蔡氏模量，Tsai's Modulus，指的是復(fù)合材料剛度矩陣Q的跡（Trace），即Tr(Q)，2020年，為了表彰Stephen W. Tsai教授在新的不變量理論（文獻(xiàn)中的叫法比較多：Invariant-based theory/ Trace theory/ Trace-based approach）發(fā)現(xiàn)中起到的關(guān)鍵作用以及對(duì)復(fù)合材料力學(xué)發(fā)展的重要?dú)v史貢獻(xiàn)，20多名復(fù)合材料領(lǐng)域的學(xué)者聯(lián)名將Tr(Q)命名為“Tsai's modulus”，中文可譯作“蔡模量”或“蔡氏模量”，并評(píng)價(jià)“Tsai's modulus”為近些年復(fù)合材料力學(xué)領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)的最重要、最基本的概念之一[1]。

君莫

蔡氏模量，源于早期的剛度不變量，不變量本身并不是一個(gè)新鮮事物。二階對(duì)稱張量至少存在三個(gè)獨(dú)立不變量。以表征復(fù)合材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的剛度矩陣Q為例，矩陣的跡Tr(Q)=Q11+Q22+2Q66以及以下三種組合均為剛度矩陣的不變量，與坐標(biāo)系統(tǒng)、鋪層層數(shù)、鋪層順序以及層壓板的加載條件（面內(nèi)或彎曲）無關(guān)，這一概念自上世紀(jì)六七十年代就已經(jīng)提出來了，并用于復(fù)合材料層壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)。

在過去的研究中，并未將不變量作為獨(dú)立的工程常數(shù)使用。2014年，斯坦福大學(xué)Stephen W. Tsai教授等人在原不變量理論基礎(chǔ)上，通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)采用Tr(Q)對(duì)不同材料剛度歸一化處理之后，其剛度屬性存在很強(qiáng)的相似性。因此，將Tr(Q)作為一種新的獨(dú)立的材料常數(shù)，且可以通過基于Tr(Q)的簡(jiǎn)單縮放對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛度分析，其優(yōu)勢(shì)是可以大幅減少表征材料性能的物理試驗(yàn)數(shù)量和復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)分析的計(jì)算量[2-5]。

先了解一下幾個(gè)概念：

（1）蔡氏模量：剛度矩陣的跡

（2）層壓板厚度歸一化剛度（與厚度無關(guān)）

其中A、D陣分別為經(jīng)典層壓板理論中層壓板的面內(nèi)剛度矩陣和面外剛度矩陣，且存在以下關(guān)系：

（3）Trace歸一化剛度系數(shù)（無量綱）：用蔡氏模量對(duì)剛度系數(shù)進(jìn)行歸一化處理

單星*表示層壓板等效剛度的厚度歸一化值，雙星**表示層壓板等效剛度的trace歸一化值，這種表達(dá)形式能更清晰的區(qū)分不同的歸一化類別，不易混淆[11]。

（4）Trace歸一化等效模量（無量綱）：用蔡氏模量對(duì)層壓板等效工程常數(shù)進(jìn)行歸一化處理。

(5)master ply:主鋪層或平均主剛度（目前國(guó)內(nèi)沒有統(tǒng)一的翻譯），指的是多種材料的Trace歸一化剛度系數(shù)或Trace歸一化等效工程常數(shù)的平均值[2-4]。歸一化以后，不同的材料會(huì)呈現(xiàn)相似的力學(xué)性能。如下表所示。

上述表格中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)可以看出，十幾種復(fù)合材料本來的力學(xué)性能是差異很大的，但經(jīng)過歸一化處理之后，Qxx*和Ex*的數(shù)值分別接近于0.885和0.880，且數(shù)據(jù)變異系數(shù)僅有1.5%。0.88代表了纖維主導(dǎo)的剛度占據(jù)了總剛度的88%，而基體主導(dǎo)的橫向剛度及剪切剛度總和僅占據(jù)12%。因此，即使Qyy*,Qxy*,Qss*，Ey*,Gxy*變異系數(shù)較大，但復(fù)合成層壓板之后，對(duì)層壓板剛度的影響是有限的。這一規(guī)律是采用蔡氏模量對(duì)層壓板剛度進(jìn)行快速估算的基本前提。

用圖片展示的話就是下面這張圖的樣子[3]：

以下是幾種不同材料、不同鋪層組成的層壓板的歸一化剛度對(duì)比，可以看出數(shù)據(jù)的分散度是比較小的。

以復(fù)合毯式曲線形式進(jìn)行展示就是下面這個(gè)樣子，左側(cè)為不同材料的實(shí)際層壓板剛度，右側(cè)為歸一化之后的無量綱剛度，原本差異很大的毯式曲線，歸一化處理之后呈現(xiàn)良好的一致性[11]：

了解以上概念能幫助讀者快速入門Trace方法。更多內(nèi)容可參考文末的參考文獻(xiàn)。

小結(jié)

在過去的六十年中，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)分析的基本原理未曾發(fā)生大的變化。由于復(fù)合材料各向異性及層狀堆棧的特點(diǎn)，經(jīng)典的結(jié)構(gòu)力學(xué)分析都需要輸入不同方向的模量、強(qiáng)度等參數(shù)，結(jié)構(gòu)性能與鋪層材料、鋪層比例和鋪層順序密切相關(guān)。這使得復(fù)合材料結(jié)構(gòu)力學(xué)分析相比金屬結(jié)構(gòu)而言復(fù)雜很多。當(dāng)結(jié)構(gòu)選材、鋪層比例、鋪層順序發(fā)生改變時(shí)，都需要從新開展繁瑣的力學(xué)分析和試驗(yàn)驗(yàn)證，過程耗時(shí)長(zhǎng)，成本高。新的不變量理論（或基于蔡氏模量的分析方法）的發(fā)展對(duì)解決上述問題提供了新的思路。理想狀態(tài)下，僅通過一件單向拉伸試驗(yàn)就可以估算一種碳纖維復(fù)合材料的Tr(Q)，并通過“master ply”（中文直譯為“主鋪層”，意譯的話應(yīng)該譯作“平均主剛度”比較合適）計(jì)算單向板的真實(shí)剛度，進(jìn)而計(jì)算層壓板的剛度。

2015-2018年之間，該理論在學(xué)術(shù)界關(guān)注度并不是很高，可能主要是偏向于工程應(yīng)用，到2019年以后才逐步受到重視，目前已有部分研究工作對(duì)“Tsai's modulus”和“master ply”等概念進(jìn)行了數(shù)據(jù)驗(yàn)證和應(yīng)用探索[6-11]。相信工程界以后關(guān)注的人會(huì)越來越多。

國(guó)內(nèi)自2015年就開始跟蹤Trace相關(guān)理論方法，并對(duì)概念和方法進(jìn)行了大量的驗(yàn)證，目前相關(guān)技術(shù)已在工程設(shè)計(jì)中得到初步應(yīng)用，并且有一些新的發(fā)現(xiàn)，期待后續(xù)的報(bào)道。

Stephen W. Tsai教授簡(jiǎn)歷

Stephen W. Tsai，美籍華裔復(fù)合材料專家，“復(fù)合材料之父”、美國(guó)國(guó)家工程院院士，斯坦福大學(xué)終身教授。生于北京。1948年入燕京大學(xué)，后轉(zhuǎn)學(xué)美國(guó)耶魯大學(xué)，1952年和1961年，Stephen W.Tsai分別獲得耶魯大學(xué)機(jī)械工程系學(xué)士和博士學(xué)位。在美國(guó)空軍材料實(shí)驗(yàn)室工作20多年，曾任首席專家和主任。曾任華盛頓大學(xué)教授、美國(guó)斯坦福大學(xué)航空航天系研究教授。美國(guó)復(fù)合材料學(xué)會(huì)創(chuàng)始人。國(guó)際復(fù)合材料學(xué)術(shù)會(huì)議第6～8屆主席。美國(guó)特拉華大學(xué)復(fù)合材料蔡氏獎(jiǎng)?wù)芦@得者。自1961年起從事復(fù)合材料技術(shù)和研究工作。把復(fù)合材料單向板的破壞強(qiáng)度與米澤斯–希爾各向異性材料屈服準(zhǔn)則的破壞強(qiáng)度參數(shù)聯(lián)系起來，于1965年建立復(fù)合材料單向板的Tsai–Hill準(zhǔn)則。1971年，他與Edward M. Wu將所有現(xiàn)存的唯象論破壞準(zhǔn)則歸為高張量多項(xiàng)式破壞準(zhǔn)則的各種特殊情況，提出了更具有普遍意義的復(fù)合材料單向板二階張量破壞準(zhǔn)則，即Tsai-Wu準(zhǔn)則。撰有《復(fù)合材料導(dǎo)論》(1980)、《復(fù)合材料設(shè)計(jì)》(1988，第4版)、《復(fù)合材料設(shè)計(jì)原理》(1992)、《復(fù)合材料設(shè)計(jì)與驗(yàn)證——揭秘復(fù)合材料》（2015）、《復(fù)合材料層壓板分析、設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐》（2017）、《Double–Double層壓板》（2022）等專著。

目前以Stephen W. Tsai名字命名的理論和概念有Tsai–Hill準(zhǔn)則、Tsai-Wu準(zhǔn)則、Tsai–Ha準(zhǔn)則(MMF多尺度)、Tsai模量等。近幾年還提出了Unit-circle判據(jù)，2021年，92歲高齡的Stephen W.Tsai教授還在AIAA上以獨(dú)立作者身份發(fā)表了題為《Double–Double: New Family of Composite Laminates》的學(xué)術(shù)論文，文中提出了一種全新的層壓板概念——Double–Double層壓板，簡(jiǎn)稱DD層壓板，相較于航空領(lǐng)域傳統(tǒng)的π/4層壓板而言，新型的DD層壓板具有設(shè)計(jì)空間無限、連續(xù)，工藝性好、減重效率高等優(yōu)點(diǎn)，目前這一概念也受到了國(guó)內(nèi)外研究機(jī)構(gòu)的廣泛關(guān)注。

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[4] S.W. Tsai, S. Sihn, J.D.D. Melo, Trace-based stiffness for a universal design of carbon-fiber reinforced composite structures, Composites Science and Technology 118 (2015) 23-30.

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[11]L.Y. JIA, C. ZHANG, J.X. LI et al.. Validation and development of trace-based approach for composite laminates[J], Composites Science and Technology, 2022, 221,109348

       

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