2023 年 4 月 10 日? 12 分鐘閱讀    

這篇文章于 2012 年 6 月首次發(fā)表。它在那里非常受歡迎，因此在此處重新發(fā)布以吸引更廣泛的讀者。

“令人尷尬的是，我們對網(wǎng)格如何影響 CFD 解決方案知之甚少，”不列顛哥倫比亞大學(xué)的 Carl Ollivier-Gooch 教授說。

這種說法與我們在實(shí)踐中都知道的事實(shí)背道而馳，即良好的網(wǎng)格有助于計(jì)算流體動力學(xué) (CFD) 求解器收斂到正確答案，同時最大限度地減少計(jì)算機(jī)資源消耗。換句話說，大多數(shù)像樣的求解器都會在良好的網(wǎng)格下產(chǎn)生準(zhǔn)確的答案，但需要最強(qiáng)大的求解器才能在不良網(wǎng)格上得到任何答案。

問題的癥結(jié)在于“良好的網(wǎng)格”的確切含義。錫拉丘茲大學(xué)的 John Dannenhoffer 教授指出，與判斷好網(wǎng)格相比，我們更擅長識別壞網(wǎng)格。區(qū)分好壞的事實(shí)是，壞是網(wǎng)格是否運(yùn)行的黑白決定。（壞通常只意味著是否有任何負(fù)體積單元。）另一方面，好的是所有的灰色陰影——有好的網(wǎng)格，也有更好的網(wǎng)格。

網(wǎng)格的優(yōu)點(diǎn)也不是全部。人們可以通過觀察網(wǎng)格并做出好/壞判斷的日子已經(jīng)一去不復(fù)返了。通過目視檢查密度等高線圖中的沖擊波有多薄來證明自適應(yīng)網(wǎng)格是合理的，但不能達(dá)到等級。重要的是 CFD 解決方案反映現(xiàn)實(shí)的準(zhǔn)確程度。因此，求解器的數(shù)值算法和要計(jì)算的流動的物理特性也必須在網(wǎng)格評估中考慮在內(nèi)。

上述段落中隱含了在計(jì)算 CFD 解決方案之前判斷網(wǎng)格質(zhì)量的想法。有些人認(rèn)為先驗(yàn)網(wǎng)格質(zhì)量評估的價值有限，并且根據(jù)正在發(fā)展的流動解決方案更改網(wǎng)格（通過網(wǎng)格自適應(yīng)或伴隨方法或其他技術(shù)）是生成良好網(wǎng)格和準(zhǔn)確網(wǎng)格的更好方法解決方案。

網(wǎng)格質(zhì)量研討會

鑒于這種情況，召集網(wǎng)格生成研究人員和從業(yè)人員來評估網(wǎng)格質(zhì)量這一主題非常重要。Pointwise 去年夏天在代頓參加了“網(wǎng)格質(zhì)量/分辨率、實(shí)踐、當(dāng)前研究和未來方向研討會”，由國防部高性能計(jì)算現(xiàn)代化計(jì)劃 (HPCMO) 主辦，由 PETTT 計(jì)劃（用戶生產(chǎn)力、增強(qiáng)、技術(shù)）組織轉(zhuǎn)移和培訓(xùn)）和 AIAA 的 MVCE 技術(shù)委員會（網(wǎng)格劃分、可視化和計(jì)算環(huán)境）。

該研討會匯集了網(wǎng)格質(zhì)量的所有利益相關(guān)者：CFD 從業(yè)者、CFD 研究人員、CFD 求解器代碼開發(fā)人員（商業(yè)和政府）以及網(wǎng)格生成軟件開發(fā)人員。本文末尾列出了研討會演示文稿（參考文獻(xiàn) 1a-1i）。來自 High Performance Technologies 的 Hugh Thornburg 寫了一篇研討會概述（參考文獻(xiàn) 2），很好地總結(jié)了當(dāng)前的事態(tài)：

• “作為中間產(chǎn)品的網(wǎng)格沒有內(nèi)在要求，只需要足以促進(jìn)對所需結(jié)果的預(yù)測。” 我將此解釋為網(wǎng)格“不錯”的雙重否定質(zhì)量判斷。

• “網(wǎng)格必須以離散的方式捕獲感興趣的系統(tǒng)/問題，并提供足夠的細(xì)節(jié)，以便能夠執(zhí)行所需的模擬。” 只要“所需的模擬”隱含地包括“達(dá)到所需的精度水平”，這就是一個很好的定義。

• Thornburg 還承認(rèn)網(wǎng)格生成的許多實(shí)際限制，例如分配給網(wǎng)格劃分的時間、參數(shù)研究的拓?fù)鋯栴}、由于計(jì)算資源而導(dǎo)致的網(wǎng)格大小限制，以及特定于求解器的要求。

Thornburg 還提供了 Simpson's Verdict 庫（參考文獻(xiàn) 3）作為事實(shí)上的參考資料，它涵蓋了計(jì)算元素屬性的“即使不是全部，也是大多數(shù)常用技術(shù)”。

用戶視角

NASA 的 Stephen Alter 證明了網(wǎng)格質(zhì)量先驗(yàn)指標(biāo)的重要性，他定義并展示了 GQ（網(wǎng)格質(zhì)量）指標(biāo)的實(shí)用性，該指標(biāo)將正交性和拉伸結(jié)合為一個數(shù)字。為了確保使用薄層 Navier-Stokes 求解器計(jì)算的鈍體上的超音速流動解決方案的準(zhǔn)確性，他為 GQ 指標(biāo)建立了標(biāo)準(zhǔn)，這讓他在開始 CFD 解決方案之前充滿信心。

GQ 的兩個方面值得注意。首先，該指標(biāo)對正交性的依賴與求解器的數(shù)值密切相關(guān)——當(dāng)網(wǎng)格缺乏正交性時，TLNS 假設(shè)就會失效。其次，使用全局指標(biāo)有助于決策制定，或者正如 Thornburg 所寫，“局部誤差估計(jì)沒有多大用處。” GQ 代表領(lǐng)域?qū)I(yè)知識——在特定應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)使用特定標(biāo)準(zhǔn)。

研究者視角

Dannenhoffer 報(bào)告了一項(xiàng)廣泛的基準(zhǔn)研究，該研究涉及 5 度雙楔翼型在 2 馬赫無粘流和 3 度攻角下結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格質(zhì)量的參數(shù)變化。網(wǎng)格的變化包括分辨率、縱橫比、聚類、傾斜、錐度和擺動（使用 Verdict 定義）。

Dannenhoffer 的主要結(jié)論非常有趣：網(wǎng)格指標(biāo)與解決方案準(zhǔn)確性之間幾乎沒有（如果有的話）相關(guān)性。他發(fā)現(xiàn)很難在不影響另一個指標(biāo)的情況下更改一個指標(biāo)（例如，向網(wǎng)格添加擺動也會影響偏斜），或者可能是由于特定的流動條件，這可能加劇了這種情況。

Dannenhoffer 還引入了網(wǎng)格有效性（與網(wǎng)格質(zhì)量相對）的概念，旨在衡量網(wǎng)格是否符合正在建模的配置（實(shí)際上有時不符合）。他提出了三種類型的有效性檢查：

• 類型 1 檢查單元格是否具有相互不相交的正體積和面。這里又是“這個網(wǎng)格壞了嗎？”的一個例子。問題。

• 類型 2 檢查內(nèi)部單元面是否與另一個內(nèi)部面唯一匹配，以及邊界單元面是否位于被劃分網(wǎng)格的對象的幾何模型上。

• 類型 3 檢查幾何模型的每個表面是否完全被邊界單元面覆蓋，幾何的每個硬邊緣是否被邊界單元面的邊緣覆蓋，以及邊界面面積的總和是否與實(shí)際幾何表面積匹配。

圖 1：一個簡單的演示，說明從單元幾何角度（右）來看，較差的網(wǎng)格如何比具有“完美”單元（左）的網(wǎng)格產(chǎn)生更低的離散化誤差。來自參考文獻(xiàn) 1c。

弗吉尼亞理工大學(xué)的 Christopher Roy 教授展示了一個反直覺的例子（至少從先驗(yàn)指標(biāo)的角度來看），即 2D Burger 方程在自適應(yīng)網(wǎng)格（具有廣泛變化的傾斜、縱橫比和其他指標(biāo)的單元格）上的解與完美正方形網(wǎng)格上的解相比，離散化誤差要小得多。僅從這個例子就可以清楚地看出，僅基于單元格幾何形狀的指標(biāo)并不是網(wǎng)格質(zhì)量的良好指標(biāo)，因?yàn)樗c解決方案的準(zhǔn)確性有關(guān)。

求解器的角度

研討會很幸運(yùn)有幾位流動求解器開發(fā)人員參與，他們分享了有關(guān)求解器如何受網(wǎng)格質(zhì)量影響的詳細(xì)信息。所有這些的共同點(diǎn)是收斂性和穩(wěn)定性受網(wǎng)格質(zhì)量的影響比求解精度更直接。

差價合約++

Metacomp Technologies 的 Vinit Gupta 將單元偏度和單元大小變化列為結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格需要注意的兩個質(zhì)量問題。特別是，在梯度較低的遠(yuǎn)場中跨塊邊界的網(wǎng)格細(xì)化對收斂具有強(qiáng)烈的負(fù)面影響。對于非結(jié)構(gòu)化和混合網(wǎng)格，邊界層中的各向異性四面體以及從棱柱到邊界層外四面體的過渡也可能存在問題。

Gupta 還指出了與度量計(jì)算相關(guān)的兩個問題。依賴于將細(xì)胞分解成四組的細(xì)胞體積計(jì)算不是唯一的，并且取決于分解的方式。因此，一個程序報(bào)告的數(shù)量（或任何依賴于數(shù)量的度量）可能與另一個程序報(bào)告的不同。類似地，除三角形之外的任何事物的面法線計(jì)算都不是唯一的，并且也可能因程序而異。（這是我們在 Pointwise 經(jīng)常遇到的情況，當(dāng)時與求解器供應(yīng)商就單元體積存在分歧，結(jié)果證明是不同計(jì)算方法的結(jié)果。）

流利和CFX

ANSYS 的 Konstantine Kourbatski 展示了不同于完美的單元形狀（面法向量與連接相鄰單元中心的向量的點(diǎn)積）如何使方程組變得更僵硬并減慢收斂速度。然后，他介紹了指標(biāo)、正交質(zhì)量和兩個偏度定義，以及 Fluent 求解器的經(jīng)驗(yàn)法則。有趣的是，正交性度量的范圍從 0（差）到 1（好），而偏度度量正好相反：0 表示好，1 表示壞。度量標(biāo)準(zhǔn)的另一個示例是，在大流量中縱橫比應(yīng)保持小于 5。Kourbatski 還提供了 CFX 求解器的指南。

他還指出，關(guān)鍵流動特征（例如，剪切層、沖擊波）的分辨率對于精確解決方案至關(guān)重要，而良性流動區(qū)域中的壞細(xì)胞通常不會對解決方案產(chǎn)生重大影響。

紅隼

來自 CREATE-AV 程序的 CFD 求解器 Kestrel 由阿拉巴馬大學(xué)伯明翰分校的 David McDaniel 代表。首先，他發(fā)表了兩個重要聲明。首先，他們的目標(biāo)是“用好提供給我們的網(wǎng)格”。（這類似于 Pointwise 處理 CAD 幾何體的方法——對提供的幾何體做到最好。）其次，他指出，根據(jù)傳統(tǒng)的網(wǎng)格指標(biāo)，混合元素非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（它們的主要類型）是糟糕的，盡管眾所周知產(chǎn)生準(zhǔn)確的結(jié)果。對于自適應(yīng)網(wǎng)格和因網(wǎng)格內(nèi)主體的相對運(yùn)動而扭曲的網(wǎng)格（例如，襟翼偏轉(zhuǎn)、存儲掉落），同樣的觀察結(jié)果也是如此。

更重要的是，McDaniel 通過回顧 Mavriplis 關(guān)于阻力預(yù)測研討會的論文（參考文獻(xiàn) 4）指出求解器離散化和網(wǎng)格幾何之間的“可怕”相互依賴性，其中兩個極其相似的網(wǎng)格使用多個求解器產(chǎn)生截然不同的結(jié)果。

為了解決網(wǎng)格質(zhì)量問題，Kestrel 的開發(fā)人員實(shí)施了局部和全局的無量綱質(zhì)量指標(biāo)，并且在 0 始終表示差和 1 始終表示良好的意義上保持一致。對 Kestrel 重要的指標(biāo)是四邊形面平面度的面積加權(quán)度量、與最近的實(shí)體邊界對齊的有趣度量、考慮相鄰單元質(zhì)心的方向和接近度的最小二乘梯度、平滑度、間距和各向同性.

圖 2：使用 Kestrel 可以顯示網(wǎng)格和解決方案質(zhì)量之間的相關(guān)性。來自參考文獻(xiàn) 1f。

與 Dannenhoffer 的結(jié)果不同，McDaniel 展示了網(wǎng)格質(zhì)量與求解精度的相關(guān)性，但需要注意的是，解析良好的網(wǎng)格可能質(zhì)量較差，但仍能產(chǎn)生良好的答案。（換句話說，點(diǎn)數(shù)越多越好。）

星-CCM+

Alan Mueller 在介紹 CD-adapco 的 STAR-CCM+ 求解器時首先指出，網(wǎng)格質(zhì)量始于 CAD 幾何質(zhì)量，并表現(xiàn)為低質(zhì)量的表面網(wǎng)格或真實(shí)形狀的不準(zhǔn)確表示。這與 Dannenhoffer 的網(wǎng)格有效性想法相呼應(yīng)。

在介紹了他們的質(zhì)量指標(biāo)列表后，Mueller 發(fā)表了以下聲明，“在不太完美的網(wǎng)格上的結(jié)果與在花費(fèi)大量資源消除網(wǎng)格中的不良單元格的網(wǎng)格上基本相同（拖動和提升）。” 在這里，我們注意到目標(biāo)函數(shù)是積分量（阻力和升力），而不是像壓力分布這樣的分布式數(shù)據(jù)。畢竟，綜合量是我們希望從 CFD 中獲得的工程數(shù)據(jù)類型。

這種精度對網(wǎng)格質(zhì)量的不敏感性支持 Mueller 的立場，即細(xì)胞質(zhì)量差是一個穩(wěn)定性問題。因此，STAR-CCM+ 的方法是保守的——選擇穩(wěn)健性而不是準(zhǔn)確性。具體來說，他們正在尋找將導(dǎo)致求解器中被零除的指標(biāo)。影響擴(kuò)散通量和線性化的偏度就是這樣的一個例子。

Mesher 的觀點(diǎn)

John Steinbrenner 博士和 Nick Wyman 博士采用違反直覺的方法分享了 Pointwise 對與解決方案無關(guān)的質(zhì)量指標(biāo)的看法。您會認(rèn)為網(wǎng)格生成開發(fā)人員會提升先驗(yàn)指標(biāo)的功效。但 CFD 解中的誤差包括幾何誤差、離散化誤差和建模誤差。幾何錯誤類似于 Dannenhoffer 和 Mueller 關(guān)于正確表示形狀的觀點(diǎn)。建模誤差來自湍流、化學(xué)和熱物理特性。離散化涉及求解器數(shù)值的退化。離散化誤差是由網(wǎng)格和求解器的數(shù)值算法之間的耦合驅(qū)動的。

圖 3：此表總結(jié)了 Pointwise 中可用的網(wǎng)格質(zhì)量指標(biāo)。從參考 1h。

因此，盡管 Fidelity Pointwise 可以計(jì)算和顯示許多指標(biāo)，但需要注意的是，其中許多指標(biāo)與求解器的數(shù)值沒有直接關(guān)系，因此它們只是解決方案準(zhǔn)確性的松散指標(biāo)。另一方面，這些指標(biāo)計(jì)算方便，可以解決 Dannenhoffer 的網(wǎng)格有效性問題，并提供啟動網(wǎng)格改進(jìn)技術(shù)的機(jī)制。它們還構(gòu)成了用戶開發(fā)領(lǐng)域?qū)I(yè)知識的能力的基礎(chǔ)——與他們的特定應(yīng)用領(lǐng)域相關(guān)的指標(biāo)。

結(jié)論

• CFD 求解器開發(fā)人員認(rèn)為網(wǎng)格質(zhì)量對收斂的影響遠(yuǎn)大于精度。因此，由于收斂不良或不完全收斂而導(dǎo)致的求解誤差不容忽視。

• 一位研究人員能夠證明網(wǎng)格質(zhì)量與求解精度之間完全沒有相關(guān)性。為其他求解器和流動條件重現(xiàn)此結(jié)果將很有價值。

• 使用盡可能多的網(wǎng)格點(diǎn) (Dannenhoffer, McDaniel)。在許多情況下，分辨率勝過質(zhì)量。然而，通過使用最少數(shù)量的點(diǎn)（Thornburg 稱之為最佳網(wǎng)格）來最小化計(jì)算時間的實(shí)際問題意味著質(zhì)量仍然很重要。

• 先驗(yàn)指標(biāo)作為運(yùn)行求解器之前的有效置信度檢查對用戶很有價值。重要的是，這些指標(biāo)既要考慮單元格幾何形狀，也要考慮求解器的數(shù)值算法。這意味著指標(biāo)依賴于求解器。進(jìn)一步的含義是實(shí)施 Dannehoffer 的網(wǎng)格有效性檢查。

• 有許多可以計(jì)算的質(zhì)量指標(biāo)，但它們通常在不同的程序中計(jì)算不一致。開發(fā)通用的指標(biāo)詞匯表將有助于可移植性。

• 解釋指標(biāo)可能很困難，因?yàn)樗鼈兊膶?shí)際數(shù)值是不直觀的，并且阻礙了領(lǐng)域?qū)I(yè)知識的發(fā)展。度量詞匯表應(yīng)說明結(jié)果數(shù)值的期望范圍以及“壞”和“好”的含義。

參考

1. 工作坊介紹：

1. Stephen Alter，NASA Langley，“結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格質(zhì)量測量”

2. John Dannehoffer，雪城大學(xué)，“關(guān)于網(wǎng)格質(zhì)量和有效性”

3. 克里斯托弗·羅伊，弗吉尼亞理工大學(xué)，“離散化誤差”

4. Vinit Gupta，Metacomp Technologies，“CFD++ 對網(wǎng)格質(zhì)量的看法”

5. Konstantine Kourbataski，ANSYS，“ANSYS CFD 中的網(wǎng)格質(zhì)量評估”

6. David McDaniel，阿拉巴馬大學(xué)伯明翰分校，“Kestrel/CREATE-AV Perspective on Mesh Quality”

7. Alan Mueller，CD-adapco，“CD-adapco 對網(wǎng)格質(zhì)量的看法”

8. John Steinbenner 和 Nick Wyman，Pointwise，“獨(dú)立于解決方案的指標(biāo)”

9. 可通過電子郵件請求pettt-requests@drc.com獲取網(wǎng)格質(zhì)量研討會的演示文稿。

2. Thornburg, Hugh J.，“關(guān)于網(wǎng)格質(zhì)量/分辨率、實(shí)踐、當(dāng)前研究和未來方向的 PETTT 研討會概述”，AIAA 論文編號。2012-0606，2012 年 1 月。

3. Stimpson, CJ 等人，“The Verdict Geometric Quality Library”，桑迪亞報(bào)告 2007-1751，2007 年。

4. Mavriplis, Dimitri J.，“阻力預(yù)測研討會系列中的網(wǎng)格質(zhì)量和分辨率問題”，AIAA 論文 2008-930，2008 年 1 月。

5. Roache, PJ，“計(jì)算流體動力學(xué)中不確定性的量化”流體力學(xué)年度回顧卷。1997 年 29 日，第 123-160 頁。

6. Knupp, Patrick M.，“關(guān)于網(wǎng)格質(zhì)量的評論”，AIAA，2007 年 1 月。

文章來源：cadence博客