我的政府（我在英國）最近（2013年6月26日原稿發布）說，這里的孩子應該在 9 歲之前學習到 12 乘法表?，F在，我一直相信，我之所以學習 12 乘法表，是因為英國過去的貨幣制度——一先令等于12 便士。這種瘋狂在我出生后的第二年以十進制結束，到 1970 年代后期，如果不得不學習12 乘法表，似乎就已經變成毫無意義地浪費時間了。

近 40 年后發現它得到了新的重視，這讓我感到很奇怪，以至于我想我應該從數學上多研究一點。這是我得出的結論。

讓我們從一個基本問題開始：究竟為什么我們要使用乘法表？

我將聲稱有三個基本原因：

• 1) 直接知道常見乘法題的答案。

• 2) 啟用乘法算法。

• 3) 使近似乘法成為可能。

讓我們依次看看這些原因。

1：

這個原因很重要。日常生活中有很多小的乘法問題，毫無疑問知道這些問題的答案是有用的。但是知道任何問題的任何答案都是有用的。1 乘以 12 有什么特別之處？為什么停在 12 乘法表上——為什么不學習 13、14、15、16 和 17 乘法表？為什么不學習 39 乘法表？隨著表格數量的增加，學習量隨著數字的平方而增加，而遇到使用該表格的問題的共性會下降?！爸馈彼锌赡軉栴}的答案是一項艱巨的任務，不值得付出努力。畢竟，這就是發明數學的原因，這樣我們就不會必須知道所有可能計算的答案，而是在需要時有辦法解決它們。我們必須在某處畫一條線，然后轉向更算法化的方法。問題是這條線應該畫在哪里。

2：

有很多花哨的計算算法，但我們大多數人都學習“列乘法”，這涉及一次對一個數字進行運算，同時管理數字位置并將溢出帶到下一列。我自己有時仍然使用它。根據定義，它需要 0-9 乘法表（并隱含理解 10 倍表），因為它一次只需要一位數字，但任何一位數字都可以出現。11 和 12 乘法表的知識完全無關緊要。如果這是唯一的考慮因素，那么在 10 乘法表上，我們有明確的論據來劃清界限。您不能管理更少，而更多是沒有用的。

3

但是還有另一種有用的算法，它是將數字近似為幾個有效數字。這可能是將線畫得更高的理由。

以 7,203 x 6,892 為例。如果我想確切地知道這個結果，那么我會使用 Mathematica（或者如果我絕對必須這樣做，我會使用鉛筆和紙在列中應用乘法）。但通常我只需要一個粗略的答案，所以我在心里將其轉換為 7,000 x 7,000 = 7 x 7 x 1,000 x 1,000 = 49,000,000。更正式地，我將數字轉換為 k x 10 n 形式的最接近的近似值，其中 k ∈ { 我知道乘法表的數字集}。然后我在剩余的有效數字上使用乘法表，并隱式地使用 10 乘法表來獲得正確的幅度。在這種情況下，真正的答案是：

7203 × 6892

49643076

有 1.2% 的誤差——對于許多應用來說已經足夠了?，F在，如果我知道72 乘法表，我可以得到這個 7,200 x 6,900 = 49,680,000。只有 0.07% 的誤差。

所以，現在我們的“我在哪里畫線”的問題變成了“如果我最多知道 12 乘法表，與只知道10乘法表相比，典型的近似計算要好多少？” 讓我們調查一下。首先，我需要使用給定的引領數字執行近似過程。

并將其擴展到尋找最佳近似值，如果我們可以選擇引領數字。

例如，如果我最多只知道我的 4 乘法表，那么 18,345 的最佳近似值是 20,000。

現在我們的近似乘積只是每個數字的最佳近似值的乘積。

并且可以從與準確答案相比的差異中找到相對誤差。

例如，計算 549 x 999 當您最多只知道 10 乘法表時，誤差會超過8%。

現在，讓我們將“典型計算”視為涉及 1 到 100 萬之間均勻分布數字的計算，并將“典型”誤差視為 100,000 次此類計算的平均值。

如果您知道最多 10 乘法表，典型誤差是 9.4%。

但如果您知道12 乘法表，典型誤差只有 8.2%。

這是學習乘法表數量與誤差的函數。

有趣的是，大部分改進都是在您了解 7 乘法表時發生的。在10處出現奇怪突起是因為近似的能力依賴于已經知道的10乘表(以便能夠處理末尾的零)。

我們可以計算出每額外學習一個乘法表，典型錯誤相對改進有多少。

因此，相對收益以循環方式逐漸下降。

但是將錯誤率從 9% 提高到 8% 是有代價的。知道10乘表需要回憶 100 個事實（好吧，55，如果你假設對稱）。但是知道 12 乘表是 144 個事實。將誤差從結果的 9.3% 提高到 8.1%，相對誤差大小提高了12%。但要實現這一點，您需要額外記住 40% 的信息。這似乎是一個失敗的提議。

讓我們看看每多記憶一個事實，對結果的相對改善。

接近10乘表，“努力的回報”非常迅速地下降，然后幾乎沒有提高。在 10 時停止我們的死記硬背似乎是一個相當有說服力的案例。事實上，如果乘法表僅用于估計，我們將通過僅查看數量級并僅使用 1 和 10乘表來為每次努力獲得最佳回報！

當然，數字不是均勻分布的。如果您從事雞蛋生產，那么 6s 和 12s 可能會出現很多，就像您碰巧是前十進制英國貨幣的經銷商一樣！像這樣的上下文問題很難量化，但一個普遍的問題是Benford 定律，它出現在許多現實世界的數據集中。它表示，如果您查看涵蓋多個數量級的真實數據集（例如社區人口、人們的債務或計算機上的文件大小），那么這些數字更有可能以 1 開頭而不是 2 ，并且更有可能以 2 而非 3 開頭，依此類推。我不知道有沒有人研究過第二位數的分布，所以我假設這是統一的。所以這是一個生成“真實世界”數字的函數。

我們現在可以對這些更現實的數字重復我們的分析。

使用這些不太統一的數字表現較差（使您更有可能需要準確的計算而不是近似值）。通過了解更多的表仍然可以實現改進，這可以作為學習超過 12 乘法表的論據，但當您考慮到每額外學習一個事實帶來的回報時就不行了，這使得在學習10乘表后停止更有說服力。

如果您真的想進行一些額外的死記硬背學習，那么有比學習 11 和 12 乘法表更好的方式來花費您的精力。學習 1 到 10 以及 15 和 25 的所有排列會比 1 到 12 乘法表產生更好的平均結果（因為它們更均勻地近似于前導數字為 1 或 2 的數字）。

或者，正如 Chris Carlson 向我建議的那樣，學習接近 100 的倒數（2 x 50 = 100、3 x 33 = 99、4 x 25 = 100、5 x 20 = 100、6 x 17 = 102 等），因為它們經常出現。我認為學習2的平方和冪可能也比學習11和12的乘法表更有用。

由于沒有希望恢復之前十進制貨幣系統，我只能得出結論，這個新的優先級背后的邏輯很簡單，“如果學習 10 乘法表是好的，那么學習到 12 乘法表就更好了?！碑斈胩岣邤祵W標準的時候，誰能反對呢? 除非您把數學應用到這個問題上!

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