Bezier曲線設(shè)計(jì)渦輪葉片造型與CFD驗(yàn)證解析

賀 恒

(廣東博智林機(jī)器人有限公司，廣東 佛山 528000)

摘 要：通過選取某尺寸的渦輪和流量值作為案例,解析了運(yùn)用Bezier曲線設(shè)計(jì)渦輪葉片造型的過程，進(jìn)行了計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(computational fluid dynamics,CFD)驗(yàn)證，得到渦輪機(jī)械性能預(yù)測(cè)曲線，驗(yàn)證了渦輪葉片造型設(shè)計(jì)。

關(guān)鍵詞：Bezier曲線;渦輪葉片造型設(shè)計(jì);CFD水力性能驗(yàn)證;機(jī)械性能預(yù)測(cè)曲線

0 引 言

由于工業(yè)市場的日益繁榮，渦輪因其獨(dú)特的優(yōu)越性，在各行各業(yè)的應(yīng)用越來越普遍。然而，傳統(tǒng)的渦輪葉片設(shè)計(jì)效率低且不能完全滿足實(shí)際渦輪的性能需求。在葉片設(shè)計(jì)過程中，進(jìn)、出口角度通常是給定的定值，所以要求選取的曲線需要確保在起始點(diǎn)和終點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，Bezier曲線正好能夠滿足這個(gè)要求。本文選取Bezier曲線設(shè)計(jì)渦輪葉片造型，使用FLUENT進(jìn)行CFD驗(yàn)證分析[1-6]，提出了渦輪性能曲線相似轉(zhuǎn)換。一方面，四階Bezier曲線計(jì)算得到的葉片型線坐標(biāo)精確度高，CFD分析可以對(duì)設(shè)計(jì)的型線進(jìn)行校驗(yàn)分析，直到型線設(shè)計(jì)滿足要求為止。另一方面，CFD數(shù)值模擬技術(shù)具有成本低、設(shè)計(jì)周期短的優(yōu)勢(shì)，在很大程度上彌補(bǔ)了傳統(tǒng)流體動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)的劣勢(shì)。同時(shí)，相似轉(zhuǎn)換計(jì)算的提出，只需要計(jì)算一種流量下的渦輪葉片性能參數(shù)，就能直接計(jì)算出其他不同流量下的性能參數(shù)。這種方法的綜合運(yùn)用可以大大減少CFD分析的計(jì)算量，提高渦輪葉片設(shè)計(jì)的效率。

1 確定渦輪葉片流動(dòng)參數(shù)

根據(jù)理論計(jì)算公式推導(dǎo)和文獻(xiàn)經(jīng)驗(yàn)值[2]，可以確定渦輪葉片流動(dòng)參數(shù)：S為葉片高度，mm；b為葉片弦長，mm；r1(0.6～1.0)為前緣半徑，mm；γ2(0.3～0.6)為后緣半徑，mm；α1k為定子出口角，°；α2k為定子進(jìn)口角，°；αm為定子安裝角，°；β1k為轉(zhuǎn)子進(jìn)口角，°；β2k為轉(zhuǎn)子出口角，°；βm為轉(zhuǎn)子安裝角，°；γ1(10°～30°)為前緣錐角γ1，°；γ2(≤6°)為后緣錐角，°；Z1為定子葉片數(shù)；t1為定子葉柵間距，mm；Z2為轉(zhuǎn)子葉片數(shù)；t2為轉(zhuǎn)子葉柵間距，為葉柵相對(duì)節(jié)距，mm；σ(5°～16°)為折轉(zhuǎn)角，°；渦輪定轉(zhuǎn)子進(jìn)出口結(jié)構(gòu)角為α1k=β2k，α2k=β1k。

2 渦輪葉片造型設(shè)計(jì)

實(shí)際作業(yè)中液體在渦輪內(nèi)的運(yùn)動(dòng)十分復(fù)雜，在設(shè)計(jì)渦輪葉片時(shí)要對(duì)液體的運(yùn)動(dòng)做相應(yīng)簡化。取定子內(nèi)側(cè)直徑D1與轉(zhuǎn)子外側(cè)直徑D2的幾何平均值D處的液流作為渦輪葉片性能設(shè)計(jì)計(jì)算的參考，簡化得到的設(shè)計(jì)計(jì)算性能與實(shí)測(cè)的葉片性能非常相近，具有很高的可靠性。渦輪的平均直徑：D=(D1+D2)/2。葉片的基本參數(shù)包括：前緣半徑r1和后緣半徑r2，進(jìn)出口邊楔角γ1、γ2，葉型弦長b。當(dāng)若干葉片組合成葉柵時(shí)，還要考慮到葉型的安裝角β1，相對(duì)節(jié)距t，以及定轉(zhuǎn)子進(jìn)出口的結(jié)構(gòu)角[3]。

2.1 葉片基本參數(shù)確定方法

在兼顧考慮加工工藝的可靠性后，根據(jù)現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)公式，其基本參數(shù)確定如下：前緣半徑r1=0.6～1.0，可取r1=0.75；后緣半徑r2=0.4～0.6，可取r1=0.5；前緣楔角γ1=0°～30°，可取γ1=20°；后緣楔角γ2=3°～6°，可取γ2=4°。

根據(jù)速度多邊形知，平均矢量流速與圓周速度u反方向夾角βm與葉型安裝角β1近似相符。公式(1)如下[4]，可求得葉型的安裝角β1。

(1)

代入β1，葉型弦長b，相對(duì)節(jié)距t，葉片數(shù)Z，相對(duì)節(jié)距t，可求得[4-5]：

2.2 四階Bezier曲線方程

運(yùn)用四階Bezier曲線進(jìn)行葉片的造型設(shè)計(jì)，四階Bezier曲線方程公式(2)如下[4-5]：

(2)

在葉片造型中，將壓力面、吸力面上的第一點(diǎn)和最后一點(diǎn)作為特征點(diǎn)代入式(2)進(jìn)行求解。以轉(zhuǎn)子葉片為例，建立葉片坐標(biāo)關(guān)系示意圖如圖1所示，葉片前緣和后緣圓心分別為O1和O2，進(jìn)口邊與Y軸重合切圓O1和圓O2于f點(diǎn)和h點(diǎn)，yp和ys分別表示壓力面和吸力面上某點(diǎn)的Y方向坐標(biāo)。涉及公式(3)～公式(10)如下[4-5]：

圖1 坐標(biāo)關(guān)系示意圖
Fig.1 Coordinate relationship diagram

根據(jù)渦輪幾何參數(shù)可以確定前緣圓心O1和后緣圓心O2坐標(biāo)：

xo1=r1，yo1=t/2

(3)

則渦輪葉片弦線與前緣圓弧的切點(diǎn)f坐標(biāo)為：

xf=xo1-r1cos βm，

yf=yo1+r1sin βm

(4)

圓心O2的坐標(biāo)：

(5)

推導(dǎo)出切點(diǎn)h的坐標(biāo)為：

xh=xo2-r2cos βm，

yh=yo2+r2sin βm

(6)

結(jié)合圖1，過前緣圓心O1做一直線與水平方向成夾角為β1k，依據(jù)前緣錐角的定義，在該直線上端任取一點(diǎn)A，過A點(diǎn)做圓的兩條切線AB和AC，則∠BAC=γ1，如圖1所示。

渦輪葉片吸力面起始點(diǎn)坐標(biāo)和一階導(dǎo)數(shù)：

xs1=xo1+r1cos(β1k+γ1/2)，

ys1=yo1-r1sin(β1k+γ1/2)，

(7)

渦輪葉片壓力面起始點(diǎn)坐標(biāo)和一階導(dǎo)數(shù)：

xp1=xo1-r1cos(β1k-γ1/2)，

yp1=yo1+r1sin(β1k-γ1/2)，

(8)

渦輪葉片上吸力面和壓力面的起始點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)可取為零，同時(shí)可依據(jù)凹凸性確定其二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)。參考圖1，過點(diǎn)O2做一條直線，使其與Y軸的夾角為β2k，再在該直線上取一點(diǎn)E，過E點(diǎn)做圓O2的切線EF和EG，則∠BAC=γ2，如圖1所示。

渦輪葉片吸力面終結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和一階導(dǎo)數(shù)：

xsn=xo2+r2cos(β2k-γ2/2)，

ysn=yo2-r2sin(β2k-γ2/2)，

(9)

渦輪葉片壓力面終結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和一階導(dǎo)數(shù)：

xpn=xo2-r2cos(β2k+γ2/2)，

ypn=yo2+r2sin(β2k+γ2/2)，

(10)

首先根據(jù)上面的參數(shù)，在AutoCAD(Autodesk computer aided design)中畫出草圖，確定出p0、p1、p2、p3、p4點(diǎn)的坐標(biāo)，如圖2所示。

圖2 AutoCAD中特征點(diǎn)確定
Fig.2 Feature points in AutoCAD

2.3 葉型曲線繪制及模型建立

將上面五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入到四階Bezier曲線方程中，得到吸力面的曲線方程，t從0到1每隔0.01取一個(gè)數(shù)，算出曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)。同理將上面五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入到四階Bezier曲線方程中，得到壓力面曲線方程，t從0到1每隔0.01取一個(gè)數(shù)，算出曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，即渦輪定、轉(zhuǎn)子壓力面及吸力面坐標(biāo)。將上面得到的坐標(biāo)點(diǎn)輸入到UG(Unigraphics NX)里，得到轉(zhuǎn)子的三維造型和斷面形狀，并將斷面形狀導(dǎo)入到AutoCAD中，其斷面形狀如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子葉片型線示意圖
Fig.3 Rotor blade type line diagram

以上過程為轉(zhuǎn)子葉片的造型，ma=0.5，轉(zhuǎn)子和定子的葉片互為鏡像。以上方法得到的渦輪葉片型線能夠保證吸力面和壓力面型線具有連續(xù)曲率，但僅有連續(xù)曲率還不夠，需要對(duì)其進(jìn)行以下附加檢查：從進(jìn)口到出口的過流通道必須連續(xù)性地收縮；折轉(zhuǎn)角σ=5°～16°；壓力面與吸力面的曲率同號(hào)，且曲率導(dǎo)數(shù)符號(hào)僅改變1次或不變；結(jié)合CFD分離，需進(jìn)一步檢驗(yàn)流道內(nèi)是否連續(xù)，是否有脫流現(xiàn)象。

設(shè)計(jì)的葉片如不符合以上要求，必須重新修改葉片幾何參數(shù)，直至設(shè)計(jì)的葉片型線滿足要求。最后結(jié)合渦輪基本尺寸，得出渦輪葉片、轉(zhuǎn)子、定子、單級(jí)渦輪裝配和單級(jí)渦輪裝配三維圖如圖4所示。

圖4 渦輪葉片、轉(zhuǎn)子、定子、渦輪裝配三維造型圖
Fig.4 3D modeling drawing of turbine blade, rotor, stator and turbine assembly

3 渦輪CFD數(shù)值模擬分析

流經(jīng)渦輪的液流屬于紊流流動(dòng)，對(duì)渦輪水力性能進(jìn)行預(yù)測(cè)，可通過實(shí)驗(yàn)的辦法或者CFD軟件分析，建議采用目前應(yīng)用較為成熟的FLUENT作為流場分析軟件。CFD軟件不僅可以預(yù)測(cè)渦輪水力性，還能觀察液流在葉片間的流動(dòng)，以此檢驗(yàn)、修改、優(yōu)化和改善葉片設(shè)計(jì)問題，得到滿足性能要求的渦輪。

3.1 流體運(yùn)動(dòng)的守恒定律

流體運(yùn)動(dòng)的守恒定律：質(zhì)量守恒方程、動(dòng)量守恒定律，這些定律相應(yīng)的控制方程公式(11)～(17)如下[6-8]：

1)質(zhì)量守恒方程。質(zhì)量守恒方程，即連續(xù)性方程，其定義是：控制體內(nèi)部流體質(zhì)量的增量應(yīng)該等于流入的質(zhì)量與流出的質(zhì)量之差。

(11)

式中：t為時(shí)間，s；ρ為流體密度，kg/m3；u、v、w為流速在x，y，z坐標(biāo)方向的分量，m/s。

2)動(dòng)量方程。動(dòng)量方程是在牛頓第二定律的基礎(chǔ)上構(gòu)建的，其定義為：外界作用于控制體上的外力之和等于單位時(shí)間內(nèi)在控制體內(nèi)動(dòng)量的增量，加上單位時(shí)間控制面流出的凈動(dòng)量。

(12)

(13)

(14)

SMx，SMy，SMz為動(dòng)量方程，其表達(dá)式如下所示：

式中：RMx，RMy，RMz為體積力，N/m3。假設(shè)流體只受到重力作用，則RMx=0，RMy=0，RMz=-ρg，u=ui+vj+wk；μ為流體動(dòng)力黏度系數(shù)；λ為2/3μ。

3.2 CFD離散及數(shù)值模擬

如圖5為單級(jí)渦輪的三維流道模型及對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格模型。按設(shè)計(jì)給定流量34 L/s計(jì)算定子入口速度、轉(zhuǎn)子出口壓力，并作為CFD模擬的邊界條件。在流量為34 L/s時(shí)，給定轉(zhuǎn)速n，求解連續(xù)性方程、Navier-Stokes方程、k-ε紊流模型，對(duì)速度與壓力耦合采用經(jīng)典的SIMPLE算法，使用二階迎風(fēng)差分離散格式求得收斂解，獲得該轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的理論輸出扭矩T(n)和理論壓降Δp(n)。循環(huán)計(jì)算不同轉(zhuǎn)速n下的理論壓降和理論輸出扭矩，到理論輸出扭矩接近于零(達(dá)到渦輪的空轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速)為止，并對(duì)應(yīng)計(jì)算不同轉(zhuǎn)速下的輸入功率、輸出功率、效率。

圖5 渦輪流道模型及Gambit網(wǎng)格模型
Fig.5 Flow and Gambit grid model of Turbine

3.3 機(jī)械性能預(yù)測(cè)及壓降曲線分析

選取某尺寸的渦輪和流量值34 L/s作為案例進(jìn)行計(jì)算。依據(jù)渦輪轉(zhuǎn)速變化計(jì)算獲取的單級(jí)渦輪機(jī)械性能預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，作出了單級(jí)渦輪機(jī)械性能預(yù)測(cè)曲線圖，如圖6所示。

圖6 單級(jí)渦輪力學(xué)性能預(yù)測(cè)曲線
Fig.6 A pair of turbine mechanical properties prediction curve

4 渦輪特性曲線相似換算

實(shí)際作業(yè)過程中，流體介質(zhì)的流量并不總是固定的。當(dāng)泵的流量改變時(shí)，渦輪的特性曲線也隨之改變，利用式(18)中的公式[6-8]，可以換算出驅(qū)動(dòng)渦輪在不同流量值下的特性曲線。如果額定流量為Q時(shí)的特性曲線已知，則新流量Q′的渦輪特性曲線，可以用相似理論求出。對(duì)于相同渦輪馬達(dá)，當(dāng)液體性質(zhì)不變時(shí)，改變通過渦輪的流量，則新流量Q′下的渦輪轉(zhuǎn)速n′、壓力降Δp′、轉(zhuǎn)化力矩M′i及轉(zhuǎn)化功率N′i等，可以由簡化的相似公式(18)求得，即

(18)

5 結(jié) 論

1)當(dāng)給定流量為定值時(shí)，渦輪的扭矩隨著轉(zhuǎn)速的增大呈線性減小趨勢(shì)。制動(dòng)狀態(tài)(即n=0)時(shí)，渦輪的扭矩最大；空轉(zhuǎn)(M=0)時(shí)，渦輪轉(zhuǎn)速達(dá)到最大且扭矩最小。

2)壓降和輸入功率在流量不變的情況下，受轉(zhuǎn)速變化影響不大。

3)在流量一定的情況下，輸出功率/效率曲線呈拋物線趨勢(shì)。輸出功率/效率達(dá)到最大值的轉(zhuǎn)速約為650 r/min，輸出功率/效率呈逐步遞增的拋物線趨勢(shì)的轉(zhuǎn)速區(qū)間約為0～650 r/min，輸出功率/效率呈遞減的拋物線趨勢(shì)的轉(zhuǎn)速區(qū)間約為650～1 200 r/min。

4)根據(jù)相似轉(zhuǎn)換公式，能夠推導(dǎo)出不同流量值所對(duì)應(yīng)渦輪的性能參數(shù)，不需要重復(fù)循環(huán)計(jì)算。

5)四階Bezier曲線設(shè)計(jì)的渦輪葉片造型的方法，能夠滿足實(shí)際需求的壓降、扭矩、輸入功率、輸出功率、效率等機(jī)械性能。CDF數(shù)值模擬驗(yàn)證方法成本低、周期短，具有非常好的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和工程周期優(yōu)勢(shì)。

6)由于計(jì)算量大且時(shí)間有限，沒有考慮網(wǎng)格密度對(duì)性能曲線的影響。建議后續(xù)研究可考慮定常流量下，不同網(wǎng)格密度對(duì)渦輪機(jī)械性能的影響。

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A Solution for Turbine Blade Designing by Bezier Curve and CFD Verification Analysis

HE Heng

(Bright Dream Robotics, Foshan, Guangdong 528000, China)

Abstract：By taking a turbine of a certain size and a flow value as a case, this paper analyzed the process of using the Bezier curve to design the turbine blade shape, performed CFD verification, obtained the machinery performance prediction curve, and verified design of turbine blade shape.

文章來源：南華大學(xué)學(xué)報(bào)自然科學(xué)版