本案例演示了使用Tool-Narayanaswamy（TN）移位函數（shift function）的假想溫度材料模型來檢測全陶瓷固定義齒（FPD）中的殘余應力。

主要應用了下列技術和能力：

• 對粘彈性材料使用假想溫度模型

• 運行一個瞬態熱分析來確定不同時間步的溫度分布

• 在結構分析中將熱分析結果作為溫度載荷加載

• 運行一個非線性結構分析來確定熱加載下的殘余應力

簡介

如果材料有粘性和彈性行為則被看做是粘彈性材料，彈性行為通常與率無關，代表了在載荷下的回復變形，而粘性行為通常與率相關，代表了材料內部的耗散機制。

一大堆材料（如高分子聚合物、玻璃態材料、土壤、生物組織和紡織品）展示出粘性行為，粘彈性材料在高溫時展示出粘流體行為，在低溫時展示出固體行為。

對于大多數粘彈性材料，溫度改變對材料性質的影響與在時間維度改變的影響相類似。這樣的材料在熱流變學上被認為很簡單，一個叫移位函數（shift function）的一般材料性質能夠將本構關系用一個參考溫度和變換時間簡化，shift function能夠減小確定材料參數所需要的實驗量。

下列移位函數能夠代表簡單熱流變學材料：

1. Williams-Landel-Ferry(WLF)——適合很多高聚物

2. Tool-Narayanaswamy(TN)——適合玻璃態材料

3. 具有假想溫度的TN——適合粘彈性材料的熔化和凝固過程，如玻璃和硬高聚物

移位函數能夠再現粘彈性材料的大部分性能，對于特定的要求，可以使用用戶自定義移位函數。

假想溫度是當前玻璃的微觀組織處于不平衡態的溫度。對于具有假想溫度模型的TN移位函數，假想溫度用于建模包含一個內在平衡溫度的材料，該溫度通常與材料的環境溫度不同。假想溫度向環境溫度松弛的方式與粘彈性材料的偏剛度常數和體積剛度常數向長時間彈性常數松弛的方式類似。

通過移位函數，能夠計算任何熱歷程的假想溫度的演化。隨著假想溫度接近實際溫度，粘彈性材料變得更加松弛。假想溫度經常用于建模粘彈性材料的熔化和凝固過程，如玻璃和硬高聚物。本問題使用固定義齒模型來確定由玻璃貼面在陶瓷芯上凝固后產生的殘余應力。

沒有金屬的陶瓷材料具有外表美觀，生物相容性和化學耐久性。這種材料是理想的固定義齒（FPD）材料。在玻璃層制造過程中的熱加載會在固定義齒中產生殘余應力，由熱收縮不協調在貼面和芯材之間造成的大殘余應力會導致口腔內部咬合加載下的失效，預測一個固定義齒在熱載荷作用下的殘余應力的能力對于預測FPD的壽命很有用。

FPD由玻璃貼面和陶瓷核芯組成，如下圖：

FPD的三維模型有數字掃描得到，因為原模型得不到，所以在Design Modeler中建立了一個相似的幾何模型。

通常玻璃層通過燒結得到，加熱到700℃以上高溫燒結，然后通過自由對流冷卻到室溫30℃。開始時，芯材由于高溫自由膨脹，然而自由膨脹不會影響到芯材和貼面一起自由對流產生的應力，為了演示目的，假定芯材和貼面有一個均勻的初始溫度，陶瓷芯材沒有初始的熱膨脹。

為了確定芯材和貼面中的熱殘余應力，需要FPD中的溫度分布。對FPD做一個持續時間600s的瞬態熱分析，初始溫度為700℃，自由對流冷卻到室溫30℃，在所有自由表面上施加對流換熱系數3.4E-5W/mm^2*℃，降低燒結的溫度到穩態室溫溫度。

每60s儲存一次溫度結果，結果作為接下來非線性結構分析的輸入，來確定殘余應力。

義齒建模

在熱分析中，使用熱單元SOLID87對貼面和核芯劃分網格。

使用3D面-面接觸單元建立接觸對，貼面和核芯之間的接觸用CONTA174和TARGE170單元。

在熱分析中得到的溫度分布用于非線性結構分析確定貼面中的殘余應力，溫度結果作為熱載荷在不同時間步讀入。

結構分析中需要與熱分析中使用相同的網格，因此需要將熱單元轉變為結構單元（ETCHG）。熱單元SOLID87轉變為結構單元SOLID187。CONTA174和TARGE170與SOLID187協調，所以這些單元保留，需要的時候將修改接觸單元的關鍵項。

FPD模型包含164041個節點，模型包含110275個3D 10節點四面體結構實體單元（56811個貼面單元和53464個芯材單元），10568個3D 8節點面-面接觸單元。

接觸建模

   粘接面-面接觸對定義了貼面和核芯之間的接觸，熱分析中建模的接觸對通過轉化（ETCHG）用作結構分析。

材料屬性

瞬態熱分析中使用下列材料屬性：

熱接觸傳導系數4E-5W/mm^2*℃
靜態分析中材料屬性如下：

玻璃和液體的熱膨脹多項式系數為：

熱邊界條件和加載

在所有節點上施加初始溫度700℃，在所有自由表面上施加對流換熱系數3.4E-5W/mm^2*℃

下圖顯示了FPD表面施加的初始溫度和對流：

對于接觸對，定義貼面和核芯之間的熱接觸傳導系數為4E-5J/sec*℃。

結構分析邊界條件和加載：

在FPD底面中心線上施加合適的位移約束來限制剛體運動。底面節點的豎直位移都約束住，施加熱載荷。

溫度場在每個載荷步讀入，TIME表示每個載荷步的最后求解時間。下圖顯示了在60s時的位移邊界條件和體力：

分析和求解控制

做一個瞬態熱分析來確定溫度場分布，做一個線性靜力學分析來確定殘余應力。

熱分析中輸入：

結構分析中SOLID87單元轉換成SOLID187單元，使用帶有假想溫度的TN移位函數建模粘彈性本構模型，像其他時間-溫度疊加模型一樣，移位函數能夠用TB,SHIFT命令調用。

根據參考文獻結果，對于玻璃體積松弛發生要遠慢于剪切松弛，因此本問題中不考慮體積衰減的Prony級數輸入。

調節時間步

基于參考輸入文件的全部分析大約需要3.5小時（8核處理器），你可以根據自己的需要調整時間步長：

1. 大增量步會加快模擬但準確度下降；

2. 小增量步需要更多求解時間，但精度更好。

重要：結構分析部分需要十個求解步，第1步求解（時間1-60s）比剩余的9步需要更多時間去收斂，在第1步求解就增加時間步長不是一個好習慣。

結果和討論

下面三幅圖顯示了在不同時間步時FPD貼面和核芯的溫度分布和時間600s當溫度達到穩態室溫時的分布。

下面三幅圖顯示了在不同時間步時FPD貼面和核芯的Von Mises應力分布。

由于貼面表面的自由對流，貼面和核芯的Von Mises應力隨著溫度變化。應力對應時間60s、300s和600s的溫度載荷，在高溫下，貼面與核芯相比Von Mises應力非常高，隨著貼面通過轉變的冷卻，在冷卻時間尺度上彈性模量不再松弛，而且由于貼面和核芯的不同熱收縮系數，在貼面-核芯界面應力分布出現了跳動，讓貼面中的更大Von Mises應力接近室溫下的核芯應力。

由于低溫下的穩態假想溫度（等于實際溫度），在界面上的貼面內表面的應力與核芯外表面的應力差別不大。下圖顯示了在室溫下核芯受到的殘余拉應力和貼面受到的殘余壓壓力分布。

出現拉應力是因為表面冷卻最快并變硬，而貼面的內表面（核芯的外表面）依然在相對高的溫度下。當界面處變硬并冷卻，施加給表面更多壓力。這些殘余應力能用于分析口腔內咬合加載下的FPD，并預測FPD的疲勞壽命。

下圖顯示了參考文獻中的最大殘余主應力分布，可見與本分析的結果相似。

建議：假想溫度松弛系數和應為1.0

參考文獻

DeHoff, P. H., Anusavice, K. J., & Gotzen, N. (2006). Viscoelastic finite element analysis of an all-ceramic fixed partial denture. Journal of Biomechanics. 39: 40-48.