Rodney Hill提出的Hill屈服準則是描述各向異性塑性變形的幾種屈服準則之一。最早的版本是馮·米塞斯屈服準則的直接擴展，具有二次型。該模型后來通過考慮指數m進行了推廣。這些準則的變化廣泛用于金屬、聚合物和某些復合材料。

Hill48屈服模型廣泛用于預測材料在多軸加載條件下的屈服行為，它考慮了各向同性材料的非軸對稱特性。它在工程領域中常被用于模擬和分析金屬、塑料等材料的屈服和變形行為。

Mises屈服準則和Hill48屈服模型都是常用的材料強度理論，用于描述材料的屈服行為。它們各自有不同的優勢和不足。

其中Mises屈服準則的優勢包括：

1. Mises屈服準則是一種簡單而直觀的模型，易于理解和應用。

2. Mises準則適用于各向同性材料，包括金屬、塑料等。

3. Mises準則基于等效應力的概念，其數學性質較好，便于數值計算和工程應用。

然而Mises準則基于等效應力，忽略了材料的方向性差異。它無法準確描述各向異性材料或具有明顯的非軸對稱特性的材料的屈服行為。

Hill48屈服模型的優勢則體現為：

1. 與Mises準則相比，Hill48模型能更好地描述多軸加載條件下材料的屈服行為。它考慮了主應力的線性組合，對非軸對稱加載有更好的適應性。

2. 在一些特定的加載情況下，Hill48模型可以提供更準確的預測結果。特別是對于一些具有明顯非軸對稱特性的材料，如纖維復合材料等，Hill48模型可能更適用。

然而相對于Mises準則，Hill48模型的表達式更為復雜，計算和應用上更為繁瑣。且Hill48模型中涉及多個參數，選擇和確定這些參數需要依賴實驗數據和經驗，可能存在一定的主觀性和困難性。

        因此在具體工程應用中，需要根據材料的性質、加載條件和研究目的選擇合適的模型。有時候，結合多個模型或使用更復雜的材料模型可能更有利于準確預測材料的屈服行為。

在網上簡單檢索后發現很少有編寫hill48屈服模型和swift硬化的相關分享。因此這里對于該模型進行簡單的介紹和數值實現以及案例展示，有助于提高大家編寫思路。

二次hill屈服準則表達式為

二次Hill屈服準則僅取決于偏應力，并且與壓力無關。它預測了拉伸和壓縮時相同的屈服應力。其中F，G，H，L，M，N是材料常數，通常實驗標定獲得

如果假設材料各向異性的軸是正交的，則對應參數可以表示為

廣義的Hill屈服準則表達式為：

基于Hill48模型的推廣：

Hill93模型

Caddell–Raghava–Atkins屈服準則：

Deshpande–Fleck–Ashby屈服準則：

關于參數的獲取，B站有博主搬運了了油管一個matlab 的小程序，基于成本優化的概念結合0°，45°，90°試樣的拉伸屈服應力可以得到歸一化的屈服應力比進一步獲得對應的材料參數們這里附上學習連接

用于仿真的 Hill48 各向異性屈服參數優化（MATLAB 代碼）_嗶哩嗶哩_bilibili

這里主要使用二次hill屈服準則+swift硬化進行展示

其中swift硬化是一種常見的非飽和硬化模型，表達式如下：

                                            σ=σ0+Kε^n

σ為應力，ε為應變，K為常數，n為硬化指數。Swift硬化參數是指該冪函數中的n和σ0。swift硬化形式簡介明了，參數可以通過拉伸實驗和origin擬合輕松獲取

基于視頻提供的內容，假設0°，45°，90°屈服應力比為1：0.85：0.95，swift屈服函數對應的參數為文獻304鋼的參數：

E=195.161GPa，μ=0.3，σ0=244.93MPa，N=0.24，K=708MPa

根據教程得到F，G，H，L，M，N分別為：0.8404，0.7324，0.2677，1.9814，1.9814，1.9814

使用拉伸試樣分別模擬0°，45°，90°試樣的拉伸結果并與mises屈服+swift硬化進行對比

結果如下（左側Hill48+swift（應力+等效塑性應變），右側mises+swift（應力+等效塑性應變））：

Hill48+swift力位移曲線0°和90°

Mises+swift力位移曲線0°和90°

可以看到Hill48 屈服能更好地描述不同方向加載條件下材料的屈服行為

這對顯著各項異性材料在模擬沖裁，軋制等提供更高的精度