COMSOL Multiphysics? 軟件經(jīng)常被用來模擬固體的瞬態(tài)加熱。瞬態(tài)加熱模型很容易建立和求解，但它們在求解時(shí)也不是沒有困難。例如，對瞬態(tài)加熱結(jié)果的插值甚至?xí)垢呒?COMSOL? 用戶感到困惑。在這篇文章中，我們將探討一個(gè)簡單的瞬態(tài)加熱問題的模型，并利用它來深入了解這些細(xì)微差別。
一個(gè)簡單的瞬態(tài)加熱問題
圖1顯示了本文所討論主題的建模場景。在這個(gè)場景中，將一個(gè)空間上均勻分布的熱載荷施加在一個(gè)具有均勻初始溫度的圓柱體材料頂面的圓形區(qū)域內(nèi)。最開始載荷很高，但在一段時(shí)間后會(huì)逐漸下降。除了施加熱載荷外，還添加了一個(gè)邊界條件來模擬整個(gè)頂面的熱輻射，它使零件重新冷卻。假設(shè)材料屬性(熱導(dǎo)率、密度和比熱)和表面輻射率在預(yù)期溫度范圍內(nèi)保持不變，并且假設(shè)沒有其他作用的物理場。我們的建模目標(biāo)是用它來計(jì)算圓柱體材料內(nèi)隨時(shí)間變化的溫度分布。
在 COMSOL 案例庫中的
硅晶片激光加熱
教程模型中，有一個(gè)類似的建模場景，但請記住，本文討論的內(nèi)容適用于任何涉及瞬態(tài)加熱的情況。
圖1.頂面有一個(gè)熱源的圓柱體材料幾何模型。
盡管我們很想通過繪制圖1中所示的精確幾何結(jié)構(gòu)開始建立模型，但我們可以從一個(gè)更簡單的模型開始。在圖1中，可以看到幾何體和載荷是圍繞中心線軸向?qū)ΨQ的，所以我們可以合理地推斷，解也將是軸向?qū)ΨQ的。因此，我們可以將模型簡化為二維軸對稱建模平面。
在中間的圓形區(qū)域內(nèi)，熱通量是均勻的。最簡單的建模方法是通過在二維域的邊界上引入一個(gè)點(diǎn)來修改幾何形狀。這個(gè)點(diǎn)將邊界劃分為受熱和未受熱的部分。在幾何形狀上增加這個(gè)點(diǎn)，可以確保所產(chǎn)生的網(wǎng)格與熱通量的變化完全一致。考慮到這些，我們可以創(chuàng)建一個(gè)等效于三維模型的二維軸對稱計(jì)算模型(圖2)。
圖2.相當(dāng)于三維模型的二維軸對稱模型。顯示的是默認(rèn)網(wǎng)格。
此外，我們還考慮了施加的熱通量大小的瞬時(shí)變化的情況；在 t=0.25s 時(shí)，它的值變得較低。載荷的這種階梯式變化應(yīng)該通過使用事件 接口來解決，如 COMSOL 知識庫中關(guān)于
求解包含時(shí)變載荷階躍變化
的模型一文所述。簡單來說，事件接口會(huì)準(zhǔn)確地告訴求解器載荷的變化什么發(fā)生，求解器將相應(yīng)地調(diào)整時(shí)間步長。我們可能也想知道
求解器采取的時(shí)間步長
，這可以通過修改求解器的設(shè)置，按求解器的步長輸出結(jié)果，然后就可以繪制零件頂部中心點(diǎn)的溫度，如圖3所示。
圖3.某一點(diǎn)的溫度隨時(shí)間變化的曲線圖，各點(diǎn)顯示了求解器在載荷突然變化的附近采取的步長較短。
接下來，我們用不同的求解器相對容差值重新運(yùn)行該模型，并在圖中進(jìn)行比較(圖4)。這類圖表明，像預(yù)期的那樣，隨著公差變小，解迅速向同一個(gè)值收斂。
圖4. 用不同的相對容差求解出的隨時(shí)間變化的某一點(diǎn)的溫度圖。
另一個(gè)可以計(jì)算的量是進(jìn)入該域的總能量。我們可以對通過邊界的總熱通量的表達(dá)式 ht.nteflux 進(jìn)行積分，使用 timeint() 算子對時(shí)間進(jìn)行積分，得到總能量。積分的結(jié)果在下面的表格中列出，用于增加時(shí)間步長的相對容差
。
| 求解器相對容差 |
通入域的通量的時(shí)間積分(J) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
從數(shù)據(jù)中我們可以觀察到，進(jìn)入系統(tǒng)的總能量實(shí)際上幾乎與時(shí)間步長容差無關(guān)。乍一看，這似乎是對我們模型的一個(gè)奇妙的驗(yàn)證。然而，需要指出的是，我們在這里觀察到的是
有限元法
(FEM)的基本數(shù)學(xué)特性。簡單說，就是總能量總是會(huì)很好地平衡。這并不意味著模型中沒有錯(cuò)誤，錯(cuò)誤只是出現(xiàn)在不同的地方……接下來，我們就去尋找錯(cuò)誤。
錯(cuò)誤：很容易產(chǎn)生，但很難定義
我們應(yīng)該在這里暫停一下，來非常謹(jǐn)慎地處理上文中提到的一個(gè)詞，即錯(cuò)誤 這個(gè)提示，它在建模和仿真的世界中經(jīng)常被使用，但沒有固定出現(xiàn)的場合。在本節(jié)的后面部分，我們將對各種建模案例中可能出現(xiàn)的不同錯(cuò)誤進(jìn)行一些詳細(xì)描述
。
輸入錯(cuò)誤
輸入錯(cuò)誤，顧名思義，是指模型輸入中的錯(cuò)誤，如材料屬性輸入不正確或幾何形狀繪制錯(cuò)誤。最有危害的一個(gè)輸入錯(cuò)誤就是遺漏錯(cuò)誤，例如忘記添加一個(gè)邊界條件。輸入錯(cuò)誤與輸入中的不確定性是不同的，例如，當(dāng)不知道確切的材料屬性時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)不確定性。前者輸入錯(cuò)誤只能通過仔細(xì)檢查來解決，而后者輸入中的不確定性可以通過 COMSOL 軟件的
不確定性量化模塊
來解決。對于我們的例子，我們確定沒有輸入錯(cuò)誤或不確定因素。
幾何體的離散化錯(cuò)誤
當(dāng)通過
有限元網(wǎng)格
離散幾何體時(shí)，特別是在對非平面邊界進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)幾何體的離散錯(cuò)誤。這些錯(cuò)誤隨著網(wǎng)格細(xì)化程度的增加而減少，并且可以在不實(shí)際求解有限元模型的情況下進(jìn)行計(jì)算。本文示例中的二維軸對稱建模域沒有彎曲的邊界，不必?fù)?dān)心這種類型的錯(cuò)誤。
解的離散化錯(cuò)誤
解離散錯(cuò)誤是由于有限元基函數(shù)不能完全代表真實(shí)的解場及其在此域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)。它從根本上存在于有限元方法中。這種與幾何離散誤差有內(nèi)在聯(lián)系的誤差總是存在的，對于任何良好的有限元問題來說，它總是隨著
網(wǎng)格的細(xì)化
而減少。
時(shí)間步長誤差
了解
時(shí)域模型中的誤差傳播
是相當(dāng)復(fù)雜的。這篇文章，我們只要說在任何一個(gè)時(shí)間步長中引入的或已經(jīng)存在的任何誤差都會(huì)向前傳播就足夠了，但對于文中討論的擴(kuò)散類問題，它們會(huì)逐漸衰減。這種類型的誤差總是存在的，而且這些誤差的大小是由瞬態(tài)求解器容差和網(wǎng)格控制的。
插值錯(cuò)誤
還有一種類型的錯(cuò)誤是比較定性的，那就是插值錯(cuò)誤。這些錯(cuò)誤發(fā)生在對結(jié)果的意義和產(chǎn)生方式?jīng)]有準(zhǔn)確理解的情況下。其中最著名的是尖角處的奇異性，這種情況經(jīng)常出現(xiàn)在
結(jié)構(gòu)力學(xué)
以及
電磁場建模
中。當(dāng)存在輸入錯(cuò)誤時(shí)，插值錯(cuò)誤尤其經(jīng)常出現(xiàn)。因此，如果你對你的結(jié)果有任何不確定的地方，一定要回去仔細(xì)檢查(甚至三番五次檢查！)你模型的所有輸入。
上面列舉的錯(cuò)誤清單并不完整。例如，我們還可以談一談?dòng)捎?/span>
線性系統(tǒng)求解器
的有限精度算術(shù)、
非線性系統(tǒng)求解器
和數(shù)值積分誤差而產(chǎn)生的
數(shù)值誤差
。然而，這些以及其他類型的誤差，基本上規(guī)模都小得多的。
有了上述的這組定義，現(xiàn)在準(zhǔn)備回到我們的模型了。
追蹤空間和時(shí)間中的錯(cuò)誤
到目前為止，我們已經(jīng)觀察了模型中某一點(diǎn)的解，并觀察到隨著我們完善瞬態(tài)求解器的相對容差，解似乎收斂得很好，所以我們應(yīng)該已經(jīng)理解了收緊瞬態(tài)求解器的相對容差將減少時(shí)間步長誤差的想法。現(xiàn)在，我們來看看空間溫度分布。我們將從沿中心線的溫度開始，對于最寬松的容差 1e-2，看初始時(shí)間的解以及求解器采取的第一個(gè)時(shí)間步長，如下圖所示。
圖5.初始時(shí)間和第一個(gè)時(shí)間步長的中心線溫度圖。
從初始值圖中，我們可以看到，沿中心線的溫度與規(guī)定的初始溫度不一致——有些地方甚至低于初始值。這是由于 COMSOL Multiphysics 使用了所謂的
一致初始化
，即調(diào)整初始時(shí)間的解場，使其與初始時(shí)間的邊界條件和初始值一致。一致初始化包括采取一個(gè)額外的非常小的人工時(shí)間步長，我們可以認(rèn)為是在零時(shí)刻發(fā)生的。一致性初始化可以在求解器的初始時(shí)間步長設(shè)置中關(guān)閉，也可以在顯式事件 和隱式事件 功能中關(guān)閉，但是這樣做的時(shí)候應(yīng)該謹(jǐn)慎。在常見的的多物理場模型中，尤其是涉及到流體流動(dòng)的模型，默認(rèn)情況下要讓它處于可能更穩(wěn)健的啟用狀態(tài)，所以我們在這里將討論這種情況。
在這種情況下，考慮一致初始化的方式是，調(diào)整溫度場使之與施加的載荷和邊界條件相一致。由于施加的熱載荷最初是不為零的，溫度場的梯度與熱通量成正比，最初也必須不為零。我們還需要考慮，這個(gè)場是用有限元基函數(shù)離散的。沿著中心線，這些
基函數(shù)
是多項(xiàng)式，但多項(xiàng)式不可能完全匹配真實(shí)的解；因此，在一致初始化步驟之后，我們最終得到的是一個(gè)會(huì)略微超過或低于預(yù)期結(jié)果的解。從第一個(gè)時(shí)間步長的解中，我們還可以看到，零件遠(yuǎn)端的溫度已經(jīng)在上升，這是意料之外的。雖然這些與預(yù)期的變化幅度非常小，但我們還是希望將它們降到最低。
在通過修改模型來減少這些解的離散化誤差之前，讓我們應(yīng)用一點(diǎn)物理上的直覺來解決這個(gè)問題。在模擬時(shí)間開始時(shí)，沿中心線的溫度分布將與涉及模擬通過一維板塊的傳熱建模方案相當(dāng)類似
。
為了簡潔起見，我們將跳過分析解法直接陳述結(jié)果。當(dāng)對表面零件施加熱量時(shí)，表面的溫度將開始上升，最終內(nèi)部區(qū)域也會(huì)變暖。請注意，離邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)需要更多的時(shí)間來加熱。板塊內(nèi)的溫度是不會(huì)均勻變化的。在內(nèi)部更遠(yuǎn)的點(diǎn)，與靠近表面的點(diǎn)相比，需要更長的時(shí)間才能使溫度開始變化。值得注意的是，由于傳熱方程的擴(kuò)散性質(zhì)，空間溫度變化將隨著時(shí)間的推移而趨于平穩(wěn)。有了這種認(rèn)識，讓我們再回到我們的模型，看看如何改進(jìn)它。
簡單來說，為了使這個(gè)解的離散化誤差最小化，我們需要在場變化劇烈的位置劃分更精細(xì)的網(wǎng)格。根據(jù)我們的經(jīng)驗(yàn)（或者分析解，如果我們想查的話），我們知道，在非常接近表面和邊界的法線方向上，場的變化非常大，但在內(nèi)部則變得更加平滑。這正是需要邊界層網(wǎng)格劃分的情況，如圖6所示，它在邊界的法線上創(chuàng)建薄的單元。
圖6.通過沿著晶圓頂部的一個(gè)邊界添加一個(gè)邊界層來修改網(wǎng)格劃分序列。
現(xiàn)在，我們可以重新運(yùn)行模擬，并繪制出初始時(shí)間和下一個(gè)時(shí)間步長的解。
圖7.使用邊界層網(wǎng)格時(shí)，初始和第一個(gè)時(shí)間步長的中心線溫度圖。
在圖7中，我們可以觀察到，在初始值時(shí)，溫度的下調(diào)在空間上更為局部。事實(shí)證明，使用更精細(xì)的網(wǎng)格也會(huì)導(dǎo)致隨時(shí)間變化的求解器采取更小的時(shí)間步長。因此，通過這種細(xì)化的網(wǎng)格，我們減少了空間離散和時(shí)間步長誤差。
我們還可以看一下沿建模域頂部邊界的結(jié)果，代表暴露表面的溫度分布。圖8中顯示的是使用 1e-2 的容差繪制的初始時(shí)間和第一個(gè)時(shí)間步長。在這些圖中，我們可以觀察到空間中相當(dāng)劇烈的震蕩場。這是空間離散化的一個(gè)表現(xiàn)。請記住，熱載荷沿著徑向軸經(jīng)歷了大小的階躍變化，我們在
這里
觀察到的有點(diǎn)類似于吉布斯現(xiàn)象。
圖8.使用邊界層網(wǎng)格繪制的在初始值和第一個(gè)時(shí)間步長中沿頂面的溫度圖。
解與之前類似，但現(xiàn)在我們必須在過渡的位置細(xì)化網(wǎng)格。對于這個(gè)問題，可以對劃線點(diǎn)應(yīng)用更加精細(xì)的大小設(shè)置，從而得到如下所示的網(wǎng)格。
圖9.網(wǎng)格設(shè)置和網(wǎng)格的圖示，在劃定熱載荷分布的點(diǎn)上應(yīng)用較小的網(wǎng)格大小。
從圖10的溫度結(jié)果中，我們可以看到，現(xiàn)在解中的振蕩已經(jīng)減少了，在空間和時(shí)間上的傳播也沒有那么多。即使求解器的相對容差為 1e-2，求解的結(jié)果也已經(jīng)有了很大的改善。
圖10.在細(xì)化網(wǎng)格后，使用0.01的相對容差，在初始值和第一個(gè)時(shí)間步沿頂面的溫度要準(zhǔn)確得多。
我們可以使用更多的網(wǎng)格和求解器容差細(xì)化來繼續(xù)這個(gè)練習(xí)。但通過我們目前所做的細(xì)化，已經(jīng)開始看到誤差迅速減少–由于瞬態(tài)傳熱方程的擴(kuò)散性質(zhì)，即使是仍然存在的誤差也會(huì)在空間和時(shí)間上被平滑掉。實(shí)際上，我們應(yīng)該花同樣多的精力來研究模型輸入中的不確定性的影響。
還有什么可以發(fā)揮作用？
在這個(gè)例子中，施加在邊界上的熱載荷并沒有及時(shí)移動(dòng)，所以劃分邊界的方法是合理的。如果熱載荷分布要移動(dòng)，那么受熱面的整個(gè)網(wǎng)格就需要更加精細(xì)。(你可以在文章中了解在 COMSOL? 中
對
移動(dòng)載荷和約束進(jìn)行建模的 3 種方法
)
。
在這篇文章的前面部分，我們假設(shè)材料屬性隨溫度的變化而保持不變，并且不依賴于任何其他物理場。這是一個(gè)重大的簡化，因?yàn)樗械牟牧蠈傩远紩?huì)隨溫度變化。材料甚至可以經(jīng)歷相變，如融化。模擬相變可以用幾種不同的方法，包括表觀熱容法，它是使用高度非線性的比熱來說明相變的潛熱。我們也可以很容易地預(yù)見到這是一個(gè)多物理場問題，如涉及
熱固化的方程式
，甚至是材料非線性電磁加熱問題。在這種情況下，我們不僅需要監(jiān)測
溫度場的收斂性
，還需要監(jiān)測所有其他正在
求解的場變量
，甚至可能是它們的時(shí)間和空間導(dǎo)數(shù)。這些情況可能都需要在建模域的所有地方采用非常精細(xì)的網(wǎng)格，所以從本例這種簡單情況中得到的經(jīng)驗(yàn)可能并不適用。然而，即使在對更復(fù)雜的模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分和求解時(shí)，記住最簡單的情況總是好的(即使它只是作為一個(gè)概念性的起點(diǎn))。
此外，我們應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，這篇文章只是關(guān)于固體材料的時(shí)變傳熱。如果有一個(gè)移動(dòng)的流體，控制方程將發(fā)生重大變化；
流體流動(dòng)模型的網(wǎng)格劃分
是一個(gè)單獨(dú)的、相對更復(fù)雜的話題。對于
波動(dòng)型問題
，網(wǎng)格的選擇和求解器的設(shè)置就變得相當(dāng)簡單了。
結(jié)束語
在這篇文章中，我們復(fù)習(xí)了一個(gè)典型的傳熱建模問題。我們注意到，在空間和時(shí)間上，在載荷突然變化的情況下，解會(huì)出現(xiàn)某些錯(cuò)誤。讀者現(xiàn)在應(yīng)該對這些錯(cuò)誤類型有所了解，并知道它們是有限元方法的固有結(jié)果，就像所有的數(shù)值方法一樣，只是對現(xiàn)實(shí)的一種近似。盡管這些誤差看起來很大，但由于瞬態(tài)傳熱方程的擴(kuò)散性，它們的大小在空間和時(shí)間上都會(huì)衰減。我們已經(jīng)表明，網(wǎng)格細(xì)化將減少空間離散誤差，同時(shí)隱含著減少時(shí)間步長誤差的效果。最后，我們討論了如何通過求解器相對容差細(xì)化來進(jìn)一步減少時(shí)間步長誤差。
還值得做一個(gè)更簡短的總結(jié)：如果你主要對一個(gè)相對長的時(shí)間后的解感興趣，使用相當(dāng)粗的網(wǎng)格和默認(rèn)的求解器相對容差是完全可以接受的。另一方面，如果你對短時(shí)和小范圍的溫度變化感興趣，那么必須研究求解器相對容差和網(wǎng)格細(xì)化。
理解了這些，我們就可以避免犯解釋錯(cuò)誤。這將使我們能夠自信和輕松地從簡單的模型中建立更復(fù)雜的模型。
