1. 庫朗數

1.1 概念理解

什么是庫朗數？庫朗數是用來衡量數值計算穩定性的一個物理量，也被稱為CFL數、CFL準則

在流體力學仿真軟件中，都能找到庫朗數(Courant number)的解釋和定義。在CFX的幫助文件里給出了一個比較直觀的公式來定義一維網格的庫朗數(Courant Number)：

其中，u為流體速度；Δt為時間步長；Δx為網格尺寸；

形象點理解，u*Δt表示流體在Δt時間內流動的距離，除以網格尺寸，則表示流體在一個時間步長內流過了多少個網格。顯然一個時間步長內流過的網格越多，計算就越快，但收斂性就會越差。

類似于人賽跑，跑得快固然很快能跑完，但也可能中間摔跟頭。

庫朗數主要受流速u、時間步長Δt和網格尺寸Δx的影響。而流速u和網格尺寸Δx主要由實際工況決定，不能人為控制，因此主要由時間步長Δt來控制庫朗數。

1.2 取值標準

一般來說，考慮收斂性的話，庫朗數肯定越低越好，但相應的時間步長也會很小，收斂速度變慢。

一般取值在1~10之間比較合適，當然要根據實際情況，如收斂性比較差，可適當降低這個數值。收斂性比較好，收斂速度慢，可適當增加庫朗數。Fluent幫助文檔認為對于大多數問題，庫朗數設置為1能夠滿足要求。

實際上，Fluent很多案例的庫朗數都是50，這主要是選擇了隱式算法的原因

1.3 庫朗數于亞松馳因子

亞松馳因子under-relaxation factor

單元格內物理量φ取決于舊值φold、變化量△φ和亞松弛因子α。也就是說亞松弛因子是一個調節物理量變化的系數。

基于壓力的耦合算法中庫朗數可用亞松馳因子表示出來：

2. 庫朗數的設置

2.1 基于密度求解器Density-based

顯示格式Explicit Formulation

默認是1，對于2維問題可適當增加庫朗數，但不要超過2.0。如果設置沒有問題，但是計算發散了，或者殘差上升得非常快，就必須降低 Courant number，可能需要降低到0.5，甚至0.1。但如果收斂性很好，就可以增加 Courant number。

隱式格式Implicit Formulation

默認庫朗數為 5.0。通常可以 增加到 10、20、100 甚至更高。與顯示一樣可根據收斂情況進行更改。

注：

1.基于密度求解器

General界面可選擇求解器

Solution Methods界面可設置是顯式格式還是隱式格式

Solution Controls可設置庫朗數

2.時間步長的設置

由前面庫朗數的定義可知，時間步長和庫朗數相互決定，因此設置了庫朗數，那么時間步長就確定了。

無論是基于什么求解器，Fluent如果可以設置庫朗數，那么軟件會自動計算時間步長，盡管在Run Calculation界面仍然有Time Step Size欄，仍然可以輸入數值，但這欄是不起任何作用的。既不會對計算收斂性起作用，也不代表真正的流動時間，這一點要千萬注意。

實際測試了一下，確實如此，更改庫朗數會改變收斂性和流動時間，而Time Step Size不起作用。

2.2 基于壓力求解器Pressure-based

使用基于壓力求解器，速度壓力耦合pressure-velocity scheme 選擇Coupled，在 Solution Controls界面會出現Flow Courant number

默認值是200，Fluent幫助文檔中多設置為50，在實際計算過程中可減小到4。然后等計算比較穩定時，再增加庫朗數。

3. 時間步長

上面我們用了非常多的篇幅介紹了庫朗數及庫朗數的設置，但是在實際的設置中，我們會發現很少能夠在設置中看到庫朗數選項，更別提設置庫朗數了。

這主要是因為大多數的算例都是基于壓力求解器的，因此無法直接設置庫朗數。

如果設置中不出現庫朗數，那要如何間接設置庫朗數呢？？ 設置時間步長！！！

通過上面的定義可知，庫朗數與時間步長存在直接的關系，

對上式進行變形，可以得到時間步長為

流體的流速u，最小網格尺寸Δx都能大致估算出來，Courant number一般設置在1-10之間，可取5。由此我們可以大致估算出時間步長。

如：流速u=2.0m/s，最小網格尺寸Δx=0.0002m，CFL=5，可以計算出時間步長Δt=5e-4s

上面的計算過程很容易通過編程實現，因此我寫了個圖形界面小程序，直接輸入數值就可以得到時間步長。

我把這個小程序放群文件里，想要的小伙伴可加群獲取，或者公眾號輸入“時間步長”關鍵詞獲取

但要注意，上式只是庫朗數在一維網格上的定義，實際的定義要復雜很多，因此只能用來估算。

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