Johnson-Cook 材料模型及失效模型。一般用于描述大應變（large strains）、高應變率（high strain rates）、高溫（high temperatures）環境下金屬材料的強度極限以及失效過程。在Johnson-Cook強度模型中，屈服應力（yield stress）由應變、應變率以及溫度決定。

屈服應力的表達式為：

其中，A,B,N,M是材料參數，epsilon_pl是等效塑性應變，θ_m是無量綱的溫度，定義為：

其中θ是當前溫度，θ_melt是材料的熔融溫度，θ_transition是轉變溫度，定義為屈服應力不依賴于溫度的轉變溫度。材料參數A、B和n必須在轉變溫度或低于轉變溫度時測量。材料參數m應基于高于轉變溫度的測量值來確定，如果指定零值或未指定m值，則忽略σ0的溫度相關性，當θ≥θ_melt時，材料將熔化，并表現為流體；由于σ0=0，因此不會有剪切阻力。通過將等效塑性應變設置為零，將消除硬化記憶。如果為模型指定了背應力，這些背應力也將設置為零。如果在材料定義中包含退火行為，并且退火溫度定義為低于為金屬塑性模型指定的熔化溫度，則硬化記憶將在退火溫度下刪除，熔化溫度將嚴格用于定義硬化函數。否則，硬化記憶將在熔化溫度下自動移除。如果材料點的溫度在隨后的時間點低于退火溫度，則材料點可以再次加工硬化。同時該模型可以考慮應變率效應，即等效應力表示為

等效塑性應變表示為

epsilon_0和C是材料參數。考慮應變率的Johnson-cook塑性本構模型可以寫為

以上塑性本構模型可以在顯式和隱式中進行定義，但動態失效模型僅在顯式求解器中提供，該模型僅適用于金屬的高應變率變形，Johnson-cook動態失效模型，基于單元積分點處的等效塑性應變值；假設當損傷參數超過1時發生失效。損傷參數ω定義為：

其中分子表示等效塑性應變增量，分母表示失效對應的應變，其中失效塑性應變，失效應變取決于應力三軸度，溫度，和應變速率。即

其中d1–d5是在轉變溫度或低于轉變溫度時測量的失效參數。該模型最適用于真正動態的情況。對于需要移除元件的準靜態問題，建議使用漸進損傷和破壞模型（漸進損傷和失效）或Gurson金屬塑性模型（多孔金屬塑性），使用該損傷模型時需要配合對應的塑性和硬化模型。

其中塑性模型相關的材料參數擬合可以參考網址：

abaqus中Johnson-Cook本構模型理解 - 知乎 (zhihu.com)

損傷相關參數擬合可以參考網址：

abaqus中Johnson-Cook損傷失效模型 - 知乎 (zhihu.com)

umat子程序驗證

相同材料參數下，使用編寫的umat子程序與顯式求解器內置的模型進行對比，模型材料參數取自文獻

模型尺寸為10*10*50（mm），沿著Z方向進行20%的拉伸。

材料參數分別為

楊氏模量：209Gpa

泊松比：0.29

塑性產熱分數：0.9

材料參數A：380

材料參數B：1200

材料參數C：0.012

材料參數m：2.5

材料參數n：0.55

材料參數epsilon_0：1.0

轉變溫度Tr：293K

熔融溫度Tm：2150K

材料參數d1-d5：0.1，0.7，1.5，0.005，0.84

模擬的結果

變形后顯式與隱式結果的應力分布：

變形后顯式與隱式結果的等效塑性應變分布：

可以看到顯式與編寫的隱式umat子程序具有良好的一致性，其中隱式計算需要大概600個增量步，而顯式則需要700萬的增量步，計算效率更高，但在高速沖擊，切屑問題更建議使用顯式程序進行計算