前言

COMSOL

Comsol給出自由度的數(shù)目作為數(shù)值問題大小的估計(jì)。自由度等于節(jié)點(diǎn)數(shù)乘以因變量數(shù)。對于目前的問題，使用了二次四面體單元，有六個因變量對應(yīng)于磁矢勢的三個分量的實(shí)部和虛部。節(jié)點(diǎn)的數(shù)量大約是元素?cái)?shù)量的1.4倍，因此自由度的數(shù)量大約是元素?cái)?shù)量的8.4倍。磁場模塊的3D求解器的默認(rèn)設(shè)置被使用，包括使用穩(wěn)定共軛梯度迭代求解器使用正確的預(yù)處理。Comsol允許用戶從多個迭代和直接求解器中進(jìn)行選擇。

電場衰減的距離可以通過集膚深度來估計(jì):

其中ρ為相應(yīng)層的電阻率，μ₀為自由空間的電導(dǎo)率。為了滿足頻域研究的分辨率，網(wǎng)格被定義為在一個集膚深度單元上至少有幾個元素邊緣。Comsol允許用戶將域劃分為不同的卷和網(wǎng)格，以域內(nèi)不同的分辨率。具有特定元素進(jìn)入域的增長率的邊界上的更高分辨率也可以使用。網(wǎng)格質(zhì)量可以監(jiān)測使用各種措施，包括偏度，體積相對圓周半徑和條件數(shù)。同樣重要的是，域尺寸足夠大，使外邊界條件不會顯著影響解。因此，域外部邊界需要距離興趣點(diǎn)至少2個集膚深度，以最小化邊界影響。由上式可知，必要的網(wǎng)格分辨率取決于頻率和電阻率。在COMSOL Multiphysics中，網(wǎng)格大小可以設(shè)置為集膚深度的函數(shù)，根據(jù)不同的參數(shù)自動調(diào)整。通常，我們將網(wǎng)格元素大小設(shè)置為對應(yīng)層中集膚深度的四分之一。

提高網(wǎng)格分辨率會帶來更高質(zhì)量的解決方案，但運(yùn)行時(shí)間更長，RAM使用量也更大。在這里顯示的所有模擬中，網(wǎng)格單元的最大尺寸范圍從300 m到40 km，模型運(yùn)行時(shí)間從40 s到2.5 h，內(nèi)存使用范圍從4 GB(65823個元素)到70 GB(1674809個元素)。

在所有的模擬中，選擇一個矩形棱鏡作為模型域。棱鏡包括區(qū)域，代表非常低導(dǎo)電性的空氣(z < 0公里)和地面(z > 0公里)。假定每個地面層都是各向同性和均質(zhì)的。假設(shè)層內(nèi)的電介電常數(shù)和磁導(dǎo)率分別為自由空間的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率，分別為8.85× 10^?12 F/m和4π × 10^?7 H/m。作為初步評價(jià)，將均勻地球模型的數(shù)值解與相應(yīng)的解析解進(jìn)行了比較。仿真0.1 Hz頻率下三層地球模型耗時(shí)283 s，使用了4055966個自由度，需要18.79 GB的物理內(nèi)存。

雖然采用一維電阻率結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，但數(shù)值模型完全是三維的。由于在分層地球模型的邊界上指定了磁場的解析解，因此域內(nèi)的磁場或電場不應(yīng)存在橫向變化，因此沿域中心垂直剖面計(jì)算的磁場應(yīng)與邊界上指定的磁場完全相同。圖2顯示了三層地球模型的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。區(qū)域0 < z < 5km、5 < z < 15km和z > 15km分別代表電阻率為100Ωm、10Ωm和1Ωm的層。0 km以上為空氣，其電阻率設(shè)為109 Ωm。雖然這個電阻率明顯小于空氣的真實(shí)值，但它足夠大，不影響地面的傳導(dǎo)。在圖3中，我們顯示了水平磁場H_y、水平電場E_x和垂直電場E_z沿模型中心垂直剖面的實(shí)部和虛部解析解(實(shí)線)和數(shù)值解(圓)的比較。我們清楚地表明，解析解和數(shù)值解吻合得很好。E_x實(shí)部有一個很小的不匹配，這可能是由于解析模型假設(shè)電導(dǎo)率為0，而數(shù)值模型電導(dǎo)率很小但非零。H_y的實(shí)部和虛部斜率在每一層界面處都有不連續(xù)，在地面E_z處也有不連續(xù)。由于接地面水平磁場和水平電場(z = 0)可以通過Comsol數(shù)值和解析得到，因此可以計(jì)算視電阻率和相位隨頻率的函數(shù):

其中I和R是虛數(shù)和實(shí)數(shù)運(yùn)算符。表1給出了地平面( z = 0)上水平磁場( Hy )、水平電場( Ex )、視電阻率( ρ_a )和相位( φ )的解析結(jié)果和數(shù)值結(jié)果的比較。同樣，這兩個結(jié)果都匹配得很好。類似地，可以在不同頻率范圍內(nèi)運(yùn)行仿真，對自然發(fā)生的電磁信號進(jìn)行建模。

圖2 .三個分層模型網(wǎng)格和幾何與深度和電阻率值表示

圖3.在0.1 H_z頻率下，沿模型中心垂直剖面的H_y、E_x和E_z的(a)實(shí)部和(b)虛部的解析(實(shí)線)和數(shù)值(圓)解的比較

總結(jié)