模擬非線性材料中疲勞的工程師們常常面臨著兩個挑戰。一是必須用正確的本構關系表征材料的力學行為，二是使用一個能夠描述壽命控制機制的疲勞模型，應對這兩個挑戰需要有全面的材料力學知識。今天，我們將討論在對非線性材料中的熱疲勞進行建模時面臨的這些挑戰。

熱疲勞

我們可以使用 COMSOL 軟件中提供了一系列預定義的非線性材料模型的 非線性結構材料模塊 ，與包含了許多用于不同應用的疲勞模型的 疲勞模塊 ，來解決包含上述挑戰的一些應用的數值模擬。

當溫度變化時，材料會膨脹或收縮。在由幾個不同零件組成的應用中，這種熱變形將受到限制，因為各種材料的熱膨脹系數不同。在存在非線性材料的情況下，這種現象將更具挑戰性。

關于非線性材料

材料的非線性意味著變形與載荷不成正比。不同材料的非線性可以大致分為可逆的非線性和不可逆的非線性。可逆的非線性也被稱為彈性非線性，這意味著一旦外部載荷回到起始點，應變狀態就會回到初始狀態。

表現出不可逆非線性的材料在加載時可以承受永久性的損傷，并且在卸載時不會恢復到初始狀態。例如，下圖中的一個具有非線性焊接材料的 表面貼片電阻 受到了熱循環的影響示例就表現出這種現象。

在熱負荷周期結束時，表面貼片電阻的位移。藍色表示零位移。

材料的非線性是一種蠕變機制，一旦材料受到應力場的影響就會發生變形，即使應力場保持不變。由于表面貼片電阻的不同部分的 熱膨脹 是不均勻的(底部的印刷電路板更大，頂部的電阻更小)，因此在熱載荷循環中，該組件受到了壓力。

一旦熱載荷達到載荷循環的終點，并返回到初始溫度，電阻器兩端的焊點就會留下永久變形(蠕變應變)。焊點的永久變形會阻止其余部分恢復到初始狀態。我們可以在圖中看到這一點，電阻被壓縮并隆起，而印刷電路板被拉長。

另一種類型的材料非線性發生在永久變形只取決于施加的載荷，而不是在恒定的應力下變形。這被稱為塑性，我們可以簡單地通過來回彎曲一個回形針來證明。如果施加的力過大，回形針將保持在不隨時間變化的變形狀態。塑性和蠕變的結合被稱為黏塑性，是另一種非線性材料行為。

穩定的載荷循環

反復的加載和卸載會引起疲勞裂紋。在評估疲勞壽命之前，必須獲得一個穩定的載荷循環。在處理非線性材料時，在材料的響應趨于穩定之前，往往需要許多載荷循環。一般來說，非線性材料對循環載荷的反應可以用三種情況來概括：立即穩定、安定和棘輪。

• 在立即穩定 的情況下，第二個載荷循環已經給出一個穩定的應力-應變響應，可以代表每個連續的載荷循環。下圖中案例(a)的黑色虛線證明了這一點。
• 在安定 的情況下，伸長在一定數量的循環后首先停止。因此，可能需要對大量的循環進行模擬。詳見案例(b)。
• 在棘輪運動中，如案例(c)所示，材料經歷了持續的伸長，直到失效。從疲勞的角度來看，這種情況是最具挑戰性的，因為永遠不會得到一個穩定的負載荷循環。在這種情況下，通常必須模擬從初始狀態到失效的所有周期。

材料對重復載荷循環的響應：(a)立即穩定(b)安定和(c)棘輪。

非線性材料的疲勞模型

沒有一個通用的模型可以預測所有非線性材料的疲勞，長久以來，人們提出了許多模型。在 20 世紀 50 年代，Coffin 和 Manson 研究了金屬的疲勞，并提出了疲勞壽命和低周期疲勞狀態的塑性應變之間的指數關系。

在這項開創性的工作之后，許多研究人員對這個模型做了稍微的修改，其中塑性應變被其他不同的應變類型所取代，如蠕變應變、塑性剪切應變、總剪切應變，以及其他。下面，你可以看到兩個應變類型(有效蠕變應變和剪切蠕變應變)在一個 表面貼片電阻模型 中的比較，這個模型來自 COMSOL 案例庫。

焊點中的蠕變應變的發展。左邊是有效蠕變應變，右邊是剪切蠕變應變。

可以看到，這兩種應變測量在焊料和電阻的界面上都是最高的，這與實際應用中熱疲勞裂紋的位置相吻合。

對于許多應用來說，僅僅依靠應變是不足以進行疲勞預測的。相反，能量可能更適合，因為它結合了應力和應變的效果。20 世紀 60 年代，Morrow 提出了疲勞壽命和循環塑性應變能量之間的指數關系。這個模型后來被修改為取決于其他能量變量，如蠕變應變能、總應變能、應力-應變滯后能、黏塑性應變能等。

很多時候，控制疲勞的能量變量是一個非標準的能量變量，需要單獨評估。這可以在 COMSOL Multiphysics 中完成，如 加速壽命試驗 的例子所示，非線性材料有兩種蠕變機制。第一個機制控制低應力下的應變，第二個機制控制高應力下的應變。另一方面，疲勞僅由高應力下的蠕變發展引起的能量耗散來控制。

應變發展以及不同機制的能量耗散是在單個分布式常微分方程接口中評估的。

使用常微分方程接口評估用戶定義的蠕變應變和能量的模型設置(左側)。用戶定義的本構關系與非線性結構材料模塊中預定義的材料模型之間的結果比較(右側)。綠線是低應力下的耗散能量，紅線是高應力下的耗散能量，綠松石色的虛線是兩種機制的綜合耗散，藍線是用非線性結構材料模塊的材料模型評估的耗散能量。

疲勞裂紋經常出現在幾何形狀急劇變化的邊界和角落里。這些地方也是眾所周知的造成數值奇異的地方。因此，在那里進行點評估會產生誤導性的結果。

Darveaux 提出了一個使用能量體積平均值的模型。這種方法減少了對關鍵地方的網格劃分的敏感性，并根據周圍的狀態來預測疲勞壽命。在下圖中，我們使用 Darveaux 模型，根據球狀網格陣列中耗散的黏塑性應變能量來預測疲勞壽命。

基于平均耗散的蠕變能量的疲勞壽命。在左邊的完整模型中分析了兩個球柵陣列中的所有接頭，在右邊的子模型中顯示了對關鍵焊點的詳細研究。

首先，對所有焊點進行分析，以確定關鍵焊點。然后，在一個詳細的研究中，使用 前一篇文章中描述的子模型技術 對臨界焊點進行重新分析。最后預測在與其他材料交接處的薄層的疲勞壽命，預計此處會出現裂紋。由于該模型評估的是體積平均值，所以結果是按域評估的。

我們可以在基于應變的疲勞功能中用不同的應變選項評估 Coffin-Manson 模型。Morrow 和 Darveaux 模型具有不同的能量選項，可以使用基于能量的疲勞功能進行評估。

熱疲勞建模示例

作為總結，我們分享官網中幾個模擬非線性材料的熱疲勞的例子。

• 表面貼片電阻器的熱疲勞模型 演示了如何使用 Coffin-Manson 和 Morrow 類型的關系，根據蠕變應變和耗散的蠕變能量來進行疲勞評估。
• 球柵陣列中基于能量的熱疲勞預測 示例中，分析了一個包含幾個黏性焊點的微電子芯片。疲勞壽命是基于 Darveaux 能量體積平均值所的評估的。這個模型也展示了 如何使用子模型的概念來分析大型模型 。
• 加速壽命測試 示例中模擬的疲勞壽命預測，是基于更奇特的能量和應變表示。在這個例子里，評估了一個具有兩種蠕變機制的材料行為，預測了基于一種機制的疲勞壽命。兩個機制中的應變分離需要使用單獨的常微分方程接口重新評估單個應變。

本文來自 ：COMSOL 博客