當(dāng)光入射到像玻璃這樣的介電材料上時，一部分光會被透射，而另一部分則會被反射。有時，我們會給材料添加一層金屬涂層，例如金，這樣就可以改變光的透射率和反射率，并使一部分光被吸收。介質(zhì)表面和金屬涂層也經(jīng)常在高度和厚度上存在一些隨機(jī)變化。這篇文章我們將引入并建立一個計算模型，來模擬這種情況。
先從簡單的情況開始：一個光學(xué)平面
在討論粗糙的表面之前，讓我們先從一些簡單的情況開始：在
光學(xué)平面
的玻璃上面鍍一層薄薄的、均勻的金涂層，見下圖。這種模型在玻璃平面上可以忽略結(jié)構(gòu)變化。在 COMSOL Multiphysics? 軟件中，通過考慮一個寬度遠(yuǎn)小于波長的小的二維基本單元，就可以很簡單地建立這個模型。
這個計算模型是基于
菲涅爾方程建模
的一個例子，也是 COMSOL 案例庫中的一個驗(yàn)證模型，但被修改為包含一個折射率隨波長變化的鍍金層。這種類型的折射率要求我們根據(jù)每種材料的最小波長以及趨膚深度來手動調(diào)整網(wǎng)格大小。
入射到玻璃基板上的金屬涂層上的光被反射、透射和吸收。
這個模型包括建模域左右兩側(cè)的 Floquet 周期性邊界條件以及頂部和底部的端口邊界條件。頂部的端口邊界條件以指定的入射角發(fā)射平面波，并計算反射光，而底部的邊界條件則計算透射光。我們可以對
金屬層內(nèi)的損失進(jìn)行積分
來計算鍍金層內(nèi)的吸收率。
計算玻璃上的金屬薄層光學(xué)特性的計算模型
如果你對計算非法線入射角的入射光感興趣，那么還必須關(guān)注建模域的高度，也就是材料界面和端口邊界條件之間的距離。這個距離必須足夠大，以便任何消逝場在建模域內(nèi)下降到近似于零。
這樣做與端口邊界條件有關(guān)，因?yàn)樗荒芸紤]電磁場的傳播分量。任何到達(dá)端口邊界條件的場的消逝分量都會被強(qiáng)制反射，所以我們必須把端口邊界放在離材料界面足夠遠(yuǎn)的地方。在大多數(shù)情況下是很難確定消逝場傳播多遠(yuǎn)。這里有一個簡單的經(jīng)驗(yàn)法則，那就是將端口邊界條件放在離材料界面至少半個波長的地方，并檢查使域變大是不是會改變結(jié)果。
下面的樣本結(jié)果顯示了透射、反射和吸收光，以及它們的總和，它們的總和應(yīng)該總是等于1。如果這些加起來不等于1，那么我們必須仔細(xì)檢查模型設(shè)置。
法向入射到含金屬涂層的平面玻璃表面的透射，反射和吸收光與波長的關(guān)系。
波長為 550 nm 的光在不同入射角下的透射率、反射率和吸收率。
增加復(fù)雜性：一個有周期性變化的表面
現(xiàn)在，讓我們考慮更復(fù)雜的情況。引入一個周期性的結(jié)構(gòu)變化：正弦波紋。很明顯，我們現(xiàn)在需要考慮一個更大的基本單元，即考慮一個基本波紋。
一個具有周期性變化的表面將光反射和透射成幾個不同的衍射階數(shù)。
我們?nèi)匀豢梢詰?yīng)用與上一個示例中相同的域?qū)傩院退邢嗤倪吔鐥l件。但是，如果間距足夠大，就會發(fā)生高階衍射。換句話說，光可以被反射和傳輸?shù)綆讉€不同的方向。為了正確計算反射和透射，我們需要增加幾個衍射階數(shù)端口。軟件會根據(jù)域的寬度、材料屬性和指定的入射角計算出適當(dāng)?shù)亩丝跀?shù)量。如果我們研究的是入射角的范圍，那么必須確保能計算出在角度掃描范圍內(nèi)所有衍射階數(shù)。
可以有多個衍射階數(shù)存在，這取決于波長與域?qū)挼谋嚷?、折射率和入射角?/span>
關(guān)于高階衍射出現(xiàn)的條件和適當(dāng)?shù)慕＿^程，我們已經(jīng)在
等離激元線光柵
的例子中深入介紹過了，這里就不多說了。簡單來說，計算域相對于上方和下方材料的波長越寬，可以出現(xiàn)的衍射階數(shù)就越多(衍射階數(shù)隨入射角的變化而變化)。下面顯示的結(jié)果是總的透射率和反射率；也就是說，所有反射到不同衍射階數(shù)的光和所有透射的光都加在一起。
法向入射到含金屬涂層的波紋玻璃表面光的透射，反射和吸收率。
550nm 光在不同入射角下的透射率、反射率和吸光率。
求解一個更難的案例：一個具有隨機(jī)粗糙度的表面
現(xiàn)在，讓我們來看看計算上最難的情況：一個在表面高度上有許多隨機(jī)變化的表面。為了對隨機(jī)性進(jìn)行建模，我們必須對幾個不同寬度的域和不同子集的粗糙輪廓進(jìn)行建模。隨著域的寬度增加，以及對表面的不同子集進(jìn)行采樣，從這些不同的模型中計算出的平均行為會收斂。也就是說，通過對粗糙表面進(jìn)行采樣會產(chǎn)生一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)。與其詳細(xì)討論如何計算這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)，不如集中討論如何通過將高度變化定義為具有隨機(jī)高度和相位的不同正弦波的總和，來建立一個近似于粗糙表面的域模型，具體可以參考文章"如何在 COMSOL 中生成隨機(jī)表面"
中的介紹。
一個隨機(jī)變化的粗糙表面在隨機(jī)方向上反射和透射光線。計算模型必須對粗糙曲線進(jìn)行統(tǒng)計意義上的子集采樣。
計算域現(xiàn)在必須非常寬，比波長大很多倍。我們?nèi)匀幌Ｍ⒁粋€以不同角度入射到結(jié)構(gòu)上的平面波模型，因此使用了 Floquet 周期性邊界條件，這要求我們在周期性邊界上有相同的網(wǎng)格。也意味著我們可能需要稍微改變域的幾何形狀，來確保左右兩邊的邊界是相同的。如果我們確實(shí)使用正弦函數(shù)之和，就像"如何在 COMSOL 中生成隨機(jī)表面"
中描述的，那么剖面將自動變成周期性的。
同樣，我們?nèi)匀幌Ｍ枚丝谶吔鐥l件來激勵波。然而，使用衍射階數(shù)端口來監(jiān)測反射和透射光已經(jīng)不再實(shí)際了，因?yàn)檫@可能會導(dǎo)致數(shù)百(或數(shù)千)個衍射階數(shù)。此外，由于這個模型代表了一個統(tǒng)計樣，因此我們對散射到這些不同階數(shù)的光的相對分?jǐn)?shù)并不感興趣；我們只對總的反射和透射光的總和感興趣。也就是說，這種建模方法計算的是總的積分散射加上表面的鏡面反射和透射。
粗糙表面模型的計算域。光從內(nèi)部端口向材料界面發(fā)射。反射回這個端口的光穿過它并在 PML 中被吸收，透射光也是這樣。引入兩個額外的邊界來監(jiān)測總反射率和透射率。
因此，我們引入了一種替代的建模策略，不使用端口來計算反射和傳輸，而是在上面和下面使用完美匹配層（PML）來吸收所有的反射光和透射光，并使用探針計算反射和透射。完美匹配層吸收任何入射到其上的場，具體可以參考這篇關(guān)于
使用完美匹配層處理波電磁學(xué)問題
的文章。
完美匹配層會同時吸收場的傳播和消逝分量，但我們希望它只吸收傳播的分量。因此，需要再次確保把完美匹配層放在離材料界面足夠遠(yuǎn)的地方。使用與之前相同的經(jīng)驗(yàn)法則，即將完美匹配層放在離材料界面至少半個波長的地方。
當(dāng)接近掠入射時，即使是完美匹配層域也不會默認(rèn)吸收所有的光。在近乎掠射的角度，吸收方向的有效波長非常長，需要修改完美匹配層設(shè)置中的默認(rèn)波長（如下圖所示）。只有當(dāng)我們對大于約 75° 的入射角感興趣時，才有必要對設(shè)置進(jìn)行這種修改。
修改了完美匹配層設(shè)置，以考慮入射角的掠射角。
由于域現(xiàn)在被上下完美匹配層所限定，所以發(fā)射波的端口必須放在建模域內(nèi)。為了做到這一點(diǎn)，我們使用 狹縫條件 選項(xiàng)來定義一個以域?yàn)楸尘暗膬?nèi)部端口。這意味著這個端口現(xiàn)在向一個方向發(fā)射波，從這個內(nèi)部邊界發(fā)出。任何反射回邊界的光都會無障礙地通過，然后被完美匹配層吸收。
雖然這是一個發(fā)射波的好方法，但我們將不再使用端口邊界條件來計算有多少光被反射，因?yàn)椴坏貌辉黾訑?shù)百個衍射端口，同樣，也需要數(shù)百個端口來計算總的透射率。
為了監(jiān)測總的透射和反射光，我們在模型中引入了兩個額外的內(nèi)部邊界，就在完美匹配層域的前面（見上圖）。在這兩個邊界，我們對向上和向下的功率通量進(jìn)行積分，通過將入射功率歸一化處理，得到總反射率和透射率。為了更準(zhǔn)確地確定這些邊界處的功率通量的積分，我們還引入了一個由遠(yuǎn)小于波長的單層單元組成的邊界層網(wǎng)格。
在入射側(cè)，把這個監(jiān)測邊界放在內(nèi)部端口的上方。在發(fā)射口引入了一個向材料界面?zhèn)鞑サ钠矫娌āＴ诮缑嫔戏瓷涞墓馔ㄟ^這個內(nèi)部端口，然后通過監(jiān)測反射率的邊界，并在完美匹配層中被吸收。
下面的圖中顯示了透射率、反射率和吸收率的樣本結(jié)果。它們與光滑表面和周期性變化表面的結(jié)果明顯不同。請注意，入射角的掃描在偏離法線 85° 時終止。當(dāng)然，對于運(yùn)行的每個不同的隨機(jī)幾何案例，這些圖看起來會略有不同。
法向入射到粗糙玻璃表面的透射率、反射率和吸收率。
在入射角不超過 85° 的情況下，波長為 550nm 光的透射率、反射率和吸收率。
關(guān)于計算粗糙表面的光學(xué)特性的總結(jié)性思考
在這篇文章中，我們介紹了一種適合于計算粗糙表面的光傳輸和反射的建模方法。這種方法與均勻光學(xué)平面的建模方法以及周期性變化表面的建模方法形成對比。粗糙表面的建模方法也可用于具有很長周期的周期性結(jié)構(gòu)的建模，例如當(dāng)不考慮散射到不同的衍射階數(shù)時。
對真正的隨機(jī)表面進(jìn)行建模確實(shí)需要小心一些，因?yàn)樾枰淖儙缀涡螤钜源_保它是周期性的。另外，所研究的域的大小和不同的隨機(jī)幾何形狀的數(shù)量必須足夠大，以得到有統(tǒng)計意義的結(jié)果。這需要解決同一模型的許多不同變化，并對結(jié)果進(jìn)行后處理，因此在我們的建模工作流程中使用了 App 開發(fā)器、LiveLink? for MATLAB ? 或 LiveLink? for Excel?。
