概述： 對于以單元為中心的 CFD 流動求解器，使用連通性信息在重疊域中進行插值通常會使用最小二乘法來確定插值權重。使用最小二乘法產生的權重不受 0 和 1 之間的限制。因此，插值可能是非單調的，并且會在解中引入新的極值，這會給 CFD 解帶來困難。使用連接原始單元中心以形成雙網格單元的雙網格插值可以與三線性插值一起使用以產生介于 0 和 1 之間的權重。全局的雙網格方法，其中單個網格連接所有單元格中心，其存儲成本可能很高。在使用一組局部對偶網格時，其中每個原始網格元素都有一個獨立于相鄰局部對偶的關聯局部對偶網格，可以通過僅加載插值所需的局部雙網格集來減少內存需求。在本文中，將使用最小二乘插值權重的可壓縮 CFD 解決方案與使用全局雙網格插值權重的解決方案進行了比較。這些結果表明，使用最小二乘插值權重的非單調插值會導致解不穩定。當使用雙網格插值權重時，觀察到 CFD 解更穩定。這些結果表明，使用最小二乘插值權重的非單調插值會導致解不穩定。當使用雙網格插值權重時，觀察到 CFD 解更穩定。這些結果表明，使用最小二乘插值權重的非單調插值會導致解不穩定。當使用雙網格插值權重時，觀察到 CFD 解更穩定。

介紹

重疊或嵌合網格方法利用一組重疊網格來離散化解決方案域。組件網格可以在不考慮幾何體其他部分的情況下進行擬合，并且可以在很大程度上簡化網格生成過程。結果是一個靈活的計算模擬框架，可以在許多情況下成為推動力。它已被廣泛用于簡化復雜幾何結構的結構化網格生成要求。使用重疊網格系統也是模擬相對運動物體的一種很有前途的解決方案，例如從飛機和旋翼飛機上掉落的油箱。

在確定重疊復合網格系統上的流動解決方案時，點模板和定義插值權重的方法是關鍵因素。這種插值的精度和平滑度會影響流解的精度和穩定性。網格中流相關變量的位置會影響插值模板和用于確定插值權重的方法。

雙網格

原始網格由網格點組成，其中這些網格點之間的單元連接由網格生成軟件生成。這組細胞類型通常是四面體、六面體、棱柱和金字塔。

雙網格由原始網格的單元中心和這些雙網格點的連通性組成，以形成雙單元。必須定義雙網格單元連接，因為我們只提供了原始網格單元連接。構建的雙網格單元的類型將顯著影響用于插值的方案。使用最小二乘法計算權重的一個缺點是權重不受 0 和 1 的限制。非結構化網格的雙網格將提供與結構化網格相同的好處，但以更多的內存和時間為代價。

A. 結構化雙網格

對于結構化網格，以單元為中心的位置之間的連接以與點/節點相同的方式隱含。由于雙網格連接單元格中心，因此它們不會覆蓋與節點或原始網格相同的體積。雙網格單元不覆蓋邊界單元中心和網格邊界之間的空間。因此，雙網格中的供體必須對位于邊界單元中心和塊邊界面之間的空隙中的任何邊緣使用外推法。如果連接規則且拓撲一致，則雙網格可以跨點匹配塊到塊接口擴展。

B. 非結構化雙網格

圖 1 顯示了一個由三角形（黑線）和顯示為藍點的單元中心組成的非結構化原始網格。一種可能的帶有三角形的雙網格以淺藍色顯示，它連接單元格中心。三維中的非結構化單純形雙網格單元將是四面體。顯然，需要多個雙網格三角形來覆蓋原始三角形。因此，必須通過雙網格中的供體搜索來增強原始網格中的供體搜索，以找到正確的雙供體細胞。

圖 1. 以細胞為中心的非結構化原始網格和對偶網格。

C. 結構化雙網格供體六面體

Suggar++ 軟件中的供體搜索最初將在原始網格上運行，即使請求雙網格供體也是如此。原始網格供體單元被用作雙網格供體六面體的一個角，并且程序嘗試使用適當的鄰居來形成六面體的剩余角。由于雙網格連接細胞中心，請注意，如果邊緣落在細胞中心和邊界面之間的體積中，則邊緣位置將在雙網格供體之外，并且會發生外推。

D. 減少雙網格供體

如前所述，雙網格不會覆蓋與節點或原始網格相同的體積，并在邊界附近留下空隙。位于此空隙中的邊緣點將找到原始網格供體，但雙網格供體將需要外推，可能導致非單調插值，內插值不受供體成員值的限制。

如果用戶接受邊界法線方向插值精度的降低，則可以保留單調插值。雙網格供體成員可以減少為四邊形，但當邊界沒有單一法線方向時，減少程序會將供體細胞減少為單個供體成員：原始細胞。類似的還原過程用于非結構化雙網格，其中當邊緣點位于邊界面附近并且在雙四面體網格之外時，供體將自動退化為三角形、線和點。

E. 以細胞為中心的供體使用雙網格的好處

與默認的以細胞為中心的供體相比，以細胞為中心的雙網格供體可以提供顯著的好處。如前所述，默認以細胞為中心的供體的供體成員是供體細胞及其鄰居，其中供體權重使用最小二乘法計算。這些最小二乘權重可能不受零和一的限制，并且可能導致非單調插值。此外，隨著邊緣位置從一個供體單元格移動到相鄰單元格，內插值可能不連續，因為供體成員將發生變化。相反，雙網格供體使用插值單元連接原始單元區域中的單元中心。

對于結構化網格，雙網格供體將是連接供體細胞中心與相鄰細胞中心的六面體。對于非結構化網格，單純形雙網格供體將是連接原始雙細胞區域中的細胞中心的四面體。雙網格四面體供體插值的好處必須與非結構化雙網格的存儲成本和雙網格內的第二供體搜索進行權衡。雙網格中的網格點將是原始網格的單元中心。對偶網格中四面體數量的估計將是原始網格中單元中心數量的 6-7 倍。因此，雙網格存儲可以相當大。

圖 2. 邊界附近有邊緣的以細胞為中心的雙網格供體。

雙電網能力評估案例

在 RavenCFD 中選擇了兩種幾何形狀進行模擬，以評估 Suggar++ 中的雙網格能力。第一個是高超音速 HIFiRE-1 圓錐/圓柱/耀斑幾何形狀，第二個是 NASA 通用研究導彈。選擇這些幾何形狀是因為存在用于比較和評估一系列流態的實驗數據。

A.HIFIRE-1

HIFiRE-1 是由高超音速國際飛行研究和實驗 (HIFiRE-1) 飛行測試計劃評估的高超音速圓錐/圓柱/耀斑幾何形狀。在目前的工作中，RavenCFD 模擬選擇了壁溫為 300 K 的馬赫 7.16 情況，以三種形式進行，以評估雙網格供體方法。

1. 無插值函數裁剪的最小二乘供體加權

2. 具有插值函數裁剪的最小二乘供體加權

3. 無插值函數裁剪的雙網格供體加權

在這些情況下，插值區域被推到非常靠近 HIFiRE-1 主體的位置，以確保插值發生在高梯度區域。圖 3 是沿 y 軸的切片，它顯示了 HIFiRE-1 幾何表面上的壁熱傳遞行為和火炬區域中的整體流動行為，用于使用帶插值函數裁剪的最小二乘加權進行模擬。

雙網格需要更多的內存，但在這種情況下，總體供體搜索掛鐘時間顯示的差異很小。如前所述，最小二乘法有一個嚴重的缺點，即權重可能不受 0 和 1 的限制。因此，插值可能是非單調的，并且會在解中引入新的極值，從而給流求解器帶來困難。這種行為在 RavenCFD 中模擬 HIFiRE-1 幾何結構時得到了例證。

當使用沒有裁剪的最小二乘供體加權時，插值函數導致數值困難，并且模擬崩潰。雖然使用具有限幅的插值函數的最小二乘施主加權的模擬進行到收斂。正如預期的那樣，使用沒有插值函數裁剪的雙網格供體的模擬能夠繼續收斂。因此，雙網格有效地限制了插值函數，以消除將錯誤極值引入流動求解器解決方案。

圖 3.RavenCFD 模擬結果顯示了 HIFiRE-1 耀斑區域的表面熱通量和整體流動中的馬赫數。

B. NASA 通用研究導彈 (CRM)

對于 CRM 幾何形狀，進行了三個模擬：

1. 具有插值函數裁剪的最小二乘供體加權

2. 無插值函數裁剪的雙網格供體加權

3. 共形網格

同樣在這種情況下，重疊網格邊界被迫非常靠近 CRM，因此在這項工作中，重疊插值發生在高梯度區域。圖 4 顯示 CRM 網格（黑色）在越來越粗糙的笛卡爾背景網格的多個級別上靠近主體切割，隨著與導彈主體的距離增加。

正如預期的那樣，雙網格的內存使用量更大，供體搜索時間也是如此。與 HIFiRE-1 案例相比，最小二乘法和雙網格供體搜索算法之間的供體搜索時間差異增加可歸因于 CRM 案例的組件網格數量增加。多級背景笛卡爾細化要求 Suggar++ 搜索多個重疊網格以尋找合適的供體。

圖 4. CRM 模擬中的組件網格。

然而，再次使用雙網格供體搜索算法有效地將插值函數限制在 0 和 1 之間，因此允許使用雙網格進行 CRM 模擬，而無需剪裁插值函數。每個 CFD 模擬的結果都非常相似，重疊模擬表現出與保形模擬幾乎相同的行為，盡管有一些輕微的振蕩，很可能是由于高梯度區域的插值。總的來說，這項工作中顯示的 RavenCFD 模擬表明，使用雙網格方法時插值函數的邊界可以消除引入流求解器的虛假極值，這會導致數值困難。

結論

將其因變量存儲在單元格中心的流動求解器使用的重疊網格系統通常會使用插值供體。二階插值要求可以使用最小二乘法來找到插值權重。這些插值權重通常不受 [0?1] 之間的限制，并且可以通過插值將新的極值引入到解中。去除極值的一種簡單方法是將內插值裁剪為任何施主成員的最小值/最大值，這會將內插值降低到一階。

使用 RavenCFD 代碼針對高超音速條件下的錐體/圓柱體/耀斑和低超音速條件下的復雜導彈配置，研究了使用非結構化雙網格插值的可壓縮流 CFD 解決方案的有效性。這項工作比較了使用標準最小二乘供體和權重的結果，有和沒有插值函數裁剪和全局雙網格插值。對于這些可壓縮的 CFD 解決方案，帶裁剪的最小二乘插值是解決移動體問題的一種更具成本效益的方法，盡管在使用雙網格方法時插值函數可以消除引入流動求解器的虛假極值。

參考

1. Noack, Ralph W., Wyman, Nicholas J., McGowan, G. 和 Brown, C.，“以單元為中心的重疊網格系統的雙網格插值”，AIAA 論文編號。2020-1407，2020 年 1 月。

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