“工欲善其事，必先利其器”。對于高頻電磁場問題，選擇適合的模擬方法是十分重要的。在這篇文章中，我們以空氣中平面波入射到介電板這一過程為例，使用了兩種不同的方法對其進行求解，并根據仿真結果闡釋了“電磁波，頻域”接口與“電磁波，波束包絡”接口在實際應用中的差異和各自的優勢。

在兩個電磁接口中對自由空間剖分網格

上文的兩個接口均可求解頻域麥克斯韋方程，但二者的實現方式略有不同。RF 模塊和“波動光學”模塊均包含了“電磁波，頻域”接口，該接口可用于直接求解仿真模型中各處的復雜電場。而“電磁波，波束包絡”接口只能從“波動光學模塊”打開，可求解給定波矢的電場復包絡。在下文中，我們將“電磁波，頻域”接口簡稱為“全波”仿真，將“電磁波，波束包絡”接口簡稱為“波束包絡”仿真。

為了區分“全波”仿真與“波束包絡”仿真之間的差異，我們首先來討論一個普通示例：在自由空間內傳播的平面波（如下圖所示），然后我們會將從示例中學到的知識應用到介電板案例中。

原理圖展示了在自由空間內傳播的平面波，其中紅色、綠色和藍色分別表示電場、磁場和波印廷矢量。

要正確計算“全波”仿真結果的諧波性質，所使用的網格必須比場內的振蕩更加精細。兩篇關于求解電磁波問題和模擬相關材料的文章對仿真工具的話題進行了深入探討。對于“全波”仿真而言，為了模擬平面波在自由空間中的傳播，網格單元的數量需要隨研究的自由空間域的大小而變化，那么“波束包絡”仿真是什么情況呢？

“波束包絡”方法尤其適用于那些波矢 k 為已知量的模型。從實踐的角度來看，這意味著我們要使用“擬設” 對場進行求解。請注意，擬設中唯一的未知量是包絡函數 。正是因為要對包絡函數剖分網格才能獲取完整的解，所以軟件才會將這個接口命名為“波束包絡”。在自由空間中的平面波案例中，擬設的形式與解析解完全吻合。我們知道包絡函數通常是一個常數，如下圖中綠線所示，所以我們到底需要多少網格單元才能對解進行解析呢？答案是只要一個。

在自由空間中傳播的平面波的電場和相位。在場圖中（左圖），藍線和綠線分別表示 E(r) 的實部 和絕對值。相位圖（右圖）顯示了 E(r) 的變元。在兩幅繪圖中，x 軸表示歸一化的波長，代表電磁波的一次完整振蕩。

在實際應用中，“波束包絡”仿真比剛剛使用的擬設 更加靈活，原因有兩個：一是我們可以指定用戶自定義的相函數 ，而不必指定波矢；二是仿真中的雙向選項允許波進行第二次傳播，并可以使用完整的擬設 。我們將在介電板（也稱法布里-珀羅干涉儀）建模案例中應用雙向選項功能。

在介電板案例中，我們將再次強調本節中討論的要點，以便于您更清楚地理解。“全波”仿真直接求解整個物理場，因此其網格單元尺寸與波長成正比，另一方面，“波束包絡”仿真求解的是給特定相位/波矢的包絡函數，因此其網格單元尺寸不受波長的影響。如果“波束包絡”仿真能夠取代“全波”仿真執行求解工作，就能大幅減少大型結構使用的網格單元數量，不過前提是您已經預先了解了仿真模型中各處的波矢（或相函數）。由于自由度、內存占用和仿真時間全部取決于網格單元的數量，所以仿真工具的選擇會對仿真的計算要求產生巨大的影響。

在 COMSOL Multiphysics 中對電介質板剖分網格

通過下圖中的二維幾何圖示，我們可以清楚地看到多種不同的波，這些波都是我們需要在平面波入射電介質板的仿真中考慮的。在條形板左側，我們需考慮向右傳播的入射波和向左傳播的反射波。因為反射發生在電介質板內部，故不得不考慮在板內向左和向右傳播的波，以及右側的透射波。接下來我們還要選定具體的案例以便使用確定的數值。

假設電介質板是厚度為 525 μm 的無摻雜硅（Si）晶片，接下來我們將要模擬太赫茲（THz）輻射的響應（即亞毫米波）。太赫茲輻射包含約 1 mm 至 100 μm 的波長，近來越來越多地被用于控制半導體的特性類型。在這個范圍內，無摻雜硅的反射率為常數 n = 3.42。我們將傳播方向上的域長度設為 15 mm。

仿真幾何圖示。紅色箭頭表示入射波和反射波。左側和右側區域表示折射率 n = 1 的空氣，位于中心的硅制板的折射率 n = 3.42。底部的 xis 表示平面的空間位置。條形板位于仿真域的中心，因此 x1 = (15 mm – 525 μm)/2。請注意，此圖像并未按照實際比例繪制。

針對二維“全波”仿真，我們將最大單元尺寸設為 λ/8n，以確保對解進行良好的解析。仿真在 y 方向上保持不變，因此將仿真模型的高度設為 λ/(8*3.42)。由于我們已限制了波沿 x 軸的傳播，因此可通過選擇映射網格來生成矩形單元。這樣一來，網格在 y 方向上等于一個網格單元的厚度，在 x 方向上的網格單元尺寸則為 λ/8n，其中 n 的數值取決于網格是在空氣中還是在硅制板中。再次提醒，此仿真的網格會隨波長變化。

在建立“波束包絡”仿真的網格之前，首先須指定自定義相函數。“案例下載”中的高斯光束以 Brewster 角入射案例演示了如何通過使用變量來定義每個域的用戶定義相函數，我們將在此使用相同的技巧。參照上方幾何圖形中的 x0，x1 和 x2，針對三個域內從左向右傳播的平面波，我們將其相函數分別定義為

其中 n = 3.42，表達式的第一行對應最左側域中的 Φ，第二行對應硅制板中的 Φ，最后一行對應最右側域中的 Φ。然后我們將該變量應用于第一個波的相位，將該變量的負值應用于第二個波的相位。由于我們完整地捕捉了擬設中解的完整相位變化，所以整個模型可以使用只包含“三個”單元的映射網格——每個單元對應一個域。接下來讓我們研究一下波長等于 1 mm 和 250 μm 時，兩個接口各自的硅制板域的網格圖像。

硅制（電介質）板的網格。從左到右依次為：波長等于 1 mm 時的“全波”網格，波長等于 250 μm 時的 全波網格，任意波長下的“波束包絡”網格。請注意，“全波”網格的密度明顯隨波長的減小而增大，與此同時，不論波長如何變化，“波束包絡”網格始終是單個矩形單元。

沒錯，以上就是“波束包絡”仿真中硅制板域的正確網格。因為擬設與解完全匹配，整個仿真模型總共只需使用三個單元：一個單元用于硅制板，兩側的空氣區域各使用一個單元。網格單元不受波長影響。另一方面，λ = 250 μm 時“全波”仿真的網格的密度約為 λ= 1 mm 時的五倍。我們來看一看這些仿真中所求解的自由度（degrees of freedom，簡稱 DOF）的具體數量。

模擬波長	全波 仿真 使用的自由度	波束-包絡 仿真 使用的自由度
1 mm	4,134	74
250 μm	16,444	74

至此，我必須再次說明，這樣的對比并不意味著兩個接口具有優劣之分。 二者僅是使用的技術不同，選擇合適的方法對于仿真來說極為重要。 不過，“全波”仿真確實更為普遍，因為用戶無需為它提供波矢或相函數，它能解決的問題類型也比“波束包絡”仿真更全面。 另一方面，如果滿足波矢已知的前提，“波束包絡”仿真就能夠大量減少自由度。 正如上一篇文章所述，仿真的內存占用很大程度上取決于自由度的數量。 但是不要隨處濫用“波束包絡”仿真！ 我們接下來將在另一個案例中故意選擇錯誤的波矢，同時研究所發生的情況。 “全波”和“波束包絡”仿真在不同波長下對應的自由度數量。

選擇最恰當的波矢

在上文的理想自由空間案例中，我們選擇了單向的波矢，在新案例中，我們對硅制板應用相同的設置。有一點需強調，我們很清楚選擇的單個波矢的解會是左行和右行波的疊加，它一個極其錯誤的選擇，僅用于演示目的。在這個案例中，我們棄用包含用戶定義相函數的雙向公式，盲目地采用一個“猜測出”的單個波矢 ，并研究會帶來什么樣的不良后果。使用擬設后，可將電介質板的內部描述為

其中左側為要計算的解，右側為匹配的項。現在為了研究解的空間變化，我們對方程進行一些處理。

我們特意使 ，方程由此可簡化為

由于 和 是常數，且由電介質板邊界上的 Fresnel 關系確定，因此得出的解中唯一的空間變化來自 。同時電介質板對網格的最小要求取決于這個振蕩項的“有效”波長

此波長等于原始波長的一半。現在我們將“波束包絡”仿真的網格當作了波長的因變量，而且選擇此波矢后，電介質板要求的網格密度變成了“全波”仿真的兩倍。選擇單個波矢，并將其應用于具有多次反射的仿真實在是個糟糕的決定。當然，我們確實可以直接將網格密度增加一倍，從而獲取正確的解，但這恰恰違背了起初選擇使用“波束包絡”仿真的意圖。因此，一定要選擇最恰當的波矢。

仿真結果

另一個實際的問題是，如何比較“全波”仿真和“波束包絡”仿真的結果？二者均是對具有相同材料屬性和幾何結構的模型求解 Maxwell 方程，因此像預期一樣，所得的各項結果（透射值、反射值、場值）基本一致。不過兩個仿真的結果存在細微的差別。

借助“波束包絡”仿真，可以實現對在電介質板中向右側傳播的波的電場的計算。當然，這是因為我們求解了向右和向左兩個方向傳播的波，對這兩個貢獻求和即可得到總物理場。這些結果可以從“全波”仿真中提取，不過需要額外的自定義后處理，而且也并非適用于所有情況。“波束包絡”仿真的計算時間相對較短，然而卻能提供更多的信息，這似乎有違常理。但是請您務必記住，這只是在使用了擬設后的模型求解結果。

高頻建模接口的結論和思考

通過使用“電磁波，頻域”接口和“電磁波，波束包絡”接口，我們研究了關于自由空間中的電介質板的簡單案例。對比“全波”仿真和“波束包絡”仿真，后者具有能處理大型仿真的能力，但前提是我們能預先詳細了解仿真模型中各處的波矢（或相函數）。“全波”仿真不需要提前了解波矢，但其模型必須根據波長進行網格剖分，而“波束包絡”仿真則對包絡函數的變化剖分網格。另外值得一提的是，大多數“波束包絡”網格往往需要三個以上的單元，這一條件只有在本文的案例中才是可行的，這是因為我們使用的是一個自帶解析解的教材式案例，它常被用作教學模型。如您希望了解更具實用性的案例，請參考官網“案例下載”中的 Mach-Zehnder 調制器或自聚焦 Gaussian 光束。

請注意，在 RF 模塊和“波動光學”模塊均可以使用“電磁波，頻域”接口，不過其對應的功能稍有不同。本文討論的“全波”仿真在這兩個模塊中均可執行，但是“波束-包絡”仿真只能使用“波動光學”模塊。

本文內容來自 COMSOL 博客