光學計算是替代當前電子計算機的另一種可能形式。在這篇文章中，我們將探討光學計算的概念，并解釋了光學矩陣乘法網絡是如何工作的。我們還討論了如何使用 COMSOL Multiphysics? 軟件及其附加產品——波動光學模塊對光學計算設備進行建模。結合這些產品的使用，展示了在模擬大型光學系統時應用波束包絡法的優勢。

光學計算簡介

摩爾定律

在過去的幾十年里，計算機的能力一直呈指數級增長。這種增長遵循 摩爾定律 ，即集成電路中的晶體管數量每兩年翻一番，而計算機的成本將降低。這使得我們今天享有的大部分現代技術成為可能。例如，主流計算機芯片完全基于晶體管等電子元件，每塊芯片的晶體管數量幾乎 每兩年就會翻一番 。為了跟上這種增長，并在可控的功率效率下提高計算機芯片的性能，芯片上的電子元件(包括晶體管)的小型化既關鍵又不可避免。盡管工程師們在這方面做了出色的工作，將晶體管從厘米尺度縮小到納米尺度，但重要的是要認識到，最終基本的限制將阻礙這類設備的發展。例如，當一個電子元件的尺寸接近原子水平時，量子效應將導致其功能不穩定。科學和工程界長期以來一直在考慮電子計算機的替代形式。最近引起廣泛關注的一種替代是光學計算——指用光(光子)而不是電流(電子)進行計算。

雖然光學計算是一項新興技術，但光學在信息技術中的應用已經有相當長的一段時間了，特別是利用光進行信息傳輸。損耗極低的光纖可以以光速長距離傳輸信息。光纖網絡設備常用于數據中心甚至普通家庭。然而，在商業化方面，利用光進行計算仍處于起步階段。

光學中的數學計算

眾所周知，某些光學過程對應于數學計算。例如，考慮光的衍射。當光通過衍射介質時，本質上是在進行傅里葉變換積分。然而，光學系統是否可以像我們今天擁有的計算機一樣進行通用數學計算，可能還不是很清楚。目前，光學計算有許多不同的形式。已經證明，我們可以使用不同的機制進行簡單的算術運算、矩陣乘法、積分和微分，等等。一般來說，模擬計算可以在專門設計的系統中以光的衍射、散射或傳播形式發生。

自由空間馬赫–曾德爾調制器(MZI)中場分布的模擬。

一個集成的馬赫–曾德爾調制器網絡。

這里，我們并不籠統地討論光學計算，而是深入探討一個特殊的模擬光學計算系統：基于馬赫-曾德爾調制器網絡的矩陣乘法設備。這個系統非常有趣和有用，因為以不需要大量能耗的方式快速進行矩陣乘法，對于解決實際問題而言是可行的，這包括與機器學習有關的問題。大多數現代機器學習算法，如深度神經網絡，都依賴于大量的矩陣乘法。如果我們可以建立一個能快速進行矩陣乘法的光學系統，就能充分利用機器學習的力量。

光學矩陣乘法

馬赫-曾德爾調制器

首先，我們需要了解具有兩個輸入和兩個輸出的單個馬赫-曾德爾調制器如何進行 2×2 酉矩陣乘法。從由兩個 50:50 分束器 (BS)和三個移相器組成的經典 馬赫-曾德爾調制器配置開始，如下圖所示。當光通過移相器時，相移以  ,   和   的方式移動。我們將輸入光束的復振幅標記為   和  ，輸出光束的振幅度標記為   和  。

接下來，我們將得到，其中 

和   是任意酉矩陣，由  ,   和  . 控制。 這里，上標 2 表示矩陣的維數。我們將在整篇文章中遵循這個符號約定。通過控制  ,   和   我們可以讓這個光學系統以光速進行任何單一的 2×2 矩陣乘法。

具有兩個 50:50 分束器和三個移相器的經典馬赫-曾德爾調制器，可將光的相位移動 ,  和 。M 表示反射鏡。

當光束   通過一個對稱的 50:50 分束器，傳輸的光束是  ，反射光束是  。反射光束中虛數   的出現是由于反射相移  ，因為  。 對于通過分束器的光，比如說第一個分束器，它會拾取一個相位因子  。 根據以上討論的信息，我們可以對經過不同路徑的光求   和  ，得出和：

經過一些代數計算，可以得到

以矩陣形式表示為

可以看到，矩陣

是一般復酉 2×2 矩陣的形式。可以很容易地檢查到  ， 式中   是單位矩陣。從幾何上講，這個矩陣可以解釋為輸入向量的旋轉。那么，我們如何在 COMSOL Multiphysics 中為這樣的光學系統建模呢？

我們使用 COMSOL 軟件的波動光學模塊進行建模的原因有很多。乍一看，射線光學模塊似乎也很合適，因為系統的大小比波長大幾個數量級。然而，對于馬赫-曾德爾調制器，我們主要關注的是干涉效應。射線光學模擬通常不會自動考慮干涉，因此不是理想的方法。

通過使用波動光學模塊，干涉將被自動考慮。使用這個模塊，我們就可以采用電磁波，波束包絡 接口，它非常適合處理這種大小的模型。波束包絡法特別適用于模擬長距離光束傳播問題，如我們 之前的文章所述 。 通過將場分離為緩慢變化的包絡函數和快速變化的相位因子的乘積，我們只需要根據包絡函數變化的速度對模型進行網格剖分。這在很多模擬中為我們節省了大量的計算資源，例如上圖所示的馬赫-曾德爾調制器，因為光束大部分時間都在自由空間中傳播，包絡函數沒有變化。在這個系統中，有兩個光束傳播方向——水平和垂直。波束包絡法的雙向公式是完美的選擇。我們使用以下設置來設定波矢量：

• 第一個波：
• x = ewbe.k
• y = 0
• 第二個波：
• x = 0
• y = -ewbe.k

如果固定   和   ，同時   在 0 到   內逐漸變化，就可以研究輸出場振幅和。這是通過在輸出邊界計算 ewbe.Ez 來完成的。然后我們可以在復平面上繪制   和  ，如下圖所示。該路徑描繪了一個閉環為   的變化。這是我們之前展示的推導所預期的。圖中的星號是使用前面提到的矩陣方程計算的，與輸出邊界的 ewbe.Ez 一致，正如前面預期的那樣。

左圖：經典馬赫–曾德爾調制器的二維模型，具有兩個 50:50 分束器 (BS) 和三個移相器，可將光的相位移動 ,  和 。M 表示反射鏡。右圖：模擬  從 0 到 變化的場分布。 輸入振幅度  和 。

電磁波、波束包絡的設置。

當  從 0 到變化  時，復數 (左圖)和 (右圖)。實線表示模擬結果，星號表示使用上述解析推導計算的期望值。橫軸和縱軸分別是實部和虛部，顏色代表  的變化。

n×n 酉矩陣乘法

我們現在知道如何實現 2×2 酉矩陣乘法是很有成效的，但是要注意，在大多數情況下，我們將使用維數大得多的矩陣。現在，我們來了解如何使用馬赫-曾德爾調制器網絡執行任意 n×n 酉矩陣乘法。在這里，我們將調用一個定理，即任何 n×n 酉矩陣都可以寫成  2×2 酉子矩陣。例如，一個 4×4 酉矩陣  可以寫成 ，其中

這里， 是一個 2×2 酉矩陣，由一個具有三個相移的馬赫-曾德爾調制器控制，如前所述。通過將 n 維矢量空間中的一般旋轉看作低維中的旋轉序列，可以直觀地理解這種矩陣分解。從物理上講，這意味著我們可以按照每個馬赫-曾德爾調制器  代表的特定順序構建馬赫-曾德爾調制器網絡。 因此，整個系統在光通過時對輸入進行任意 n×n 酉矩陣乘法。在 4×4 酉矩陣的情況下，我們總共需要 6 個馬赫-曾德爾調制器。

馬赫–曾德爾調制器相當于一個光學 2×2 酉矩陣乘法核心。它對輸入矢量進行 2×2 酉矩陣乘法。矩陣  可以通過使用電光效應或熱光效應通過施加電壓在馬赫–曾德爾調制器中引起相移來進行編程。在右圖中，馬赫–曾德爾調制器中的第一個移相器是連續調諧的，這會在輸出中引起矢量旋轉。

原則上，這個系統可以使用自由空間光學技術來實現，如上圖所示的經典馬赫-曾德爾調制器。然而，自由空間光學技術的可擴展性相當差。分束器和反射鏡都很笨重，而且不方便攜帶。如果我們想構建一個包含大量組件的光網絡，就需要一種更具可擴展性的方法。基于目前互補金屬氧化物半導體（CMOS）制造平臺的集成硅光子學是一個很有前途的候選方案，適合大規模生產高度小型化的光學元件。與自由空間的馬赫-曾德爾調制器類似，基于波導耦合器的集成馬赫-曾德爾調制器具有相同的光學功能，但體積要小4個數量級。這使得設計光學芯片成為可能。設計一個具有光束 50:50 分割和足夠相移的馬赫-曾德爾調制器需要進行幾何調整和優化。我們在這里不做詳述，但您可以閱讀這篇文章： 如何設計一個使用電光效應作為相移機制的波導馬赫-曾德爾調制器 。

類似地，熱光效應也常用于引起折射率調制，從而引起相移。

一個光學 4×4 酉矩陣乘法核心。該設備由 6 個馬赫–曾德爾調制器網絡組成。它對輸入矢量進行 4×4 酉矩陣乘法。可以通過使用電光效應或熱光效應在每個馬赫–曾德爾調制器中引起相移來對矩陣進行編程。

第一個馬赫–曾德爾調制器中的第一個移相器是連續調諧的。這會在第一和第二輸出中引起矢量旋轉。

廣義 n×m 矩陣乘法

到目前為止，我們已經建立了使用馬赫-曾德爾調制器   的光網絡來進行任意 n×n 酉矩陣乘法。顯然，n×n 酉矩陣是一類非常特殊的矩陣。為了使系統普遍適用，我們需要求解廣義的 n×m 矩陣乘法，這不僅限于酉矩陣和方陣的情況。這是可能的，因為有奇異值分解 (SVD)。SVD 表明任何 n×m 矩陣   可以分解為  ， 式中   是一個 n×n 酉矩陣，  是一個 n×m 對角矩陣，  是一個 m×m 酉矩陣。  表示復共軛。因此，當計算   時，我們只需要一個用于   的光網絡，一個用于   的光網絡, 并用代表對角線矩陣   的衰減器陣列連接它們，因為對角矩陣僅表示每個元素按常數縮放。衰減器也可以由具有單輸入和單輸出的馬赫-曾德爾調制器制成。

一個光學 n×m 矩陣乘法裝置由兩個酉矩陣乘法核心和一個衰減器陣列組成。

總之，我們擁有構建用于一般 n×m 矩陣乘法的光學系統所需的所有要素。文末將提供一個 n×n 矩陣乘法系統的建模示例鏈接。該模型可用作構建更復雜的 n×m 矩陣的靈感。

結束語

在這篇文章中，我們為您展示了任何 n×m 矩陣都可以分解為多個 2×2 酉子矩陣和一個對角矩陣的乘積。這樣就能夠使用一系列馬赫-曾德爾調制器構建用于一般矩陣乘法的光網絡。另外，我們還介紹了使用集成低損耗硅光子進行光學計算的優勢。

未來的手機和電腦會由光學或光子處理器驅動嗎？這有待觀察，沿途還有許多技術難關需要攻克。可以肯定的是，多物理場仿真是復雜光學計算系統設計和優化的重要組成部分。如本文案例所示，COMSOL Multiphysics 中的波束包絡法功能特別適用于模擬時間快速和存儲效率良好的大型光學模型。它還能夠模擬整個光學系統，這在考慮其它物理效應時至關重要，例如不均勻的溫度梯度或機械變形。

本文來自：COMSOL博客