節點 3 處的剛度矩陣也將全部為 0，從而導致應力奇點。 

 

如果我們在此示例中添加圓角半徑，則可以在節點 3 處制定剛度矩陣，因為元素 2 和 3 的 x 和 y 均發生變化。

凹角在 FEA 中非常常見 - 它們的出現可能是由于 CAD 中組件的建模方式造成的，或者是由于幾何簡化而產生的。

對于凹角該怎么辦？

第一步（也是最重要的）是首先識別凹角！如果您不確定，可以隨時嘗試使該區域的網格更細，看看應力是否發散。

一旦確定了凹角，最簡單的方法就是忽略凹角上的應力。 如果凹角不在關注的高應力區域，則此方法最有效。 通常，距離拐角一兩個元素的應力更為真實。這在學術的術語中被稱為 圣維南原理 ，其中指出：

“在遠離載荷應用區域的物體上的點處產生的應力和應變將與具有相同靜態等效結果并施加到同一區域內的物體的任何施加載荷產生的應力和應變相同”。

如果橫截面允許，對凹角處的截面力進行手動計算通常也會給出更準確的結果，特別是在運行線性靜態分析時。

如果凹角位于所關注的高應力區域，另一種方法是添加小半徑，從而將應力奇點轉變為應力集中。這將使網格正確收斂。此外，在幾乎所有實際應用中，由于制造限制，實際上并不存在完美尖銳的凹角，因此添加較小的半徑是有效的。

在此示例中，橫截面直徑為 10 毫米、長度為 10 毫米的軸在 X 方向上加載 500 N 的力。該分析是在線性靜態假設下進行的。

在下面的輪廓中，軸和較厚的部件（直徑為 30 毫米）之間沒有半徑。就像本博客前面的張力示例一樣，拐角處的應力值會發散，因為沒有半徑，因此存在凹角。

上表將 FEM 的應力值與距凹角 1mm 處手工計算的應力進行了比較。正如您所看到的，在距拐角 1mm 處，FEM 應力與手工計算的應力相當吻合，而 FEM 應力在拐角處發散。手動計算應力的公式為

其中P是預期應力，V是剪切力，M是彎矩，A 是橫截面積，I是面積慣性矩，r是半徑。在距拐角 1mm 處，我們預計V = 500N，M = 4,500Nmm。

作為直接從 FEM 探測應力的替代方法，您可以拉動截面力，這將為您提供更現實的答案，該答案將隨著網格變得更精細而收斂。

截面力，拐角：

截面力，距離拐角 1 毫米：

上表將根據截面力計算出的應力值（使用與之前相同的公式）與手動計算的凹角處和距凹角 1mm 處的應力進行了比較。與上表中的有限元力相比，兩個位置的截面力均趨向于手動計算值。然而，有一個非常重要的警告 - 盡管凹角處的應力在現實生活中不會是無限的，但這些角仍然會是應力集中，因此應力會升高。該升高的應力相當于手動計算的應力乘以應力集中系數 (Kt)。如果存在已知或假設的半徑，則可以使用Peterson 應力集中因子等資源來量化應力集中因子并與截面力結合使用來查找真實應力，這在下面的示例中完成。

在下面的輪廓中，同一軸添加了 0.5 mm 的半徑。

上圖顯示，當添加小半徑時，應力值會收斂。在這種情況下，由于半徑引起的應力集中，這些應力將與截面力不匹配；然而，這種應力集中可以使用Peterson 的應力集中因子進行量化。下表中，之前拐角處的手計算應力乘以 Kt = 2.39，這是使用Peterson計算得出的。

上圖顯示，當添加小半徑時，應力值會收斂。在這種情況下，由于半徑引起的應力集中，這些應力將與截面力不匹配；然而，這種應力集中可以使用 Peterson 的應力集中因子進行量化。下表中，之前拐角處的手計算應力乘以 Kt = 2.39，這是使用 Peterson 計算得出的。

根據 Peterson 的應力集中因子：

需要強調的是，使用半徑時網格尺寸確實很重要 - 如果半徑的保真度不夠，您將無法獲得正確的應力值。 在上圖中，圓圈區域中的應力彼此相差 <5%，其變化是由于每個網格尺寸（0.125mm、0.25mm 和 0.5mm）在半徑范圍內具有不同數量的單元。
最后的想法

        凹角是應力奇點，應力在數值上隨著網格變得更精細而發散。雖然完美的凹角在現實生活中非常罕見，但由于幾何簡化，它們在有限元分析中非常常見。 處理它們的兩種最有效的方法是忽略拐角處的應力或引入小半徑。 了解如何有效處理這些問題是執行正確 FEA 的重要方面。

文章來源：abaqus仿真世界