自從托馬斯·羅伯特·馬爾薩斯面世，科學家們就一直在尋找在資源有限的情況下人口增長的極限在哪里。其中一個資源就是地下水。全球約 40% 的食物產量依賴于灌溉，而灌溉水的來源就是地下含水層。地下水灌溉讓種植者可以增加農作物產量，讓農作物在旱季得以生存，在雨季時又可以平衡所需水量和雨量之間的不平衡。在世界上的很多地方，抽取地下水（或從井中泵上來）的量已經大于補給的水量，導致地下水枯竭。在這些地方，地下含水層的“可持續年限”有限，也給每年灌溉的量和基于地下水農業的可持續發展套上了限制。而這個研究的目的則是提出一個動態系統框架用于解釋基于地下水的灌溉過去的趨勢并為食物產量提供預測。

我和我的聯合作者選擇了美國高原蓄水層（ HP 蓄水層，也叫做奧加拉拉蓄水層)作為實驗臺，原因有二：

首先，HP 蓄水層從德克薩斯的狹長區域延伸到南達科他，穿過八個州，這樣也就在地下水抽取、回補的互動與天氣和農作物年產量的提高中展示出不同的水平。

蓄水層從又熱又干燥的氣候（南部）延伸到又濕又冷的氣候（北部）。

內布拉斯加州的（代表北部）的回補率堪憂，而德克薩斯（南部）和堪薩斯（中部）的回補率分別比內布拉斯加高大約四倍和八倍。

第二，美國地質勘探局（USGS）和美國農業部（USDA）都有大量關于農作物產量和地下水抽取和使用的數據。

HP蓄水層是這八個州的一部分，也是美國最大的蓄水層，面積高達17.6萬平方英里。

使用Wolfram語言，我們可以從 USGS 獲取 HP 蓄水層的外部多邊形輪廓，并將其轉換為合適的地理投影：

然后我們可以獲取與 HP 蓄水層重疊的美國州的區域，并在地圖上可視化：

在這篇博文中，我會重點關注德克薩斯高原農業。我們在研究過程中發現這個地方很有意思，在分析中給我們提供了一些驚喜。至于堪薩斯和內布拉斯加的分析，請看我們發表的論文。

這里是一個顯示 HP 蓄水層和德克薩斯不同 USDA 農業區域的地圖：

在兩個與蓄水層相重疊的區域（北部和南部高原）中，四種最常種植的農作物是玉米、棉花、高粱和冬小麥。繪制地下水抽取的速率和農作物的產量，我們能得到：

觀察這些數據，我們得到三個顯著特點：

• 地下水抽取和農作物產量都是先上升、到達頂峰再下降。

• 農作物產量的趨勢和峰值滯后于地下水抽取。

• 在1987年前后有兩次“爆發-崩盤”的周期。

我的博士的專業是環境科學，本科讀的是機械工程，這個教育背景讓我意識到了前兩個顯著特點也是捕食-食餌動態模型的特點。所以，我們會使用經改良后的捕食-食餌方程式（或稱作 Lotka–Volterra 方程式）來模擬地下水抽取和農作物產量之間的關系：

其中 W 和 C 分別代表可使用地下水的體積和農作物產量的速率。在顯示的方程式中，r代表每單位表面面積的回補速率，這是一個由字面意思定義的值， 表示德克薩斯州地下的高原蓄水層的表面面積。通過降雨和地表水流如溪流和干荒盆地等的滲透進行回補。

捕食者存在的數量越多（C 越大），則食餌的“人口”會越快縮小（W 減小）。當W 下降，意味著地下水位越深。也就意味著種植者需要花費更多能量抽取地下水。這也就減少了抽取量（由  表示）和農作物產量。

方程式 2 的第二項對捕食與食餌之間的“競爭”進行了編碼。換句話說，農作物產量越高，在某一個點上，農作物的密度不斷增加，即會致使農作物之間進行競爭，最終導致農作物的總生產量下降。

我們進行數據擬合，其中 K1WC 代表地下水抽取，C 代表農作物生產速率。這是為了求的參數 K1 的值。我們下面應用的是地下水抽取和農作物產量（1987）數據反彈前后的擬合：

模型可以抓住地下水抽取和農作物產量的峰值的特點，也可以抓住兩者之間的時間差特點。不可再生資源的使用高峰期在 Hubbert 發表的《預測 1956 年美國原油生產達到峰值》中明確舉例說明了。第二個模型擬合中的預測說明，基于地下水的農作物產量預計會從今天每年 500 萬噸的平均數降低到 2050 年每年 200 萬噸的水平。

看上去為了這個目的我們運算了兩個模型擬合數據，所以我們為何要信任數據呢？在反彈前后的擬合也有很好的理由。注意在反彈之后，每單位地下水抽取量的農作物產量要高于1987 年之前。這也強有力地證明了效率的提升。這是真實的：

大概在同一時間，反彈發生，德克薩斯高原地區噴灑的使用顯著增加。效率上的提升增加了農民的經濟收入，這樣讓探測更深的地下水有利潤空間，驅使反彈發生。通常來說，很難預測快速應用科技的速度。所以，在以灌溉為基礎的農業行業沒有采用顛覆性科技的情況下，我們可以信任模型的預測。

那為什么在地下水抽取峰值和農作物產量峰值之間會有滯后呢？原因是多維度的。由于化肥使用更高效種植狀況被優化，莊稼產量穩步上升。更細微的原因是種植撂荒。在過去的幾十年中，高粱種植減少了轉而投向了玉米：

由于種植玉米比高粱的產量更高，所以使用的每單位水量種植出莊稼重量更大。幸運的是，捕食-食餌框架捕捉到了產量逐漸增加 ，隨著 W  的減少而增加）但不是指顛覆性的改變（比如：科技）。

總結一下，這是將計算方法應用到可持續性領域的第一步的一種。想要了解更多底層代碼的信息，請參見 Wolfram 社區中的相應博文。

雖然前述預測僅是將種植產量擬合數據到 Logistic 函數并沒有任何解釋，但這個概念上的動態系統方法是基于對地下水使用和種植產量之間緊密聯系的機械學理解。方程簡潔明了，意味著可以將類似的方法應用于很多面臨不同挑戰的領域，如在印度或其他不同動態環境下的地下水質量，如：沙特阿拉伯的政府激勵項目。可能需要將反饋項包括進方程式1和2中來捕捉這些效果。這就是我們希望的該方法如何作用于農業、水域和可持續發展領域。

我要感謝 Mads Bahrami 幫助我準備這篇博文。而且還要特別感謝 Wolfram Research 的 Wolfram 博客團隊的邀請。