幾乎所有工程領域都使用仿真在虛擬環境中來預測組件的性能。然而，這并不是仿真技術的唯一優勢。了解影響組件性能的主要因素能夠賦予設計過程更多價值。在 COMSOL Multiphysics? 軟件中進行靈敏度分析理解這種關系的一種方法。今天，我們將展示如何在一個承受彎曲和扭轉載荷的桁架塔中使用 COMSOL 軟件的靈敏度研究步驟進行分析。

什么是靈敏度分析？

如果你曾經對更改模型中某個參數的影響進行過研究，那么基本上你已經對該參數進行了靈敏度分析。這些參數可以是材料特性、載荷或幾何距離。在兩種情況下，對靈敏度進行研究很重要：

1. 你需要描述響應對輸入數據的不確定性的敏感程度；例如，制造容差或材料特性

2. 你需要更改參數來提高設計的性能，并希望找出最有效地實現目標的更改

顯然，如果參數擾動很大，響應的改變會更大，因此將所測量的任何變化除以參數擾動的大小，來獲得標準化的靈敏度測量值是有意義的。然后，再將這個歸一化的數字與以相同方式計算的其他參數的類似數字進行比較，假設這些參數在某種程度上是等效的并且具有相同的單位。

這種（或多或少通過手動進行的）靈敏度分析稱為前向差分分析 ，其計算成本與參數數量成正比。它最適用于參數數量較少的情況。然而，選擇參數擾動的大小可能有點棘手，因為它必須足夠大以避免數值噪聲，并且應足夠小以避免非線性效應。

你可以通過增加和減少參數來獲得所謂的中心差分來提高分析的準確性，如下圖所示。從計算的角度來看，這需要花費2倍的時間，因為你必須對兩個新的參數值而不是一個新值來評估模型。

在數學上，靈敏度可以看成是對一個或多個輸入參數的求導結果。上述我們討論的兩種方法是最常見的近似求導法。

可以使用靈敏度分析以及正向或中心差分相結合的方法來計算曲線的斜率。

然而，靈敏度分析是 COMSOL Multiphysics 中的內置功能，因此你無需自行擾動參數。你可以使用伴隨靈敏度分析來避免一些相關數值參數帶來的參數擾動，結果以單一線性解的代價來計算靈敏度。從概念上講，你可以把它看所使用分析方法計算導數，而不是通過有限差分對它進行近似。這個功能可用于穩態和頻域研究類型，只要參數不改變網格就可以使用。

文中演示的示例中，我們將使用伴隨靈敏度分析，因為考慮的問題有很多參數。

桁架塔的彎曲和扭轉

想象一個底部固定的桁架塔，頂部承受扭轉和彎曲載荷，如下圖左側所示。該模型使用不包含旋轉信息的桁架單元。但是，計算傾斜度和扭轉度需要這些信息。

該模型使用梁單元（在下圖右上方顯示為黑色十字）來測量傾斜度和扭轉度。

彎曲和扭轉載荷工況（左）以及使用 4 個頂部節點位移計算的偏航和傾斜變形的定義（右）。

下表列出了扭轉和彎曲載荷工況的傾斜度和扭轉度：

載荷工況	傾斜度（°）	扭轉度（°）
彎曲	0.72	0
扭轉	0	1.2

在 COMSOL Multiphysics? 中執行靈敏度分析

我們將研究該塔對單個梁橫截面積變化的敏感程度。通過為每個梁創建一個控制變量來實現這個研究，該變量可用于調節梁的橫截面積。在 COMSOL 中我們使用邊控制變量場 Abar 來實現。COMSOL Multiphysics 的核心功能包含靈敏度研究步驟，我們需要在“顯示更多選項 ”對話框中啟用并添加這項功能。

可以從顯示更多選項中啟用靈敏度研究步驟。

控制變量將自動顯示在靈敏度研究步驟中，但必須使用探針或積分耦合算子定義目標函數。無論哪種情況，我們都可以在靈敏度研究步驟中輸入目標函數，如下圖所示。

傾斜目標被定義為一個變量，因此它可以直接寫入目標函數表格或使用添加表達式按鈕添加。

靈敏度分析的結果

對于控制變量的靈敏度，我們可以使用表達式 fsens(abar) 繪制，如下圖的傾斜靈敏度所示。對于彎曲載荷工況，如果對垂直梁進行加固，傾斜度將會降低，尤其是在塔的下部。右側為扭轉載荷工況，我們可以看到塔的傾斜對梁區域的變化不敏感。

繪制了彎曲載荷工況（左）和扭轉載荷工況（右）下的傾斜靈敏度。

扭轉靈敏度如下圖所示。我們可以通過在一側加固對角梁，同時在另一側削弱對角梁，為彎曲荷載工況引入扭轉度。這樣做會破壞對稱性，使塔頂響應彎曲載荷而扭轉。對于扭轉載荷工況，可以通過加強對角梁來減小扭轉度。

繪制了彎曲載荷工況（左）和扭轉載荷工況（右）的扭轉靈敏度。

傾斜度和扭轉度對水平梁的變化都不敏感，這表明可以移除它們，從而降低結構的成本。然而，這將導致垂直梁的長度加倍，結構將變得更容易受到局部屈曲的影響。

本文來自：COMSOL