緒論

斷裂是混凝土材料破壞的主要模式。可靠、高效的混凝土斷裂模型在橋梁、隧道、大壩等土木工程結構的安全評估中發揮著重要作用。對混凝土斷裂的研究,尤其對其裂紋萌生和擴展的研究,引起了國內外學者越來越多的關注。混凝土斷裂的數值模擬與斷裂理論、物理試驗相互印證與補充,并隨著科技發展不斷地提高著混凝土斷裂問題模擬的準確性。近年發展起來的斷裂相場法,通過場變量的自動演化獲取裂紋路徑,可方便地模擬出裂紋的動態擴展過程。因此本案列將采用基于ABAQUS的斷裂相場模型實現對混凝土斷裂問題的模擬分析并探討該模型的工程實際適用性

理論基礎

相場法是一種以經典熱、動力學理論為基礎,由耦合的非線性的力平衡方程和相場梯度型演化方程組合而成的唯象方法。該方法引入一組場變量來描述結構的相變過程。與銳界面法中場變量的不連續性相反的是,相場法中場變量在界面區域具有連續性,可以用來描述材料初始時和完全破壞之間的平滑過渡。相場變量能分成保守的場變量與非保守的場變量兩種,總量在物體結構演化中保持不變的為保守的場變量,如原子和電荷的濃度場;總量在物體結構演化中為不守恒的并從0到1變化的是非保守的場變量,如馬氏相變。

Frankfort和Marigo基于能量最小化原理提出了Griffith理論的變分形式。描述斷裂的相場法中材料勢能分為兩部分，彈性應變能和表面能，分別對應于完好相和斷裂相。Griffith理論的泛函形式可以表達為:

其中是對稱的小應變張量，代表裂紋面，Ω為求解區域。斷裂問題系統自由能由彈性應變能(等號右邊第一項)和斷裂表面能(等號右邊第二項)構成，裂紋的擴展受自由能最小化原理控制。通過求能量泛函的極值可以獲得材料系統的控制方程。

采用有限寬度的彌散區域來近似表征離散裂紋面，如圖 1所示。所有場變量均是全域連續。采用一個標量d來表征材料的狀態，稱之為相場。d=1代表材料完全失效，d=0代表材料完好無損。通過引入序參量d，給出了斷裂面的彌散表達式:

圖 1 .相場法示意圖

式中l為影響斷裂面的彌散寬度(的區域)的長度尺度參數:l越大，裂紋彌散寬度越寬;l越小，裂紋彌散寬度越窄；當時，裂紋彌散寬度l趨于0時。代入（1）式，可得自由能：

其中，外力功可以表達為，

其中，b和t分別為系統體力和作用在系統表面上的面力。對式上求變分，可以獲得：

需對任意的變分場δd，δε，δ▽d都滿足，意味著需要滿足以下等式：

基于相場控制方程，推導其相應的有限元離散格式。形成了用于解耦相場和位移場的方程組,該方程組可用于更新相場和位移場。本研究采用交錯算法對相場模型進行求解,其中交錯算法示意如圖 2所示。

圖 2 交錯解法流程示意圖

以上為控制方程的弱形式，通過運用高斯定理，可以得到其強形式為:

其中，▽運算符是拉普拉斯算子。為了保證相場法中裂紋的不可逆性，由于無直接的裂紋量度，因此通常從損傷力學的角度保證，即來保證裂紋的不可逆性。提使用歷史變量H來代替方程中的，即

數值算例

本節使用ABAQUS軟件編寫Fortran子程序實現基于相場法的裂紋擴展模型。對經典的混凝土試件單軸受壓模擬進行相場模擬，模型如圖 3所示，幾何尺寸100x 100mm。采用位移控制加載方案,平板底端固定,上端壓縮。其中,骨料強度大,混凝土破壞時一般骨料不會發生損傷,所以本文將骨料單元損傷本構模型的斷裂能設定較大。砂漿和ITZ采用正常的相場損傷本構模型,表1.1給出了各相的材料參數,值得注意的是,損傷本構模型只需要設定楊氏模量、泊松比、抗拉強度和斷裂能等常見的材料參數即可。

圖 3 單邊缺陷試樣單軸拉伸加載示意圖

表 1 各組分材料屬性

	彈模（GPa）	泊松比	強度（MPa）	斷裂能（N/m）
骨料	50	0.2	35	3000
砂漿	20	0.2	4.5	150
界面過渡區	15	0.2	3.5	90

圖 4表示為不同加載時刻下模型損傷云圖，由圖可以看出在初始時刻時，由于外部載荷的較小，模型損傷程度比較小，并且損傷較為分散，對應圖5最終的損傷網格模型可以看出，此時損傷云圖里呈現藍色的低損傷區域對應于圖5的骨料，這也和之前對材料屬性的設置相一致。骨料相較于其他兩項組分，由于其斷裂能較大，所以不易出現損傷。隨著載荷的增大，在中部區域出現聚集性損傷，且損傷程度較大，裂紋處于損傷形核階段。隨著載荷繼續增大，損傷朝向左右骨料的間隙方向延伸。此時損傷繼續加大，這也就意味著在能量持續輸入的情況下，能量轉化成裂紋表面能的比例增大。隨著載荷的增大，裂紋已經完全擴展至左右兩側邊界。雖然彌散裂紋不具有尖銳裂紋那種可視化拉斷效果，但是從物理意義上來說，此時模型已經被完全拉斷。這一點從圖6模型整體的力-位移曲線也可以看出。

圖 4 不同時刻下模型損傷云圖

圖 5 損傷網格模型

圖 6 損傷本構下的力-位移曲線

后續展望

(1)對于界面過渡區的處理,本案例簡單的采用了直接賦予材料屬性的辦法。該方法的科學性還需要進一步驗證,之后需要進行全面的理論與數值模擬研究。

(2)在工程實際當中,諸如溫度、濕度等多場耦合問題也是十分常見的,對混凝土全生命周期性能影響不容忽視。研究多場耦合問題的難點在于除了需要考慮其他場與位移場的耦合關系外,對于它們與相場的耦合關系亦不容忽視,此外各自的耦合方式仍需探討,這將會是一項有意義且有趣的研究。