近年來, 多體系統動力學的研究越來越受到重視。 一方面由于多體系統動力學在機械、車輛、機器人、航空航天等工程領域占有重要的地位, 是先進制造技術和虛擬現實的研究基礎。 另一方面其推動多學科間的相互滲透, 促進了學科融合。 經過多年的發展, 多體系統動力學的研究體系已經形成。 作為主要研究內容之一的建模問題已經基本得到解決, 出現了多種模型的數值求解算法 

多體系統建模是指將實際系統抽象成由剛體、柔性體組成的多體系統, 并對系統各種物理量間的關系進行分析和描述, 然后利用相關的數學、力學理論和方法建立系統的動力學方程的過程約束多體系統動力學方程又稱 Euler-Lagrange方程 ,是微分代數方程（Differential Algebraic Equations,DAEs）, 一般是通過對約束方程求導將其轉化成常微分方程組（Ordinary Different Equations，ODEs）進行數值計算。數值求解過程如下

然而由于計算誤差, 狀態變量不再滿足約束方程 , 即違約問題就會存在 在多體系統的建模過程中, 約束方程實質上是對某些聯結機構所做的數學抽象, 在抽象過程中,約束力的產生機制往往被忽略。 對于一些能得到解析解的系統, 這種做法并無不妥之處, 然而嚴格按照這種方法建立的計算模型, 將使數值解不可避免地存在違約現象。究其原因在于加速度級的約束方程和原來的約束條件并不完全等價, 從而產生誤差。因此, 數值計算過程需要進行修正才能滿足精度要求 

具有理想 、定常 、完整約束的多體系統。設約束方程為 

1984 年 , Baumgarte提出了一種違約修正方法, 約束方程穩定化后 

自Baumgarte 提出的約束違約修正方法開始, 違約修正算法已被廣泛的研究。 概括起來, 這些算法可以分為 2 類: 第一類方法是間接修正法,從改善模型入手, 在模型中加入了一些控制項來提高算法的穩定性和違約修正; 第二類方法是直接修正法, 在每一步積分過程中, 求解修正值直接進行修正, 來保持數值計算過程的精度。 間接修正方法從改善模型入手, 在模型中加入了一些控制項來提高算法的穩定性和精度。Baumgarte 約束修正算法是其中比較典型, 也是應用最廣泛的一種修正方法。 算法中引入了控制論的思想, 在動力學方程中加入了修正項, 通過對速度和位置的間接校正達到違約校正的目的。 在動力學方程中, 引入修正參數α和β 使 

 定常完整約束多體系統動力學方程一般可表示為 

為指標為3的微分代數方程組，在實際數值計算中，通常將其轉化為2階微分方程組：

由于數值截斷誤差不可避免，使得d2Φ≠０，從而，導致積分dΦ≠０以及積分 Φ≠０，即產生了速度約束違約與位移約束違約．為了減小約束違約對系統的影響，Baumgarte提出了約束違約穩 定 法（Baumgarte’s constraint violation Stabilization Methods,BSM）該方法利用反饋控制理論，將位移約束和速度約束引入加速度約束方程，通過約束修正得到穩定化的動力學方程 

α和β 為反饋控制參數 

以四連桿為例進行說明

 

參考文獻：

[1] 莊曄. 汽車多體動力學（吉林大學校內講義）[M].2013

[2] 劉穎，馬建敏.多體系統動力學方程的反饋參數自適應約束違約穩定法[J].復旦學報.2012.51(4)

[3] 付士慧，王琪.多體系統動力學方程違約修正的數值計算方法[J].計算力學學報.2007,24(1). 

文章來源：多體動力學與控制