相似三角形剖分

新函數(shù) GeometricScene 的參考文檔頁面有一個巧妙的示例，給出了下面的代碼片段，其中 GeometricAssertion 調(diào)用七個相似三角形：

使用初始化部分定義的 SqrtSpace 求笛卡爾坐標(biāo)。

皮索數(shù)

塑膠常數(shù) P 是最小的皮索數(shù)（Pisot number，大于1且單位圓盤中有共軛元素的實數(shù)代數(shù)整數(shù)）。這是前四個和第九個皮索數(shù)，將值顯示為外部的點和內(nèi)部的共軛元素。

這是參考文檔中提到的第二個巧妙范例。將多邊形分解為相似三角形：

這個解可以被擴(kuò)展為九個相似三角形。

黃金和超黃金比例

與 P 和 X 相關(guān)的是黃金比例，在比薩的列奧納多·波那契1202年的著作《計算之書》（Liber Abaci）中有提到。本書的開始是阿拉伯?dāng)?shù)系統(tǒng)

《計算之書》后面介紹了兔子問題，引出我們現(xiàn)在常說的斐波那契數(shù)列。“Fibonacci” 這個名字于1838年由“filiusBonacci” 或 “Bonacci之子”得來。

這顯示了斐波那契兔數(shù)列及其與黃金比例（phi）的關(guān)系。

1356 年，Narayana 在他的書 Ganita Kaumudi 中提出了以下問題：“一頭母牛每年生下一頭小牛。小牛在三歲時生出另一只小牛。一頭奶牛在二十年間產(chǎn)生的后代數(shù)量是多少？“

我們可以使用 Mathematica 來顯示 Narayana 奶牛序列及其與(psi)的關(guān)系，即超級黃金比例。

巴都萬（Padovan）數(shù)列和佩蘭（Perrin）數(shù)列中連續(xù)項的比率都趨向于，如 Fibonacci 和 Padovan 螺旋恒等式和 Padovan 的螺旋數(shù)所示。這里顯示了這兩個兔和牛序列：

構(gòu)造幾何圖形

幾乎所有的正多面體和阿基米德立體都可以通過作用于上的八面體組或者作用于  上的二十面體組來構(gòu)建。以下情形除外：

1. 扭棱立方體需要的一個根（泰波那契常數(shù)）。

2. 扭棱十二面體需要的一個根。

3. 扭棱三十二面體需要的元素（未顯示）。

這將構(gòu)建頂點坐標(biāo)位于給定代數(shù)域的前兩個扭體。

如果兩個根具有相同的判別式，則它們通常屬于相同的代數(shù)域。這是泰波那契常數(shù)的兩個多項式。

泰波那契常數(shù)是多項式奇數(shù)系列的一部分，這些多項式將黑格納（Heegner）數(shù)和 j 函數(shù)聯(lián)系在一起，以多種方式導(dǎo)出極端接近整數(shù)（Almost integer）。

這些剖分都可以在第 12 版中找到。

的第三個根可以求解圓盤覆蓋問題和 Heilbronn 三角形問題。

無窮級數(shù)

目前為止所引入的許多數(shù)值都可以表達(dá)為自身負(fù)冪數(shù)的無窮級數(shù)。

通過將面積為 2 的等腰直角三角形剖分成越來越小的相似三角形可以證明第一個級數(shù)。或者使用此處所示的相似三角形無限剖分。

的無窮級數(shù)也可以用相似三角形的無窮集合來說明。

的無窮級數(shù)可以用無窮個相似 Rauzy 分形來說明。

的無窮級數(shù)可以用無窮個相似分形來說明。

這是上述值的表格：

重復(fù)剖分

實際上這些“自我加和”的無窮級數(shù)也有不尋常的自相似三角形剖分，在演示項目 Wheels ofPowered Triangles 中可以窺豹一斑。

重復(fù)剖分；為了減少混沌，具有相同方向的三角形顏色相同。這是 18 步后的剖分。

下面的風(fēng)車鑲嵌并沒那么無序。風(fēng)車三角形最終具有無限多個方向，但混沌進(jìn)展的速度比前面所示的慢。

這是 180 步后 X 分形的一部分。

這是 40 步后塑料分形的一部分。

通過在剖分中使用對稱性，結(jié)果證明存在具有不同屬性的十二個代入鑲嵌 (substitution tilings)。

“巧妙范例”確實巧妙，十二個新的代入鑲嵌就此產(chǎn)生。