人們對被限制在沿表面?zhèn)鞑サ碾姶挪ǎ绫砻娴入x激元(SPPs)，有很大的研究興趣，因為它在納米級光控制中有著潛在應用。在這篇文章中，我們將討論如何設置一個仿真來可視化表面等離激元的傳播以及頻率-波矢量色散關系。

表面等離激元簡介

電磁學的控制方程，也就是麥克斯韋方程組，可能看起來很簡單，但它們的含義卻極為廣泛和深刻。因此，傳播的電磁波可以以各種眾所周知的形式存在，如平面波、球面波、高斯波束，以及一些鮮為人知的形式，包括貝塞爾波束、艾里波束和渦旋波束。還有一些被限制在空間內傳播的電磁波，例如在金屬或介電波導中傳播的波導模式。

此外，還有一種特殊類型的被限制在平面上的電磁波。這種類型的波沿切向表面?zhèn)鞑ィ⒃诖怪狈较蛏铣手笖?shù)衰減。與相同頻率的自由空間波長相比，它的波長通常更小。因此，這種類型的波為光子的納米級控制和操作提供了一個潛在的技術平臺，從光通信和信息處理到太陽能收集和數(shù)字顯示，這在許多應用中都是需要的。這種類型的波是在金屬-介電界面上發(fā)現(xiàn)的，現(xiàn)在被稱為表面等離激元(SSP)。等離激元是指金屬中電荷的集體振蕩。自發(fā)現(xiàn)以來，人們已經(jīng)了解到許多材料系統(tǒng)都支持這種類型的表面波，例如接近其聲子共振頻率的極性介電材料和接近其激子頻率的半導體材料。相應的表面波分別稱為表面聲子偏振子和表面激子偏振子。

無論支持的介質和微觀細節(jié)如何，不同類型的表面波背后的宏觀物理學是相似的。在下面的章節(jié)中，我們將重點討論介電和金屬界面之間的等離激元建模。然而，需要注意的是，本文所涉及的建模技術也可以通過一些適當?shù)男薷模灶愃频姆绞綉迷谄渌砻娌ǎ?Sommerfeld-Zenneck 波和 Dyakonov 波。

最簡單的等離激元色散的推導

為了清楚地了解什么是表面等離激元，讓我們研究一下支持表面等離激元的最簡單的系統(tǒng)，即體金屬-介電界面。想象一個在平面上  的金屬-介電界面 。介質區(qū)為 ，金屬區(qū)為 。由于平面內沒有首選方向，因此在不喪失一般性的情況下，重點研究在  方向傳播的表面波。傳播平面定義為傳播方向和表面法線所跨越的平面。在這種情況下，傳播的平面就是簡單的平面。一般來說，傳播的電磁波可以分為 s 偏振和 p 偏振，具體取決于電場或磁場是否垂直于傳播平面。我們首先考慮 p 偏振（或 TM 波）的情況。

位于   方向的金屬–介電界面。該系統(tǒng)支持沿   方向傳播并在   方向上呈指數(shù)衰減的表面等離激元。

由于我們對沿  方向傳播并沿  方向衰減的 TM 模表面波感興趣，因此可以將電介質和金屬中的電場和磁場寫為

(1)

(2)

(3)

(4)

其中  和  上標分別表示  和  的數(shù)量。  是復雜的表面等離激元波矢量。 和  都是正實數(shù)，描述了遠離金屬介電界面的場衰減。根據(jù)邊界條件，我們知道電場和磁場的切向分量以及電位移場的垂直分量在金屬-介電邊界  上是連續(xù)的。因此，, , 和 。根據(jù)麥克斯韋方程組，我們知道 。由于沒有外部電荷，并且介電常數(shù)在  和  分別是恒定的，因此必須在兩種物質中保持 。將其與等式 2 與等式 4 相結合，得到

(5)

(6)

可以簡化為

(7)

從此關系中，我們可以看到為什么表面等離激元只存在于電介質  和金屬  之間。要使場在  方向上衰減， 和  都必須是正的，這意味著  和  必須具有相反的符號。為了推導  的表達式，我們使用亥姆霍茲波動方程 ，該方程是從兩個麥克斯韋曲線方程導出的。將等式 2 和等式 4 代入亥姆霍茲方程，得到

(8)

(9)

其中， 是自由空間波矢量。最后，結合等式 7–9，我們得出表面等離激元 波矢量的表達式

(10)

實部  通過  與表面等離激元波長相關，而虛部描述了表面等離激元傳播損耗。通常， 和  是頻率相關的，因此  也是頻率相關的。 和頻率的關系通常是我們想要知道的用于在系統(tǒng)中表征表面等離激元。

請記住，上述討論純粹基于表面等離激元是 TM 波的假設。對于 TE 波的可能性，可以簡單地遵循相同的推導步驟，并證明所有場振幅必須為零。這意味著 表面等離激元 僅以 TM 波的形式存在，這也是表面等離激元的一個顯著特征。

模擬表面等離激元的傳播和色散

在本節(jié)中，我們將討論如何使用 COMSOL Multiphysics? 軟件的仿真和建模功能來可視化上述推導的物理結果。由于表面等離激元是空間受限的傳播波，我們可以從其他波導建模示例中得到啟發(fā)，例如介質平板波導教程模型。為確保我們正確設置了模型，作為有效性檢查，將在銀（金屬）和空氣（電介質）的界面中模擬表面等離激元表面等離激元。銀的介電函數(shù)由等離子體頻率值約為 9.6 eV 的 Drude 模型很好地描述。對于此模型，我們可以方便地使用 COMSOL 軟件內置材料庫中的銀材料屬性。在模型的左側和右側邊界上施加一個數(shù)值端口。打開激勵的左側端口將啟動表面等離激元，而關閉激勵的右側端口將吸收表面等離激元而不反射。為了獲取兩個端口上的模態(tài)場，分別添加了兩個邊界模式分析 研究步驟和一個頻域 研究步驟。

在左右邊界分別施加了兩個端口，用于表面等離激元的激勵和終止。為了獲取端口上的模態(tài)場，在 頻域 研究步驟之前添加了兩個邊界模式分析研究步驟。

運行模擬后，我們可以很容易地看到的表面等離激元傳播。從左到右，下面的動畫顯示了 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等離激元。正如預期的那樣，場沿  方向傳播并沿  方向衰減。由于吸收力強，金屬側的衰減更快。值得注意的是，表面等離激元波長（實部 ）和傳播損耗（虛部 ）隨光子能量或頻率而顯著變化。為了捕捉頻率和  之間的定量關系，我們使用可變頻率作為 y 軸和 ewfd.beta_1 作為 x 軸繪制它們（由下面動畫中的圓形標記顯示）。ewfd.beta_1 是一個復數(shù)，但在繪制它時，默認只考慮它的實部。在研究表面等離激元時，習慣上將品質因數(shù)（通常稱為 Q 因子）定義為實部和虛部  的比率。當 具有較小的虛部（相當于較大的 Q 因子）時，表面等離激元可以在衰減之前相對于其波長傳播很長的距離。對于生物傳感器和光開關等實際應用，通常需要較大的 Q 因子。Q 因子可以方便地繪制為色散曲線的顏色表達式。在這里，我們選擇較亮的顏色來表示較高的 Q 因子，選擇較深的顏色來表示較低的 Q 因子。此外，還添加了一條虛線 ，通常稱為淺色線。淺色線是自由空間光子的頻波矢量色散關系。最后，將方程 9 中的解析表達式繪制為實線。從動畫中可以看出，模擬色散和解析表達式表現(xiàn)出很好的一致性。

模擬 3.54 eV、3.1 eV 和 2.07 eV 光子能量下的表面等離激元傳播。箭頭表示電場方向和強度。

下面的色散圖非常能代表貴金屬中的表面等離激元色散。該圖有助于深入了解表面等離激元的特征。最重要的是，它表明表面等離激元的色散曲線始終位于光線的右側。這意味著表面等離激元波長總是小于自由空間光的波長。這就是為什么表面等離激元可以用作壓縮光波長以實現(xiàn)光場更集中的方法。此外，自由空間光波矢量和表面等離激元波矢量之間的不匹配意味著我們不能僅僅通過將光照射到金屬表面來激發(fā)表面等離激元，還需要一些外部機制來進行波矢量匹配。表面等離激元的激發(fā)通常是通過使用棱鏡的全內反射，光柵的衍射，散射體的散射或穿過電子束來完成的。使用這些技術的目的是準備電磁場，使其波矢量與相同頻率的表面等離激元的波矢量相匹配。

表面等離激元在銀和空氣界面處的模擬的頻波矢量色散圖。正如預期的那樣，模擬結果（圓）與分析計算（實線）一致。自由空間光色散或光線由虛線表示。顏色表示表面等離激元的 Q 因子。

金屬薄膜中的表面等離激元

盡管模擬體金屬-介電界面中的表面等離激元可以作為表面等離激元傳播和色散的很好的示例，但這是一個相當簡單并且在物理上無趣的示例。在本節(jié)，我們將介紹一個更有趣的案例，即由介電層覆蓋的金屬薄膜。在這種系統(tǒng)中，頂面和底面都支持表面等離激元。如果金屬膜足夠薄，那么頂面的表面等離激元和底面的表面等離激元之間的耦合將導致模式雜化。其結果是形成對稱和反對稱模式。這種情況下的物理場類似于耦合機械諧波振蕩器的物理場。在這種特殊情況下，我們模擬了 12 nm 鋁膜，周圍環(huán)繞著折射率為 2 的 4 nm 介電層。使用邊界模式分析 研究步驟，我們在色散曲線中發(fā)現(xiàn)了兩個表面等離激元分支。Q 因子較大的上分支是對稱模式，而 Q 因子較小的下分支是反對稱模式。

模擬表面等離激元在兩個介電薄膜之間的鋁薄膜上的傳播。鋁膜頂面和底面中表面等離激元的雜化形成對稱（左）和反對稱（右）模式。

模擬的夾在兩個介電薄膜之間的鋁薄膜上的表面等離激元色散。兩個分支顯示了對稱（上分支）和反對稱（下分支）模式。

雖然在這里沒有展示，但我們可以通過仔細匹配每個接口的邊界條件來分析推導出這種系統(tǒng)中的表面等離激元色散。隨著系統(tǒng)的幾何形狀變得更加復雜，推導很快就會變得繁瑣。使用 COMSOL? 模擬表面等離激元的優(yōu)勢在于它非常靈活，無論幾何組成多么復雜，都可以在軟件中計算表面等離激元色散。

新型 2D 材料中的表面等離激元

隨著電子行業(yè)向小型化發(fā)展，2D材料越來越受歡迎。在之前的文章中，我們介紹了如何在高頻電磁學中對一種2D材料（石墨烯）進行建模。事實證明，2D 材料，如石墨烯，也可以支持表面等離激元。畢竟，具有高導電性的石墨烯表現(xiàn)得像金屬。主要區(qū)別在于貴金屬通常在可見光或紫外范圍內具有等離子體頻率，這意味著金屬在光學頻率下支持表面等離激元。另一方面，石墨烯在紅外狀態(tài)下支持表面等離激元，使其成為某些應用獨特且有利的材料，例如紅外收集和超材料。石墨烯的另一個吸引人的特性是它的導電性可以通過化學摻雜或電調諧來改變。這打開了表面等離激元的可調性，這在傳統(tǒng)金屬中是無法實現(xiàn)的。

通過模擬表面等離激元傳播和色散教學模型，我們可以研究沉積在 SiO2 上的石墨烯中的表面等離激元酶作用物。下圖顯示了石墨烯費米能量設置為 0.2 eV（左）和 0.5 eV（右）時的色散曲線。由于石墨烯電導率的差異，可以觀察到明顯的差異。與金屬中的表面等離激元色散相比，我們可以看到這里的光線非常陡峭，它幾乎與 y 軸對齊。這是因為表面等離激元波矢量比自由空間光子波矢量大得多。換句話說，表面等離激元波長要小得多。在下面的動畫中，我們可以看到當費米能量設置為 0.2 eV 時，表面等離激元 在 29 THz 時的傳播。在 29 THz 時，自由空間波長約為 10 m，而表面等離激元波長小于 100 nm，實現(xiàn)了奇妙的波長壓縮！但是，我們確實需要注意，在這種情況下，Q 因子不是很高。等離激元在傳播僅幾百納米后就完全衰減了。通過改善石墨烯的晶體質量或將其冷卻到低溫，可以實現(xiàn)更高的 Q 因子。

費米能量為 0.2 eV 的石墨烯表面等離激元的色散曲線。

費米能量為 0.5 eV（右）的石墨烯表面等離激元的色散曲線。

石墨烯表面等離激元在 29 THz 下的傳播。石墨烯的費米能量設置為 0.2 eV。

乍一看，在色散圖中，在 33 THz 左右的頻率范圍內沒有表面等離激元，這似乎很奇怪。這是由于襯底材料 SiO2 的介電常數(shù)，由于其聲子共振變?yōu)樨撝怠＿@種情況可以通過繪制 SiO2 的實部來查看模擬頻率范圍內的介電常數(shù)。

SiO2 的實部紅外頻率的介電常數(shù)。由于聲子共振，介電常數(shù)在 33 THz 左右變?yōu)樨摚渲惺┍砻娴入x激元不受支持。

在本文的前面，我們簡要提到了可用于激勵表面等離激元的不同實驗技術。仿真提供了激勵表面等離激元的替代方法。一個例子是使用電點偶極子源。回想一下，由于波矢量不匹配，表面等離激元 不能被自由空間光激發(fā)。然而，點偶極子產(chǎn)生的近場包含具有矢量的分量，這使得表面等離激元被激發(fā)。還可以通過執(zhí)行此類模擬并從場分布中提取表面等離激元波長來繪制表面等離激元色散。下圖突出顯示了這種類型的仿真，可以觀察到清晰的場振蕩。

石墨烯表面等離激元被在 y 方向上取向的電點偶極子激勵。

結束語

如前所述，表面等離激元只是眾多特殊類別的表面波之一。電磁表面波仍在進行深入研究，其可觀察到的現(xiàn)象超出了本文的范圍。例如，一些各向異性材料，如 MoO3，可支持單向表面聲子偏振子。這是因為在某個頻率下，只有一個面內方向的介電常數(shù)為負。在下面的動畫中，我們可以看到這樣的情況，其中 MoO3SiO2 上的板坯襯底由電點偶極子激勵。表面聲子偏振以表面等離激元特有的“蝴蝶”模式傳播，例如石墨烯，其中發(fā)射的表面等離激元各向同性地傳播。

各向異性表面聲子偏振子在 MoO3 中的傳播板坯由電點偶極子激勵。

通過利用 COMSOL Multiphysics 中的功能，例如電點偶極子節(jié)點和 邊界模式分析研究，我們可以通過多種不同的方式對電磁表面波進行建模，并探索相關的豐富現(xiàn)象。

本文內容來自 COMSOL 博客