概率分布描述了事件或?qū)嶒?yàn)所有可能結(jié)果的可能性。正態(tài)分布是最有用的概率分布之一，因?yàn)樗梢院芎玫啬M許多自然現(xiàn)象。

正態(tài)分布在其峰值周圍是對(duì)稱的。由于這種對(duì)稱性，分布的均值通常用μ表示，并位于該峰值處。標(biāo)準(zhǔn)差σ描述了分布的擴(kuò)散程度。

如果一些樣本服從正態(tài)分布，則隨機(jī)抽取一個(gè)樣本接近均值的概率很高。實(shí)際上，大約68％的所有樣本都在距離平均值一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。

圖中曲線下的面積解釋為概率測量。綠色區(qū)域代表所有小于平均數(shù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)偏差的樣本，占曲線下面積的68％。

我們都知道在Matlab中可以使用randn函數(shù)創(chuàng)建正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

在Python中，可以使用NumPy從正態(tài)分布中創(chuàng)建隨機(jī)數(shù)樣本。

numpy生成隨機(jī)數(shù)

NumPy包含一個(gè)完整的子包numpy.random，專門用于處理隨機(jī)數(shù)。由于歷史原因，該軟件包包括許多函數(shù)。

通常應(yīng)該通過實(shí)例化默認(rèn)隨機(jī)數(shù)生成器（RNG）來開始：

import numpy as np
rng = np.random.default_rng()

RNG可以從許多不同的分布中生成隨機(jī)數(shù)。

要從正態(tài)分布中抽樣，可以使用.normal()函數(shù)：

雖然上圖這些數(shù)字看起來是隨機(jī)的，但很難確認(rèn)這些數(shù)字是否從給定分布中抽取的。

因此，可以一次生成大量隨機(jī)數(shù)：

numbers = rng.normal(size=10000)
numbers.mean()
numbers.std()

繪制正態(tài)分布圖像

這里嘗試生成直方圖表示上一節(jié)生成的10000個(gè)隨機(jī)數(shù)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(numbers)
plt.show

直方圖的縱軸表示不同區(qū)間的樣本數(shù)量。

直方圖的形狀顯示了與正態(tài)分布相關(guān)聯(lián)的特征，它是對(duì)稱的，具有一個(gè)明確定義的峰值，并向兩側(cè)逐漸變窄。

通過增加區(qū)間數(shù)量，可以得到更加平滑的圖像

plt.hist(numbers,bins=500)
plt.show

import scipy.stats
bins = 500
bin_width = (numbers.max() - numbers.min()) / bins
hist_area = len(numbers) * bin_width
x = np.linspace(numbers.min(), numbers.max(), 101)
plt.plot(x, scipy.stats.norm.pdf(x) * hist_area)
plt.hist(numbers,bins=500)
plt.show()

控制隨機(jī)數(shù)生成器

自然界很多事物都服從正態(tài)分布，例如身高、體重、鞋碼。

在像計(jì)算機(jī)這樣的確定性系統(tǒng)中創(chuàng)建隨機(jī)數(shù)并不容易。大多數(shù)隨機(jī)數(shù)生成器不能產(chǎn)生真正的隨機(jī)性，而是通過一種確定性和可重復(fù)的過程生成數(shù)字，使得這些數(shù)字看起來是隨機(jī)的。

通常情況下，一個(gè)隨機(jī)數(shù)生成器——或者更準(zhǔn)確地說，偽隨機(jī)數(shù)生成器（PRNG）——是從已知種子開始，并從中生成一個(gè)偽隨機(jī)數(shù)。這樣一個(gè)發(fā)生器的優(yōu)點(diǎn)之一就在于可以再現(xiàn)那些偽造出來的數(shù)字：

如果使用特定的種子創(chuàng)建隨機(jī)數(shù)生成器，則可以通過使用相同的種子稍后重新創(chuàng)建相同的隨機(jī)數(shù)。在此示例中，對(duì).normal（）的第二次調(diào)用生成與第一次調(diào)用相同的數(shù)字。另一方面，如果您使用不同的種子初始化生成器，則會(huì)獲得不同的隨機(jī)數(shù)。

歷史上，在NumPy中處理隨機(jī)數(shù)時(shí)沒有使用顯式隨機(jī)數(shù)生成器。而是直接調(diào)用諸如np.random.normal()之類的函數(shù)。但是，NumPy 1.17引入了顯式隨機(jī)數(shù)生成器，并鼓勵(lì)盡可能多地使用這種新方法來處理隨機(jī)數(shù)。

用中心極限定理逐步接近正常分布

正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率論中扮演著重要角色。它出現(xiàn)在許多實(shí)際例子和許多理論結(jié)果中。中心極限定理可以解釋一些根本原因。

該結(jié)果表明，重復(fù)實(shí)驗(yàn)的平均值將近似于正態(tài)分布。這個(gè)成立的一個(gè)重要條件是實(shí)驗(yàn)具有相同的分布，盡管它們不需要是正態(tài)分布。

舉個(gè)擲骰子的例子。普通骰子有六個(gè)面，在單次擲骰子時(shí)，每種結(jié)果——1、2、3、4、5或6都是等可能發(fā)生的。因此這些投擲是均勻分布的，然而，反復(fù)投擲骰子得到的平均數(shù)仍會(huì)接近正態(tài)分布。

可以使用NumPy來證明這一點(diǎn)。首先生成隨機(jī)骰子投擲：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rng = np.random.default_rng(seed=2310)
rng.integers(low=1, high=6, endpoint=True, size=1)

使用 .integers() 并指定要在 1 到 6 的范圍內(nèi)（包括邊界）抽樣整數(shù)。接下來可以使用 size 來模擬重復(fù)擲骰子的分布。首先將擲骰子的次數(shù)重復(fù)兩次，為了獲得代表性分布，進(jìn)行10000次這樣的重復(fù)投擲，使用 .mean() 來計(jì)算兩次擲骰子的平均值，然后繪制直方圖來查看分布：

rolls = rng.integers(low=1, high=6, endpoint=True, size=(10_000, 2))
plt.hist(rolls.mean(axis=1), bins=21)
plt.show()

分布接近對(duì)稱且有明顯的峰值，該分布并不均勻，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性也不相等。

如果你增加重復(fù)的次數(shù)，那么你會(huì)發(fā)現(xiàn)分布會(huì)越來越接近正態(tài)分布。

這說明了中心極限定理：重復(fù)實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生正態(tài)性。因?yàn)樵S多自然過程包括累加效應(yīng)，它們通常會(huì)符合正態(tài)分布。

—— end ——

文章來源：基算仿真