17. 狀態(tài)方程模型

17.1 狀態(tài)方程形式1：Linear Polynomial

這個多項式狀態(tài)方程，單位初始體積的內(nèi)能呈線性，E由

（17.1.1）

其中C0，C1，C2，C3，C4，C5和C6是用戶定義常數(shù)。

（17.1.2）

V是相對體積，在膨脹單元中，的系數(shù)設(shè)為零，即：

線性多項式狀態(tài)方程可用伽馬定律狀態(tài)方程來模擬氣體。這可以通過設(shè)置來實現(xiàn)：

和

其中是比熱的比率。壓力則由下式給出：

請注意，E的單位是壓力的單位

17.2 狀態(tài)方程形式2：JWL High Explosive

JWL狀態(tài)方程將壓力定義為相對體積，V，以及單位初始體積的內(nèi)能，E，的函數(shù)：

（17.2.1）

其中，ω、A、B、R1和R2為用戶定義的輸入?yún)?shù)。這個狀態(tài)方程通常用于在涉及金屬加速度的應(yīng)用中確定烈性炸藥的爆轟產(chǎn)物的壓力。該方程的輸入?yún)?shù)由Dobratz [1981]給出了各種高爆炸材料的輸入?yún)?shù)，該狀態(tài)方程與爆炸燃燒（材料模型8）材料模型一起使用，該模型決定了爆炸單元的點火時間。

17.3 狀態(tài)公式形式3：Sack “Tuesday” High Explosives

爆轟產(chǎn)物的壓力根據(jù)相對體積V和單位初始體積的內(nèi)能E給出，如[Woodruff 1973]：

（17.3.1）

其中A1、A2、A3、B1、B2為用戶定義的輸入?yún)?shù)

該狀態(tài)方程與爆炸燃燒（材料模型8）材料模型一起使用，該模型決定了爆炸單元的點火時間。

17.4 狀態(tài)方程形式4：Gruneisen

具有立方激波速度-粒子速度的Gruneisen狀態(tài)方程將壓縮材料的壓力定義為

（17.4.1）

其中E為單位初始體積的內(nèi)能，C為vs—vp（剪切-壓縮波速）曲線的截距，S1、S2、S3為vs—vp曲線的斜率系數(shù)，γ0為Gruneisen gamma，a為對γ0的一階體積修正。常數(shù)C、S1、S2、S3、γ0、a均為輸入?yún)?shù)。壓縮根據(jù)相對體積V定義為：

對于膨脹材料，其壓力的定義為：

（17.4.2）

17.5 狀態(tài)方程形式5：Ratio of Polynomials

多項式狀態(tài)方程比率將壓力定義為：

（17.5.1）

其中

（17.5.2）

在擴(kuò)展區(qū)域中，F1被F’1=F1+βμ2替代，常數(shù)Aij，α和β是用戶輸入。

17.6 狀態(tài)方程形式6：Linear With Energy Deposition

這個多項式狀態(tài)方程，單位初始體積，E，的內(nèi)能呈線性，由

（17.6.1）

其中C0，C1，C2，C3，C4，C5和C6是用戶定義常數(shù)。

（17.6.2）

V是相對體積，在膨脹單元中，的系數(shù)設(shè)為零，即：

內(nèi)能E根據(jù)能量沉積速率隨時間曲線的增加，其ID在輸入中定義。

17.7狀態(tài)方程形式7：Ignition and Growth Model

JWL狀態(tài)方程將未反應(yīng)高爆物的壓力定義為

（17.7.1）

其中Ve為相對體積，Ee為內(nèi)能，常數(shù)Ae、Be、ωe、R1e、R2e為輸入常數(shù)。同樣地，反應(yīng)產(chǎn)物中的壓力也由另一種JWL形式來定義

（17.7.2）

未反應(yīng)的炸藥和反應(yīng)產(chǎn)物的混合物由反應(yīng)的分?jǐn)?shù)F定義（F = 0表示沒有反應(yīng)，F = 1表示從炸藥完全轉(zhuǎn)化為產(chǎn)物）。假設(shè)壓力和溫度處于平衡狀態(tài)，并假設(shè)相對體積為添加劑：

（17.7.3）

反應(yīng)的速率被定義為

（17.7.4）

其中，I、G、H、x、y、z和m（通常是m = 0）是輸入常數(shù)。

對PBX-9404、RX-03-BB、PETN和鑄造TNT四種炸藥的JWL狀態(tài)方程和反應(yīng)速率擬合了一維和二維沖擊起始和爆炸數(shù)據(jù)。計算方法的細(xì)節(jié)由Cochran和Chan [1979]描述。Lee和Tarver [1980]給出了這四種炸藥的詳細(xì)的一維計算和參數(shù)。Tarver和Hallquist [1981]討論了PBX 9404和LX- 17對該模型的二維計算。

17.8狀態(tài)方程形式8：Tabulated Compaction

壓縮壓力為正，容積應(yīng)變εV為正。表格壓縮模型與單位體積內(nèi)能呈線性關(guān)系。壓力定義為

（17.8.1）

增加加載（壓縮）。卸載發(fā)生在峰值（最大壓縮）體積應(yīng)變處的體積模量對應(yīng)的斜率處，如圖17.1所示。重新加載沿著卸載路徑一直進(jìn)行到開始卸載的點，然后繼續(xù)按照式（17.8.1）描述的加載路徑進(jìn)行。

17.9狀態(tài)方程形式9：Tabulated

表中的狀態(tài)方程模型與內(nèi)能呈線性關(guān)系。壓力為

（17.9.1）

體積應(yīng)變εV由相對體積的自然算法給出。在定義表格函數(shù)時，最多可以使用10個點，最少可以用2個點。如有必要，可以外插出該壓力。與狀態(tài)方程8不同，加載和卸載是沿同一曲線。

圖17.1.8狀態(tài)方程的壓力與體積應(yīng)變曲線。在壓實狀態(tài)下，體積卸載模量取決于峰值體積應(yīng)變。

17.9狀態(tài)方程形式10：Propellant-Deflagration

爆燃（燃燒速率）反應(yīng)性流動模型需要一個未反應(yīng)的固體狀態(tài)方程、一個反應(yīng)產(chǎn)物狀態(tài)方程、一個反應(yīng)速率定律和兩種（或更多）物質(zhì)的混合規(guī)則。標(biāo)準(zhǔn)點火和生長模型的混合規(guī)則[Lee和Tarver 1980]假設(shè)，隨著反應(yīng)的進(jìn)行，壓力和溫度都是完全平衡的。然而，可以修改混合規(guī)則，不允許反應(yīng)產(chǎn)物氣體熱傳導(dǎo)或部分加熱固體。對于這種相對緩慢的安全氣囊推進(jìn)劑燃燒過程，熱平衡和壓力平衡假設(shè)是有效的。目前在燃燒模型中使用的狀態(tài)方程是JWL、Gruneisen、范德瓦爾斯共體積和完美氣體定律，但其他的狀態(tài)方程可以很容易地實現(xiàn)。在這種推進(jìn)劑燃燒中，燃燒的疊氮化鈉產(chǎn)生的氣體氮在充滿安全氣囊的氣中時，遵循完美的氣體定律，但可能必須被建模為在推進(jìn)室內(nèi)產(chǎn)生的高壓和溫度下的范德瓦爾氣體。化學(xué)反應(yīng)速率定律與壓力、顆粒幾何形狀和表面積有關(guān)，以及大多數(shù)高壓燃燒過程。當(dāng)反應(yīng)體系的溫度分布已知時，可以使用與溫度相關(guān)的阿倫尼烏斯化學(xué)動力學(xué)。

由于安全氣囊推進(jìn)劑的組成和性能數(shù)據(jù)是公司的私人信息，因此很難獲得燃燒速率建模所需的信息。然而，帝國化學(xué)工業(yè)（ICI）公司提供了壓力指數(shù)、粒子幾何形狀、堆積密度、反應(yīng)熱和大氣壓力燃燒率數(shù)據(jù)，這使我們能夠開發(fā)他們的疊氮化鈉+三氧化二鐵驅(qū)動安全氣囊推進(jìn)劑的數(shù)值模型。[Hallquist等人，1990]描述了爆燃模型及其實現(xiàn)和ICI推進(jìn)劑的結(jié)果。

未反應(yīng)的推進(jìn)劑和反應(yīng)產(chǎn)物狀態(tài)方程的形式均為：

其中p為壓力（以Mbars表示），V為相對比體積（相對密度倒數(shù)），ω為Gruneisen系數(shù)，Cv為熱容（以Mbars-cc/cc°K表示），T為溫度°K，d為共體積，A、B、R1和R2為常數(shù)。設(shè)置A=B=0。得到范德瓦爾的上體積狀態(tài)方程。JWL狀態(tài)方程通常在超過幾千巴的壓力下有用，而范德瓦爾方在壓力低于該范圍和高于完美氣體定律成立的范圍時有用。當(dāng)然，設(shè)置A=B=d=0可以得到完美的氣體定律。如果使用準(zhǔn)確的ω和Cv值加上“冷”壓縮和內(nèi)能之間的正確分布，計算出的溫度非常合理，因此可以用來檢查推進(jìn)劑的性能。

推進(jìn)劑爆燃過程所用反應(yīng)的反應(yīng)速率如下：

其中F是反應(yīng)的分?jǐn)?shù)（F = 0意味著沒有反應(yīng)，F = 1是完整的反應(yīng)），t是時間，p是壓力（以Mbars），r、s、u、w、x、y、y、極限1和極限2是用于描述反應(yīng)速率的壓力依賴性和表面積依賴性的常數(shù)。如果推進(jìn)劑是混合物或在某種壓力或溫度下表現(xiàn)出反應(yīng)速率的急劇變化，則包括兩個（或更多）與壓力有關(guān)的反應(yīng)速率。燃燒表面積的依賴關(guān)系可以用（1-F）y Fx項來近似。其他形式的反應(yīng)速率定律，如與阿倫尼烏斯溫度相關(guān)的e-E/RT型速率，也可以使用，但這些需要非常精確的溫度計算。雖然LS-DYNA理論手冊17.8壓力的理論證明還不完整，但大量的實驗燃燒速率與壓力數(shù)據(jù)確實證明了這種效應(yīng)，使用壓力依賴燃燒的水動力計算準(zhǔn)確地模擬了這種實驗。

爆燃反應(yīng)流模型被反應(yīng)材料中一個或多個區(qū)域邊界上的任何壓力或粒子速度的增加所激活。這種增加在這些區(qū)域產(chǎn)生了壓力，并開始分解。如果壓力減輕，反應(yīng)速率就會降低，并可以降為零。這一特征對于短時間的部分分解反應(yīng)很重要。如果壓力保持不變，反應(yīng)的分?jǐn)?shù)最終達(dá)到1，材料就完全轉(zhuǎn)化為產(chǎn)物分子。用該模型計算出的幾種推進(jìn)劑通過推進(jìn)劑的爆燃前推進(jìn)速率與實驗觀察到的燃燒速率與壓力曲線非常接近。

為了獲得與實驗爆燃數(shù)據(jù)的良好一致性，該模型需要準(zhǔn)確地描述未反應(yīng)的推進(jìn)劑狀態(tài)方程，要么對實驗壓縮數(shù)據(jù)進(jìn)行分析擬合，要么基于以前使用類似材料的經(jīng)驗進(jìn)行估計擬合。對于反應(yīng)產(chǎn)物的狀態(tài)方程也是如此。現(xiàn)有的實驗燃燒速率、壓力產(chǎn)生和能量傳遞數(shù)據(jù)越多，反應(yīng)速率方程的形式和常數(shù)就越好。因此，在燃燒子例程中使用的壓力方程

其中，Vu和Tu分別為未反應(yīng)的推進(jìn)劑的相對體積和溫度。相對密度顯然是相對體積的倒數(shù)。反應(yīng)產(chǎn)物中的壓力Pp為：

隨著反應(yīng)的進(jìn)行，假設(shè)未反應(yīng)和產(chǎn)物壓力和溫度是平衡的（Tu=Tp=T p=Pu=Pp），相對體積是相加的：

其中，V為總相對體積。其他的混合假設(shè)可以并且已經(jīng)在不同版本的DYNA2D/3D中使用過。反應(yīng)速率定律的形式：

如果F超過FMXGR，則將GROW1項設(shè)為零，如果F小于FMNGR，則GROW2項為零。因此，兩個獨(dú)立（或重疊）的燃燒速率可以用來描述推進(jìn)劑分解的速率。

這個狀態(tài)方程子程序與一個材料模型一起用于描述推進(jìn)劑。在安全氣囊推進(jìn)劑的情況下，可以使用零材料模型（type#10）。當(dāng)確定剪切模量和屈服強(qiáng)度時，材料類型#10通常用于固體推進(jìn)劑或炸藥。推進(jìn)劑材料由材料模型和反應(yīng)開始前的無反應(yīng)狀態(tài)方程來定義。使用計算出的混合態(tài)，直到反應(yīng)完成，然后使用反應(yīng)產(chǎn)物的狀態(tài)方程。假設(shè)反應(yīng)熱ENQ是一個常數(shù)，在F的所有值下都是相同的，但可以實現(xiàn)更復(fù)雜的能量釋放定律。

參考文獻(xiàn)：

[1] Hallquist J O. LS-DYNA Theory manual. 2006.