1875 年，John Kerr 將載流線圈放置在玻璃板兩側(cè)的孔中，從而產(chǎn)生了電場(chǎng)。當(dāng)一束偏振光穿過(guò)平板后，他發(fā)現(xiàn)偏振是不同的。這種差異與玻璃折射率的變化有關(guān)，折射率與電場(chǎng)的平方成正比——這種現(xiàn)象被稱為磁光克爾效應(yīng)（Kerr effect）。今天這邊文章將帶您了解如何對(duì)這種效應(yīng)以及其他線性和非線性現(xiàn)象進(jìn)行建模。

理解非線性光學(xué)材料的磁化率

當(dāng)給介電材料施加電磁場(chǎng)時(shí)，電磁場(chǎng)會(huì)將材料中的電子從其原始軌道上遷移，使電子以特定的頻率振蕩。換句話說(shuō)，磁場(chǎng)使材料極化。在這種情況下，位移場(chǎng)用外加電場(chǎng)的函數(shù)表示，如下所示:

其中，E 是施加的電場(chǎng)矢量，P 是極化矢量，  是真空介電常數(shù)，  是各向同性磁化率。

對(duì)于 各向異性介電材料 ，極化矢量是磁化率張量的函數(shù)，如下所示:

最后，對(duì)于非線性介電材料，感應(yīng)極化可以通過(guò)介質(zhì)的磁化率( )表示為介質(zhì)內(nèi)電場(chǎng)的函數(shù)，并如下所示:

其中，E 是外加電場(chǎng)，ε0 是真空介電常數(shù)，   是一階磁化率。

假設(shè)不存在獨(dú)立于 E 的極化。

光學(xué)材料的一階磁化率

一階磁化率( )涉及由束縛和自由載流子(如電子)的偶極振蕩引起的折射率變化。Hendrik Lorentz 最初提出了創(chuàng)建一個(gè)數(shù)學(xué)振蕩器模型的想法，該模型可以將束縛電子的偶極振蕩與材料的磁化率聯(lián)系起來(lái)。Paul Drude 提出了半導(dǎo)體內(nèi)部振蕩的概念，這種振蕩處理的是材料內(nèi)部的自由載流子。結(jié)合了束縛載流子和自由載流子效應(yīng)的新模型被稱為 Drude-Lorentz< 模型。

在 COMSOL Multiphysics? 中，Drude-Lorentz 模型可用于定義材料的相對(duì)介電常數(shù)。要定義 Drude-Lorentz 模型，需要將高頻下的相對(duì)介電常數(shù)、等離子體頻率、共振頻率和阻尼系數(shù)作為輸入給出，如下所示。在分配每個(gè)振蕩器的貢獻(xiàn)時(shí)，也可以添加多個(gè)振蕩器。

其中，εr 是材料的復(fù)相對(duì)介電常數(shù)，ε∞ 是帶間躍遷對(duì)介電常數(shù)的貢獻(xiàn)，ωp 是等離子體的頻率，Γ 是阻尼系數(shù)。

模擬等離子體波導(dǎo)濾波器

為了展示 COMSOL Multiphysics 在建立 Drude-Lorentz 材料模型方面的能力，我們對(duì)具有金屬-絕緣體-金屬(MIM)界面的波導(dǎo)進(jìn)行了建模。這里，金屬和絕緣體分別被建模為銀和空氣。在這種結(jié)構(gòu)中，絕緣體的寬度沿波導(dǎo)周期性變化(見(jiàn)下圖)。絕緣體的這種特殊排列使波導(dǎo)管像一個(gè)等離子體波導(dǎo)濾波器 一樣工作。

這個(gè)例子表明，波導(dǎo)阻止了波長(zhǎng)在 1.4um 和 1.6um 之間的電磁輻射，但允許其余波長(zhǎng)(見(jiàn)下圖)。銀材料可以用 Drude-Lorentz 來(lái)近似建模，ε∞= 3.7,ωp= 13.8 rad/s，以及 Γ= 2.736rad/s，而絕緣體使用空氣建模。作為 Drude-Lorentz 材料模型近似的替代方法，由 Johnson 和 Christy 的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 確定材料的屬性，該材料在材料庫(kù)中以 Ag (Johnson) 的形式提供。

請(qǐng)注意，這種等離子體波導(dǎo)濾波器的輸出特性類似于光纖布拉格光柵(FBG) 配置的輸出特性。

等離子體波導(dǎo)濾波器示意圖。藍(lán)色和灰色分別是絕緣體和金屬域。虛線描繪了周期性重復(fù)的單胞。

使用 Drude-Lorentz 模型和 COMSOL 材料庫(kù)中的 Ag (Johnson) 模擬的通過(guò)等離子光柵濾光器(具有 10 個(gè)晶胞)的透射率和反射率。你可以 從 COMSOL 案例庫(kù)中下載這個(gè)模型的 MPH 文件 。

光學(xué)材料的二階磁化率

有些非線性晶體具有相對(duì)較高的二階磁化率 ( )。當(dāng)一束單色光穿過(guò)這種非線性晶體時(shí)，輸出頻譜不僅顯示出原始頻率(ω)，也顯示出二階諧波頻率(2ω)。因此，這種現(xiàn)象被稱為二次諧波生成 (SHG)。

SHG 被應(yīng)用于激光設(shè)計(jì)和工程領(lǐng)域，在這個(gè)領(lǐng)域，很難找到一種材料來(lái)發(fā)射比入射波長(zhǎng)波長(zhǎng)更短的光。例如，當(dāng)紅外光源(1064nm)通過(guò)磷酸二氫鉀(KDP)晶體泵浦時(shí)，晶體會(huì)發(fā)射出綠色(532nm)的激光源。

在 COMSOL Multiphysics 中，這種方法可以用瞬態(tài)或頻域分析來(lái)建模，其中使用非線性系數(shù)(d)定義極化，如下所示。在高斯光束的二次諧波產(chǎn)生教程模型中，需要將與電場(chǎng)相關(guān)的非線性項(xiàng)引入電位移場(chǎng) (D)中。在這個(gè)模型中，引入非線性項(xiàng)的方式是通過(guò)巧妙使用殘余電電位移(Dr)。事實(shí)上，殘余電位移也可以接受一個(gè)非線性場(chǎng)量，這里涉及到一個(gè)電場(chǎng)分量的平方。這種方法顯示了和頻生成以及差頻生成。

其中， , 是非線性系數(shù)，Ez 是 z-電場(chǎng)的分量。

在 高斯光束的二次諧波產(chǎn)生 教程模型中，只能分析一個(gè)特定的頻率。(換句話說(shuō)，用亥姆霍茲方程只能分析一個(gè)頻率。)因此，該模型建立了兩個(gè)接口，并耦合了兩個(gè)物理場(chǎng)。第一個(gè)界面代表基波，第二個(gè)界面代表二次諧波頻率。第一個(gè)界面的極化  ，以及第二個(gè)界面的極化  ，可定義如下:

其中，d 是非線性系數(shù)，  是 y-基頻電場(chǎng)分量， 是 y-二次諧波頻率下的電場(chǎng)分量。

左:輸出頻譜。大峰左邊的小峰表示差頻產(chǎn)生，右邊的小峰表示 SHG。右:基波和二次諧波的電場(chǎng) y- 分量。

光學(xué)材料的三階磁化率

具有顯著三階磁化率的材料（ ）顯示出諸如光學(xué)克爾效應(yīng)、自相位調(diào)制、交叉相位調(diào)制、三次諧波生成和四波混頻等現(xiàn)象。為了說(shuō)明  COMSOL Multiphysics 中的光學(xué)克爾效應(yīng) ，高強(qiáng)度（GW/cm2）單色光束（例如 Nd:YAG 激光源）通過(guò)由 BK-7 制成的非線性晶體傳播。由于 BK-7 中占主導(dǎo)地位的三階材料非線性，折射率隨單色輸入光的光束強(qiáng)度(I)的函數(shù)變化如下：

其中，n0 是折射率的常數(shù)（線性）部分，γ 是非線性折射率系數(shù)，I 是光束強(qiáng)度。

空間高斯發(fā)射的光束產(chǎn)生了折射率的空間高斯分布，峰值在中心并徑向向外減小。這種折射率分布使得光束在穿過(guò)晶體的過(guò)程中更加集中在中心。這種現(xiàn)象被稱為自聚焦 ，特別是因?yàn)樵垂馐陨淼木劢埂＿@種效應(yīng)在激光工程中特別有用，在激光工程中，高功率光源在如此狹窄的中心區(qū)域中的自聚焦會(huì)永久性地?fù)p壞晶體，因此需要在設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)這些效應(yīng)進(jìn)行建模和補(bǔ)償。

左: 高峰值強(qiáng)度 γI，I0= 14 GW/cm2 時(shí)的誘導(dǎo)折射率變化。右圖 : 傳播域末端的光斑半徑與峰值強(qiáng)度的關(guān)系。

具有電光效應(yīng)的材料

如本文的引言中所述，有些材料的介質(zhì)折射率可以是外加電場(chǎng)的函數(shù)。該施加的電場(chǎng)可以來(lái)自直流電勢(shì)，或來(lái)自通過(guò)附著于材料的線圈或接觸墊施加的緩慢變化的諧波電勢(shì)。這里我們開(kāi)始考慮折射率光學(xué)材料特性，而不是磁化率 χ。

從數(shù)學(xué)上講，折射率可以表示為外加電場(chǎng)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)。

對(duì)于電光材料，折射率可以轉(zhuǎn)換為以下值:

其中，n 是沒(méi)有施加電場(chǎng)的材料的折射率，而 d1 和 d2 是電光系數(shù)。

關(guān)于泡克耳斯效應(yīng)（Pockels Effect）

如 KDP、鈮酸鋰(LiNbO3)、碲化鎘(CdTe) 等晶體具有上面占主導(dǎo)地位的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)的折射率。這種介質(zhì)被稱為泡克耳斯介質(zhì)（Pockels media），其中，d1 被稱為線性光學(xué)系數(shù)，因?yàn)檎凵渎适请妶?chǎng)的線性函數(shù)。

在 COMSOL Multiphysics 中，我們使用光學(xué)調(diào)制器演示了泡克耳斯效應(yīng)。在這個(gè)模型中，光通過(guò)一個(gè)單硅波導(dǎo)傳播，該波導(dǎo)分為兩個(gè)波導(dǎo)。如下圖所示，在上支路上施加一個(gè)接觸墊，并用直流電壓激勵(lì)。波導(dǎo)的這個(gè)分支也可以被定義為 d1=30e-12m/V 的泡克耳斯介質(zhì)。

當(dāng)不對(duì)接觸墊施加電壓時(shí)，光通過(guò)上分支和下分支暢通無(wú)阻地流動(dòng)，并在分支合并在一起的點(diǎn)相長(zhǎng)干涉。然而，當(dāng)向接觸墊施加特定電壓時(shí)，在接觸墊內(nèi)的區(qū)域中產(chǎn)生局部電場(chǎng)。在外部電場(chǎng)影響下，該區(qū)域的材料特性改變了該介質(zhì)的折射率，進(jìn)而有效地改變了光通過(guò)上部波導(dǎo)傳播的速度。當(dāng)這些在上部和下部分支中傳播的光在分支合并處相互干涉時(shí)，會(huì)導(dǎo)致相消干涉，沒(méi)有光向前傳播。

泡克耳斯效應(yīng)的潛在應(yīng)用是設(shè)計(jì)光開(kāi)關(guān)。例如，在 光子集成電路 領(lǐng)域。在 COMSOL 的教程模型中，我們演示了一種特殊的光開(kāi)關(guān)元件，稱為 馬赫-曾德?tīng)栒{(diào)制器 。

馬赫-曾德?tīng)栒{(diào)制器示意圖。

上輸出支路 1 和下輸出支路 2 的傳輸與施加的直流電壓的關(guān)系。

關(guān)于克爾效應(yīng)

某些氣體、液體和晶體表現(xiàn)出中心對(duì)稱性質(zhì)，其中泰勒展開(kāi)的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)占主導(dǎo)地位。在這種情況下，折射率可以定義為所施加電場(chǎng)的二次函數(shù)，如下所示:

線性和非線性光學(xué)建模的總結(jié)性思考

本文討論了不同的光學(xué)材料，如 KDP、BK-7、LiNbO ₃ 、CdTe 和外電場(chǎng)下的硅。 這些材料表現(xiàn)出不同的線性和非線性現(xiàn)象，例如 SHG 效應(yīng)、自聚焦效應(yīng)以及線性和二次電場(chǎng)效應(yīng)。 我們還研究了這些材料在激光工程領(lǐng)域、濾波器設(shè)計(jì)和光開(kāi)關(guān)中的應(yīng)用。

本文來(lái)自 ：COMSOL 博客