對于上式右端括號中的項,r為自由指標，(k,l)為啞指標，如果我們按啞指標展開：

自由指標r表示方程的個數

由于分量中的重復指標項等于0，順指標為1，逆指標為-1，因此上式可變為

                                                                                                                                             .............. (*)

上式右端項已經作了如下變量代換

且wr(r=1,2,3)可以看作是如下矢量的分量

可以看到，w1、w2、w3分別為矢量w在e1，e2，e3三個軸的分量。

一般地，我們習慣把A記為W，于是

將上式代入的表達式，可以得到

上式兩端同時乘以，可以得到

即

如果我們把wr當作一個向量w的分量，稱為“軸向量”，很明顯，矢量w與旋轉張量W相關，實際上通過(*)式可知，wr恰好對應的是旋轉張量W分量Wij的軸向方向，二者符合“右手法則”，如下圖所示：

figure 1.  Antisymmetric tensor components and the axial vector[1]

對于矢量而言，有“投影”的概念，如：對于一個矢量v，投影到ei軸的分量表示為

同樣，對于二階張量亦有“投影”的概念，根據張量積的概念，張量的投影需要張量同兩個矢量軸點乘，因此可以將二階張量W的“二次投影”定義如下：

而若是一個矢量與張量點乘(左乘或右乘)，則是改變該矢量的方向和大小，稱為“一次投影”，例如：

上式清晰描述了a矢量經W張量轉向后在各個基矢量方向的大小。其中，i為自由指標，j為啞指標，于是將上式寫成分量形式

由于，所以上式簡化為

即

上式清晰表示了矢量a通過W轉向后所得矢量在三個軸方向上的大小。另一方面，考慮到W與w有直接關系，W·a是一種轉向、變大小的運算，叉乘運算也是一種轉向、變大小的運算，因此下面我們計算軸向量w×a，看是否同W·a有直接關系：

對比可得

當然，上式關系也可通過上面的關系直接證得：

figure 2. Orthonormal basis defined by the axial vector[1]

下面我們考慮軸矢量w同某個新坐標系的某個軸方向重合（如figure 2所示），假設重合軸為，即，于是

矢量a在新坐標系中的表述為

所以

因此

W在新基的三個方向上的一次投影分量為

W在新基的二次投影分量為

W在新基上的分量可表示為

W分量和軸矢量在新坐標系中的表征如下圖所示

由上圖可知，此時新基方向對應單元的純剪切方向。

參考文獻：

[1] Chaves E W V. Notes on continuum mechanics[M]. Springer Science & Business Media, 2013.