本示例問題使用殘差向量來提高基于模態子空間的分析方法（如模態疊加和功率譜密度（Power spectral density, PSD）分析）的求解精度。該問題包括研究用于獲得完整模型解的結果擴展程序的計算效率。

簡介

便攜式電子設備（如數碼相機、移動電話和PDA）使用印刷電路板（PCB）。由于對便利性和多功能性的需求增加，這些器件的設計重點是小型化，以適應更高密度和更小尺寸的集成電路（IC）封裝。這些設計限制要求更小的焊點和更細的間距，這導致了板級互連的脆弱性。在運輸和客戶使用過程中暴露于惡劣的動態載荷環境是PCB的一個關鍵問題。PSD分析模擬了在這些惡劣條件下遇到未知載荷的隨機激勵。

模態疊加法通過將一個大的線性動態系統轉化為一組使用法向模態系統的非耦合方程，從而有效地解決了該問題。疊加法的第一步是通過模態分析獲得系統的特征頻率和特征模態。然后進行下游的模態瞬態分析、模態諧波分析和頻譜分析。

在模態分析中，通常只提取低頻的一個子集，截斷高頻模態。因此，基于模態子空間的解的精度無法保證，盡管使用殘差向量可以提高精度。計算殘差向量并將其歸一化為提取的模態，然后可用于所有下游分析（模態瞬態、模態諧波和頻譜分析）。

使用應力/應變模式的直接組合方法，提高了模態疊加擴展通道的效率。可以通過應用單元結果展開選項來激活模態分析中的展開。

問題描述

下面的模型是由三塊PCB堆疊在一起的PCB組件。利用加速度響應譜對該模型進行了基礎激勵下的PSD分析。目的是確定1-位移解，并比較有殘差向量和無殘差向量的結果的準確性。通過模態疊加展開（MXPAND）驗證了計算效率的提高。

建模

本節描述PCB組件的詳細建模。包括以下建模主題：

建模PCB結構

該組件由三塊堆疊在一起的PCB組成。每個PCB由一塊電路板組成，電路板頂部有IC封裝。該板為0.20m×0.28m矩形表面體，厚度為1mm。IC封裝為三維結構，每個厚度為5 mm。電路板采用SHELL181建模，適合分析薄到中等厚度的外殼結構。IC封裝采用SOLID186建模，這是一個三維20節點實體單元，表現出二次位移行為。疊層結構由五根垂直柱連接在一起。這些是厚梁結構（長度/直徑≈10），它們使用BEAM188建模。

BEAM188使用Timoshenko梁理論，該理論包括剪切變形效應，是分析中等短梁結構的最精確的梁單元之一。使用主要使用六面體網格對電路板和實體劃分網格，從而使每個PCB具有14600個節點。電路板和IC封裝均由聚乙烯材料制成。支柱由鋁合金制成。模型的節點總數為44097，包含26046個單元。

接觸建模

粘接和柔性面-面接觸對用于定義IC封裝和電路板之間的接觸。接觸和目標表面用于將IC封裝連接到電路板。接觸表面用CONTA174單元建模，目標表面用TARGE170單元建模。面-面接觸單元與節點-節點單元相比具有以下優點：

• 支持接觸面和目標面上的低階和高階單元。（SHELL181是線性單元，而SOLID186是二次單元）

• 對目標面的形狀沒有限制。表面不連續性可能是由制造缺陷或網格離散造成的。

如下圖所示，每個電路板有15個觸點對。

材料屬性

支撐柱、板和IC封裝的材料特性如下：

邊界條件和加載

PCB組件的板與五個支撐柱連接。柱的底部（y=-60）在所有自由度上都受到約束，如下圖所示：

以下示例輸入顯示了如何應用固定約束：

上述輸入中的N_BASE_EXCITE指定了支撐柱與底座連接處的節點。對于PSD分析，荷載以基礎激勵的形式施加在N_base_EXCITE集合上。

不同頻率點輸入頻譜的PSD值如下圖所示。1.0E-02和1.0E+01之間的輸入段有2個中間點，以獲得PSD積分過程中使用的曲線擬合多項式的良好擬合。

以下示例輸入顯示了如何應用基礎激勵：

分析和求解控制

本節描述了使用殘差向量和模態展開進行模態和PSD分析的求解方案控制和分析設置。

使用帶有殘差向量的Block Lanczos模式提取方法進行模態分析。

在y方向（ACEL）上施加線性加速度載荷，因為需要結合下游PSD分析生成殘差向量。選擇全局y方向上的加速度加載來生成殘差向量，因為在隨后的PSD分析中，在相同方向上應用基礎激勵。下面的示例輸入顯示了如何在模態分析中生成殘差向量：

對于功率譜密度（PSD）分析，基礎激勵以垂直y方向上的加速度形式應用，該加速度表示為重力引起的加速度。不同頻率點輸入頻譜的PSD值如圖所示，阻尼比為0.05。

殘差向量法

在模態疊加分析中，如果施加的載荷比模態分析更激勵結構的模態，則動態響應將是近似的。殘差向量法用于提高動態響應的精度。殘差向量是使用施加在結構上的載荷的靜態位移響應來計算的，這些載荷表示截斷高頻模式的線性組合。殘差向量相對于模態分析中提取的本征模正交，以形成正交殘差向量。然后將正交殘差向量用于模態疊加瞬態、諧波和頻譜分析，以獲得更精確的基于模態的分析結果。

由于該方法改進了收斂特性，本征解所需的本征模更少。結構的動力響應可分為兩部分：較低模態的貢獻和較高模態的貢獻，它們可以表示為殘差向量的組合。

得到了具有和不具有殘差向量的響應功率譜密度（RPSD）1-位移解。在模態分析中計算殘差向量，隨后使用相同的程序進行PSD分析。下面的示例輸入顯示了如何在PSD分析中使用殘差向量：

模態擴展

單元結果寫入Jobname中。在后續模態疊加的擴展過程之前，通過使用MXPAND模態分析中的參數MSUPkey。結果為Jobname.mode被寫成模態單元結果的線性組合。這為下游模態瞬態、諧波和PSD分析節省了大量時間，因為擴展過程不需要執行單元例程，因為先前信息可用。

在有和沒有存儲PSD分析的單元結果的情況下，進行全模型模態分析，并比較它們的效率。

結果和討論

計算效率

首先使用大量模態進行PSD分析。使用MXPAND命令（MSUPkey=YES）存儲模態單元結果顯著提高了下游模態疊加擴展過程的效率。模態數量的減小也減少了求解時間，但以犧牲準確性為代價。通過使用殘差向量，可以在不顯著增加求解時間的情況下提高精度。

下圖顯示了使用和不使用殘差向量方法以及模態擴展時的運行時間和CPU時間。使用MSUPkey=YES可顯著縮短解決時間。

隨著殘差向量的增加，求解時間略有增加。對于50種模態，有殘差向量和無殘差向量的經過時間分別為143.00和137.42秒。

結果的精度

使用50個模態（第51個模態是殘差向量）獲得的殘差向量的模態形狀如下圖所示。注意，殘差向量對應y方向上的位移。

除模態變換中的特征向量外，殘差向量法還使用模態分析過程中計算的附加向量。這提高了響應解的精確性。下表列出了具有和不具有殘差向量的RPSD位移解。對于沒有殘差向量的50個模態，結果的精確性很差，如下表中的A列所示。如B列所示，使用殘差向量可以顯著提高精度。

下圖顯示了這些值的子集。該圖還包含帶有殘差向量的300個模態的RPSD值。由于該殘差矢量的頻率（1489Hz）落在輸入頻率的范圍之外，所以對于300個模態，結果幾乎沒有任何變化。因此，這被視為分析的基線。通常，應使用殘差向量來提高精度并減少模態數，其頻率最可能落入頻譜分析的輸入頻率范圍。

建議

要執行類似類型的分析，請考慮以下提示和建議：

• 如果將執行后續的MSUP分析（例如，模態分析后的模態疊加瞬態、諧波、頻譜或PSD分析），則將單元結果寫入模態文件，以便在后續分析的擴展過程中使用（MXPAND,,,,,,YES）。

• 如果激勵在模態分析之前已知，則建議在后續MSUP分析中使用殘差向量法。如果提取了足夠的模態，則殘差向量可能不顯著。

參考文獻

1. Bo Zhang, Han Ding, XinJun Sheng. "Modal analysis of board-level electronic package." Microelectronic Engineering. 85: 610-620. 2008.

2. Ying-Chih Lee, Bor-Tsuen Wang, Yi-Shao Lai, Chang-Lin Yeh, Rong-Sheng Chen. "Finite element model verification for packaged printed circuit board by experimental modal analysis." Microelectronics Reliability. 48: 1837-1846. 2008.