很多材料都具有各向異性的特性，并且在很多情況下，各向異性與材料的形狀相關。COMSOL Multiphysics? 軟件提供了多種定義曲線坐標系的方法（曲線坐標系可作為局部坐標系來定義材料的各向異性）。這篇文章，我們將討論每種曲線坐標系定義方法的概念以及如何進行選用。
各向異性特性
各向異性特性廣泛存在于各個領域，例如，具有地震各向異性的巖層、液晶顯示器中使用的液晶、航空工業中使用的輕質但仍能承受高負荷的材料，或者最接近生物軟組織性能的醫療替代品，等等。
曲線坐標系的基礎知識
讓我們了解一下這個案例，考慮一種碳纖維增強聚合物，其中嵌入環氧樹脂基體中的編織纖維沿纖維軸向具有較高的熱導率，在橫截面上具有較低的熱導率。如果想要使用熟悉的笛卡爾坐標系來表示纖維的各向異性幾乎是不可能的。但是，如果有一個跟隨纖維走向的坐標系，就可以直接設置各向異性特性。
環氧樹脂基體中的編織纖維。
如何確定這樣的坐標系呢？在物理學上，有許多效應會產生跟隨幾何形狀的矢量場，例如，順著纖維的流動，或者從纖維一端到另一端的熱傳導，甚至是產生磁場的一束載流導線。這些正是 COMSOL? 軟件中用來計算曲線系統的方法，所有這些方法都可以用來計算構成第一基矢 
的矢量場 
。由于大多數應用需要歸一化的矢量場，COMSOL Multiphysics 會自動除以 
進行歸一化處理。第二個矢量場可以手動指定，笛卡爾坐標通常是一個不錯的選擇。以此為起點，我們重建第二基矢 
，確保它與 垂直，并被歸一化處理。最后，這兩個矢量的叉積得到第三基矢 
。
在軟件內部，使用直角坐標系 
進行計算，并將所有涉及不同坐標系的量轉換到 
坐標系。任意坐標系中，由矢量 
給出的方向總是可以轉換為笛卡爾坐標，如下所示：
式中，
是變換矩陣。對于逆變換，只需使用逆
，如果
是正交的，那么
。
接下來，我們來介紹 COMSOL Multiphysics 中可用于計算曲線坐標系的不同方法，包括：
擴散方法
擴散方法求解拉普拉斯方程：
。解
是一個標量勢，它的梯度構成了第一基矢。因為只求解一個標量勢，所以這個方法的計算成本很低。矢量場的方向由入口和出口的邊界條件指定。如果幾何結構是一個閉環，我們可以在內部邊界上設置突變邊界條件來指定方向。
擴散法相當于在入口和出口邊界溫度不變的情況下求解穩態熱傳導方程。然后，溫度梯度形成第一基矢，如下圖所示。
曲線坐標系（箭頭）、溫度梯度（流線）和溫度（表面）。
自適應方法
自適應方法與擴散方法類似，也是基于拉普拉斯方程求解的。此外，該方法所得到的矢量場與幾何結構相適應，能使流線密度在幾何橫截面上保持恒定。在使用
AC/DC 模塊
（COMSOL Multiphysics 的一個附加產品）模擬 3D 磁應用時，這個公式被用于建立多匝線圈（線束）模型。對于多匝線圈，因為假設每根導線攜帶的電流相同，且導線的間距均勻，所以電流密度在橫截面上應該是大致恒定的。
流動方法
流動方法求解不可壓縮斯托克斯方程的一個矢量場和一個標量，因此這種方法在計算上是最耗費資源的。其邊界條件與擴散方法相同，一個物理上的類比是不可壓縮的蠕動流，在入口處有恒定的法線速度，出口處有固定的壓力。產生的速度場得到第一基矢。
曲線坐標系（箭頭），速度場（流線），和壓力（表面）。
彈性方法
其中，
是矢量場，
是單位矩陣，
是特征值。
與流動方法相比，這種方法的計算成本略低，因為只求解一個矢量場。這種性能上的差異在 2D 模型中更為明顯。其入口和出口的邊界條件相同，即，
。在使用自適應方法之前，這種方法被用于模擬多匝線圈，因為它可以產生最佳的截面恒定流線密度。
曲線坐標系（箭頭），線圈方向（灰色流線）和磁通密度（紅色流線）。
除了這些預定義的方法外，COMSOL? 軟件還像往常一樣提供用戶定義的輸入。你可能會遇到想要手動實現曲線坐標的其他情況，比如用于模擬
動脈壁膠原軟組織的各向異性超彈性材料
。
應該如何選擇？
乍一看，所有方法產生的坐標系結果相同。然而，有些幾何結構需要特別注意，當將坐標系應用于不同物理場時，選擇不同的方法會產生明顯不同的結果。對于有以下至少一項特征的幾何結構，需要特別注意。
曲率
仔細觀察各種方法的流線。請注意，這些流線按照定義了第一基矢的矢量場，從等距離的點開始，但遵循不同的路徑，如下圖所示。
擴散法：流線遵循”最短”路徑。
自適應方法：均勻分布的流線。
彈性方法：流線傾向于在凸形彎道處積聚。
流動方法：流線傾向于在凸形彎道處積聚。
如果彎道非常尖，每種方法的差異就更加明顯，而自適應方法也可能會形成非均勻的流線密度。
變化的截面
在這種情況下，使用彈性方法可能會失敗，得到的特征值與特征向量并不能產生所需的坐標系，而且我們可能不得不手動搜索正確的特征值。由下圖可以看到，在幾何結構的上部，流線也沒有完全遵循形狀。擴散法和自適應法也有類似的行為，但沒有那么明顯。在這個情況下，流動方法產生了最好的結果，但計算量也最大。
沿著幾何結構中心平面的流線。
傳熱應用
回到我們的纖維模型，在纖維方向上的各向異性熱導率為
，而垂直于此方向的熱導率為
。如果這些方向與坐標系的軸線重合，則二階張量熱導率有 0 個對角線單元。
為了能夠使用這種對角線形式，必須在求解傳熱之前計算纖維的曲線坐標系。由于幾何結構沒有急劇的彎曲或變化的橫截面，因此使用擴散方法可以快速得到曲線坐標系的解。
之后，可以在纖維中的傳熱節點中參考這個坐標系。熱導率的各向異性可以在材料節點中定義，使用語法
。或者，可以在相關的傳熱節點中選擇用戶定義的輸入。
相關傳熱節點中各向異性的定義。
在該模型中，一個高斯脈沖形式的邊界熱源被施加到幾何結構的中心，溫度沿著纖維擴散。
流線表示用曲線坐標接口得到的矢量場。
如果想直觀地觀察結果，例如，查看熱導率的 xx 分量(
)，則需要在直角坐標中繪制 xx 分量
。根據上面描述的變換，纖維的熱導率張量，
，是非對角線形式的。用于定義
的局部基矢量系統，
，現在經過空間變化變為
。在這個模型中，您還可以在切面圖中繪制例如熱導率矢量等分量，可以在相應的設置窗口的表達式 菜單中選擇它們，或者簡單地輸入 ht.kxx（其中 ht 是用于該模型的固體傳熱接口的標簽）。
結束語
在這篇文章中，我們介紹了 COMSOL Multiphysics 中包含的定義曲線坐標系的不同方法，以及在什么時候應該選擇哪種方法。
綜上所述，對于大多數應用，使用自適應方法可以得到最佳解，而且計算成本相對較低。擴散方法的計算成本更低，但適用于沒有彎道或變化截面的簡單幾何形狀。其他方法在特定的情況具有優勢，對一些應用也很有意義。
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優點：計算成本比流動方法低，比擴散方法能更好地表現中等程度的彎曲。
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缺點：經常需要手動選擇特征值，并不是在所有情況下都很穩健。
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優點：穩健的方法，支持處理橫截面變化和急劇彎曲的應用
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文章來源：comsol
