1 基于cohesive單元的裂縫擴展模擬

1.1 cohesive單元簡介

      cohesive單元（粘性單元）定義： 通過預置裂紋邊（面）的方式來模擬二維（三維）裂紋，即在預判的裂紋區(qū)域加入一層厚度為0的cohesive單元。

       cohesive單元簡界：如圖1所示，cohesive單元由頂面，中面和底面組成。cohesive模型通過損傷起始準則以及演化方法來判斷其損傷情況。損傷發(fā)生在cohesive單元上，當滿足損傷判據時cohesive單元開始進入損傷，根據預先定義的損傷演化模型，當單元損傷累積到完全失效時cohesive單元的中層;一分為二，使物體產生幾何上的不連續(xù)，從而形成開裂。

圖1 cohesive單元示意圖

1.2 斷裂力學原理

     cohesive單元的損傷時由牽引-分離(traction-separation)定理描述的，在宏觀上牽引力與位移的關系如圖2所示。

ABAQUSprocess=/format,webp/resize,w_760" https: www.yqgqt.org.cn major abaqus" style="text-decoration: none; cursor: text; color: #333;" data-initial-src="https://img.jishulink.com/msimage/202303/46bee398bf9e0e51edbeb00a84b6b667.png">ABAQUS/format,webp/resize,w_760" data-initial-src="https://img.jishulink.com/msimage/202303/46bee398bf9e0e51edbeb00a84b6b667.png">

圖2 牽引力-牽引位移示意圖

     在損傷前，應力與應變滿足如下關系:ABAQUSlass="p1">

       公式中，上標0單元分層損傷起始位移，f代表最終開裂位移，max代表加載過程中最大位移，并且滿足損傷不可逆性。

      損傷起始準則用于判斷材料是否開始損傷。常見的損傷判據如下表。

      當材料開始滿足損傷起始準則之后，表現出整體剛度退化的現象。并且損傷演化定義了剛度退化的規(guī)律和裂縫的擴展，同時損傷演化分為位移和能量兩種模式：位移即為圖2的橫軸，能量為圖中曲線圍成的面積。

2 ABAQUS中關于CohesivABAQUS和設置

2.1 牽引-分離準則

      通常假定在初始階段粘結滑移單元的牽引- 分離曲線是線形變化的，一旦達到破壞條件，材料就會按照用戶自定義的損傷演化準則發(fā)生破壞，圖3就是典型的牽引-分離曲線。

圖3 混合模式下cohesive單元牽引力-牽引位移示意圖

2.2 彈性模量

     以三維cohesive單元為例，其牽引應力張量為t

式中:

tn--法向牽引應力(局部坐標3軸方向)

Ts,tt--切線牽引應力(局部坐標1, 2軸方向)

     ABAQUS中Cohesive單元的局部坐標方向如圖2所示。

ABAQUS中Cohesivef0.png?image_process=/format,webp" data-pc-src="https://img.jishulink.com/msimage/202303/c6df341f165891247fc865ed95eb2df0.png?image_process=/format,webp" data-initial-src="https://img.jishulink.com/msimage/202303/c6df341f165891247fc865ed95eb2df0.png">

     以δn、δs、δt分別表示對應方向的位移分量，以T0表示Cohesive單元的初始厚度，則其名義應變分量可表示為:

     其材料本構關系可以用下式表達:

     在ABAQUS中指定材料參數時，如選擇Traction，如圖3所示，則剛度矩陣E的非對角線元素全部為0，即:

ABAQUS中指定材料b.png?image_process=/format,webp" data-pc-src="https://img.jishulink.com/msimage/202303/173f4bad2081be06c8d8a53887fb7fab.png?image_process=/format,webp" data-initial-src="https://img.jishulink.com/msimage/202303/173f4bad2081be06c8d8a53887fb7fab.png">

     此時僅需填寫材料三個方向的彈性模量Enn、ESS、Ett.

     當在指定材料彈性類型時選擇Coupled Traction，如圖4所示，則剛度矩陣的的非對角元素不為0，此時由于剛度矩陣的對稱性，需要填入除對角元素外的三個非對角元素Ens、Ent和Est，此外在此輸入的彈性模量值受指定的材料初始厚度的影響，詳見2材料厚度的選擇。

   

圖3: Traction選項         

圖4: Coupled Traction 選項

2.3 損傷準則

2.4 損傷演化

此部分主要為損傷演化因子D。

2.4.1 材料厚度的選擇

假定由T-S曲線所得的材料彈性階段的曲線斜率為Kp ，軟件中指定的材料厚度為heff，以法向為例，在其法向位移為δn的情況下其法向應力為：

由材料力學可知：

結合上述公式可得：

     所以在ABAQUS中填寫材料初始厚度時，如圖5所示,有“Use analysis default" 、“Use nodal coordinates”和“Specify” 三種選擇。當選擇“Use analysis default”時，軟件默認的材料初始厚度為1.0。此時E= K，軟件輸出結果中，應變=位移；當用戶按實際材料厚度hgeo建立模型，并選擇“Use nodal coordinates”時，此時材料彈性模量填寫時，E= Khgeo；當選擇“Specify" ABAQUS中填寫材料厚度時，假定指定的材料厚度為hsp，此時材料彈性模量填寫時，E=Khsp。三種方式對應的輸出變量中僅Cohesive單元的位移不同，其他變量(如，應力、應變)均無差別。

圖5:材料初始厚度的選擇

3 ABAQUS中Cohesive單元建模方法講解

      應用 cohesive 單元模擬復合材料失效，包括兩種模型：一種是基于 traction-separation描述；另一種是基于連續(xù)體描述。其中基于 traction-separation 描述的方法應用更加廣泛。而在基于 traction-separation 描述的方法中，最常用的本構模型為圖2所示的雙線性本構模型。它給出了材料達到強度極限前的線彈性段和材料達到強度極限后的剛度線性降低軟化階段。注意圖中縱坐標為應力，而橫坐標為位移，因此線彈性段的斜率代表的實際是cohesive 單元的剛度。曲線下的面積即為材料斷裂時的能量釋放率 。因此在定義 cohesive 的力學性能時，實際就是要確定上述本構模型的具體形狀：包括剛度、極限強度、以及臨界斷裂能量釋放率，或者最終失效時單元的位移。常用的定義方法是給定上述參數中的前三項，也就確定了 cohesive 的本構模型。Cohesive 單元可理解為一種準二維單元，可以將它看作被一個厚度隔開的兩個面，這兩個面分別和其他實體單元連接。Cohesive 單元只考慮面外的力，包括法向的正應力以及 XZ ，YZ 兩個方向的剪應力。

cohesive單元的剛度

基于 traction-separation 模型的界面單元的剛度可以通過一個簡單桿的變形公式來理解:

其中 L為桿長，E為彈性剛度， A為初始截面積，P為載荷。公式（1）又可以寫成:

其中S=P/A為名義應力，K=E/L為材料的剛度。

為了更好的理解K，我們把K=E/L寫成:

     這里我們用L'來代替1,其中L可以理解為建模厚度,即建模時cohesive interface的幾何厚度; L'為實際厚度，即cohesive interface的真實厚度，這個厚度在cohesive section中定義。E/L可以理解為幾何剛度，即模型中

cohesive interface所具有的剛度;為cohesive interface 的真實剛度。當L'為1時，計算界面剛度就采用幾何剛度E/L，當L'為0.001時，計算時界面剛度變?yōu)?000E/L。舉個小例子，如果界面的實際厚度為0.01，而在建模時就是按照這個厚度建立的，在定義material-section 時又specify這層的厚度為0.01，實際上就等于把界面剛度提高了2個數量級，模擬結果當然是不對的，這時定義section時應采用默認厚度1。ABAQUS在cohesive建模中使用了很“人性化”的設計，實際問題中界面可能很薄，有的只有0.001mm,甚至更小。有些問題cohesive單元的interface 還可能是0厚度(比如crack問題)，而相對來說整體模型也許很大，如果不引入這兩個厚度，我們就要在很大的模型中去創(chuàng)建這個很小的界面這是一個很麻煩的事情。引入這兩個厚度,在建模時我們就可以用有限的厚度來代替這個很小的界面厚度，只要在section中定義這個L'就好了。(注:以上大部分內容來自仿真論壇:再議cohesive應用中對于一-些參數的理解)

4 一個解釋

      另外有個我的經驗公式:大體上energy > 0.5*( damage initiation) ^2/ (stiffness)這個公式不難理解，就是銳角三角形的總面積大于一條側邊下的面積，將traction-separation law畫成圖線你就一目了然了。不過根據不同的法則，會稍微有些區(qū)別的。”----以上的話引自dava的個人空間，這里我想解釋下這個不等式，有些新手可能一下還看不明白。damage initiation 為開始破壞時的應力，即三角形的高； stiffness 為剛度，也就是斜率，即tan q ；所以側邊三角形的底邊為damage initiation/stiffness ，0.5* (damage initiation) ^2/(stiffness)即為側邊下的三角形面積。實際上能量還要大于這個側邊下三角形的面積很多,因為斜率一般都很大。

5 關于材料參數

       定義cohesive的材料時，要填入材料的參數，這些材料參數是材料固有的特性，與幾何沒有關系，所以放心大膽的填入吧。材料參數是由試驗得到的，如果不能做實驗(多數情況如此)，就去查國際上相關的文獻吧，數據甚至比你自己做試驗都要詳細，在填入數據時要注意單位的統一。再說句，斷裂能為單位面積上的能量，如你的單位選取N (力的單位)長和M(度單位)，那么能量的單位為N/M。

下面舉例來說明cohesive單元剛度的設置過程，以ABAQUS6.9為例:

      進入property界面，點擊Material→Creat，在彈出的Edit Material對話框中，可以編輯新創(chuàng)建的cohesive材料的名稱，然后點擊Mechanical→Elasticity→Elastic→Traction，在空格中輸入相應的剛度。

6 損傷準則

6.1 初始損傷準則

       初始損傷對應于材料開始退化，當應力或應變滿足于定義的初始臨界損傷準則，則此時退化開始。Abaqus 的Damage for traction separation law中包括: Quade Damage（二次應變）、Maxe Damage（最大應變）、Quads Damage（二次應力-常用）、Maxs Damage（最大應力）、Maxpe Damage、Maxps Damage六種初始損傷準則，其中前四種用于一般復合材料分層模擬，后兩種主要是在擴展有限元法模擬不連續(xù)體(比如crack問題)問題時使用。

使用圖2所示的雙線本構模型，其中：tn0、ts0、tt0分別代表純Ⅰ型、純Ⅱ型或純Ⅲ型破壞的最大名義應力，εn0、εs0、εt0代表相應的最大名義應變，當定義界面單元的初始厚度為1時，則名義應變等于與之相對應的相對位移δn、δs、δt 。

Quade Damage為二次名義應變準則:當名義應變比的平方和等于1時，損傷開始。

Maxe Damage為最大名義應變準則:當任何一個名義應變的比值達到1時，損傷開始。

Quads Damage為二次名義應力準則:當各個方向的名義應變比的平方和等于1時，損傷開始。

Maxs Damage為最大名義應力準則:當任何一個名義應力比值達到1時，損傷開始。

      Edit Material對話框中，點擊Mechanical-→Damage for Traction Separation Laws然后根據自己的需要點擊相應的損傷準則。其中最常用是Quads Damage.

6.2 損傷演化規(guī)律

       選擇了初始損傷準則之后，然后點擊Sub options - Damage Evolution窗口，其中Type包括Displacement和Energy , Displacement為基于位移的損傷演化規(guī)律,而Energy為基于能量的損傷演化規(guī)律。Softening 中包括Linear, Exponential 及Tabular三種剛度退化方式....Evolution中的所有的選項都是用來確定單元達到強度極限以后的剛度降階方式。一般常用:以能量來控制單元的退化，即Type -> Energy；線性軟化模型，即Softening → Linear，Degradation → Maximum ; Mixed mode behavior -> BK，Mode mix ratio ->Energy，并選中Power。