綜述 | CFD不確定度量化方法研究綜述
隨著計算流體力學（CFD）算法和軟件的不斷發展和完善，CFD 數值模擬已經在涉及流體力學的各個領域發揮著日益重要的作用。不確定性因素在 CFD 計算過程中普遍存在，并且會對數值模擬結果造成影響。發展 CFD 不確定度量化方法，既能滿足工程實踐中對 CFD 可信度評估的需求，同時也能夠支撐飛行器的精細化設計。本文旨在總結不確定度量化方法及其在 CFD 領域中的發展與應用。
不確定度量化的目標是定量地分析不確定因素對計算結果的影響。不確定度量化工作圍繞以下四個方面展開：
（1）識別。明確不確定性產生的來源。
（2）表征。探究不確定性的表現形式，并用恰當的數學表達對其進行表征。
（3）傳播與融合。采用不確定度量化方法研究不同種類不確定性變量在CFD系統中的傳播，并給出數值模擬結果的整體不確定度。
（4）分析。分析變量的不確定性對于CFD系統的影響。
網格的拓撲關系、黏性網格的第一層高度、增長率以及網格的空間分布等因素決定了網格的質量，也影響了CFD計算的收斂以及數值模擬的最終結果。如圖1所示，Celik等[48]在Richardson外推方法的基礎上提出了網格收斂性指標（GCI），并以此研究了網格數量對二維后臺階流動計算結果的影響，結果表明，在速度接近0時軸向速度對網格的敏感度最大。
圖 1 二維后臺階流動軸向速度分布[48]
由于制造公差的存在以及對真實模型的簡化處理，用于計算的幾何模型與真實情況不可避免地存在著一些誤差，從而引入幾何外形的不確定性。圖2給出了NACA5412翼型最大彎度、最大彎度位置以及厚度等不確定性因素影響下的升力系數不確定帶。對于升力系數而言，最大彎度帶來的不確定性最大，大迎角下厚度帶來的不確定性較大。
圖 2 NACA5412 翼型升力系數不確定帶[51]
CFD流場求解過程涵蓋了湍流模型、離散方法和數值格式等核心要素。這些模型代表了對物理問題的近似，然而不同的方法依據不同的假設，其近似的程度也有所不同，對這些要素的不確定性進行量化分析是CFD計算和可信度評估的核心環節。目前在流場計算這一層級的工作主要集中在湍流模型以及來流邊界條件這兩個方面。如圖3所示，Zhu等[61]采用概率配置點方法考察了來流條件不確定性對NASA0714翼型跨聲速抖振狀態氣動特性的影響。研究表明，激波運動區域對于來流條件十分敏感。
圖 3 NASA SC(2)-0714 翼型表面壓力系數及
脈動壓力系數不確定帶[61]
以湍流模式理論為基礎建立的湍流模擬方法是目前CFD最常使用的計算湍流的手段。湍流模式理論以雷諾平均運動方程與隨機脈動運動方程為基礎，通過一系列的假設，建立描述湍流脈動量的封閉方程。在進行雷諾平均的過程中，將會進行多個層次的假設，引入潛在誤差，從而限制模擬結果的可信度。
Duraisamy等[67]將RANS湍流模型中的不確定性來源歸納為以下四個方面：系綜平均導致的不確定性、雷諾應力函數和運算表達的不確定性、模型中函數形式的不確定性以及模型系數的不確定性。圖4中以雷諾應力輸運模型和線性渦黏模型為例，標注出湍流模型中可能存在的不確定性來源。
圖 4 不同類別的湍流模型以及其中的不確定性來源[67]
CFD系統非常復雜，涉及到大量的不確定性因素，將這些因素割裂分析將會忽略他們之間的聯系，需要對CFD系統進行整體不確定度量化。混合不確定度量化方法被廣泛地應用于CFD整體不確定度量化中。Duque等[85]開發了“Spectre”平臺，該平臺能夠根據用戶的自定義進行網格以及來流參數（馬赫數、迎角、雷諾數等）的不確定度量化，實現CFD整體不確定度量化的商業化。圖5展示了利用該平臺對NACA0012翼型進行不確定度量化獲取的升力系數統計信息。
圖 5 NACA0012翼型升力系數累積密度分布函數[86]
對不確定度量化結果的分析也是不確定性研究中不可或缺的內容。一旦明確了CFD數值模擬中的各種不確定性來源和表現形式，并且對這些不確定性在CFD系統中的傳遞進行了量化，研究各類不確定性因素對總不確定性的貢獻就顯得尤為關鍵。敏感性分析常常被用來研究不確定性因素對CFD計算結果的影響大小。目前對敏感性分析的研究主要集中在提升效率和精度上。
如圖6所示，Schaefer等[88]采用非嵌入式概率配置點方法研究了SA湍流模型系數不確定性對NASA CRM構型氣動特性的影響，借助sobol靈敏度指標分析了SA模型各個系數的不確定度在總體不確定度中所占的比重。研究表明，SA湍流模型中系數σ和κ對于跨聲速近壁面流動的影響最大。
圖 6 NASA CRM模型表面壓力系數結果圖[88]
CFD不確定度量化首先需要辨識不確定性因素的來源，按照形式的不同選擇恰當的方法考察不確定性在CFD計算過程中的傳播，最終根據結果的統計特性分析不確定性因素對于CFD系統的影響。
目前針對幾何外形、來流條件、湍流模型等因素的不確定度量化方法已經較為成熟，然而針對數值格式的不確定度量化工作開展較少，對計算網格的不確定度量化也僅僅是針對網格量這一因素。發展對這些不確定性因素的量化分析方法對于完善CFD系統的不確定度量化體系有著重要的作用。
文章來源：空氣動力學學報
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