正/逆壓電效應與材料本身的各向異性程度緊密相關，反過來又與壓電材料的晶體結構存在關聯，而各向異性的程度同時又受到極化過程的影響。下面，我們將介紹如何在 COMSOL 軟件中正確地模擬壓電材料的晶體取向和極化方向。

壓電效應簡介

讓我們快速回顧一下壓電效應的概念：正壓電效應指材料受到機械力的作用時，其電極化會發生改變；而逆壓電效應指對材料施加外部電場后，材料會發生變形。

壓電效應源自晶體結構

在 32 種晶體中有 20 種為非中心對稱的晶體結構，而壓電效應往往與此有所關聯。石英等天然材料具有壓電效應，原因就在于其自身的晶體結構。而鋯鈦酸鉛（lead zirconate titanate，簡稱 PZT）等人工材料需經過極化過程才能表現出壓電特性。讓我們來一起探究微觀層面上究竟發生了什么，從而引起了壓電效應。

鈣鈦礦晶胞中偏離中心的鈦離子。

對于鈣鈦礦（perovskite，分子式為 CaTiO3）一類的典型的非中心對稱晶體結構來說，其晶體中每個晶胞的凈電荷均為零。然而，由于晶胞中的鈦離子略微偏離中心，因此產生了電極性，從而使晶胞轉化為有效的電偶極子。當機械應力作用在晶體上時，鈦離子的位置進一步發生變化，進而改變晶體的極化強度，產生正壓電效應；相反，當對晶體施加電場時，鈦離子的位置會發生相對移動，從而導致了晶胞變形，使其變得更接近（或偏離）正方體，這便是逆壓電效應的成因。

為何要對壓電材料進行極化？

在晶胞構成的宏觀晶體結構中，固有偶極子的取向原本是毫無規則的。當機械應力作用在材料上時，為使儲存在偶極子中的總機電能量降至最小，每個偶極子都會改變其初始取向，朝著使能量最小化的方向旋轉。如果所有偶極子的初始取向都雜亂無章（也就是凈極化為零）的話，旋轉行為可能不會顯著改變材料的宏觀凈極化，因此表現出的壓電效應可以忽略。所以，在材料中創造一個使多數偶極子大致朝向同一方向的初始狀態就尤為重要了。這樣的初始狀態可以通過對材料進行極化處理實現。偶極子共同朝向的方向便稱為極化方向。

箭頭表示極化前（左圖）、極化中（中圖）、極化后（右圖）電偶極子的對齊方向。

在極化過程中，施加于材料的強電場使全部偶極子的取向與電場方向保持一致。當撤去電場后，由于晶格的微觀缺陷造成的釘扎效應的影響，大部分偶極子不會回到初始取向。這樣，我們便得到了由大量取向大致相同的微觀偶極子構成的材料。值得注意的是，如果向材料施加與極化方向相反的強電場，或者使材料暴露在高于其居里溫度的環境中，材料將發生去極化現象。

研究各向異性材料的屬性

現在我們已經了解壓電效應的產生原因是晶體結構自身的各向異性以及極化作用。這也意味著，壓電材料的剛度（或柔度）矩陣、耦合矩陣和介電常數矩陣等屬性是在 123 軸表示的特定晶體坐標系中定義的。

極化方向通常被當做 3rd 軸，然而石英卻是一個例外，其極性往往被定義為沿 1st 軸。因此，我們需要用這三個主方向來解釋材料屬性。例如，耦合系數 d31 表示沿 3rd 主方向施加電場時，材料沿 1st 主方向發生的應變值。這也說明，只有當晶體的主方向與仿真中描述材料位置的坐標系一致時，我們才能在無需修改材料屬性的情況下直接使用。

在 COMSOL Multiphysics 中，我們采用由（大寫的）XYZ 軸表示的“材料坐標系”定義材料的位置。因此模擬壓電材料時，首要的關鍵步驟是考慮其空間取向和極化方向，以確保材料屬性進行正確的闡釋。如果晶體的主軸無法與“材料坐標系”的軸對齊，則需要創建一個適當的用戶定義坐標系，以獲取映射函數來對材料屬性進行適當變換（和解釋）。現在讓我們來看看如何在 COMSOL Multiphysics 中實現這一想法。

極化方向沿 z 軸的壓電晶體圖（左圖），其中主晶體取向的 123 軸與材料坐標系的 XYZ 軸一致。極化方向沿 x 軸的壓電晶體（右圖）的表示方法與左圖不同，其中 1st 主方向與材料坐標系的 Z 軸一致。

使用旋轉坐標系

COMSOL Multiphysics 中的“旋轉坐標系”讓您可以使用 Euler 角的 Z-X-Z 約定來指定方向。如果壓電材料的晶體取向或極化方向可以被表示為繞著默認直角坐標系的一次或多次旋轉，那么這項功能就可以提供非常大的幫助。

Euler 角 α、β 和 γ 的圖像，其中 xyz 表示原始坐標系，XYZ 表示旋轉坐標系。

舉例來說，蘑菇形壓電換能器教學模型展示了如何通過建立旋轉坐標系對沿 Z 軸負方向極化的情形進行建模。這一過程是通過將 Euler 角 β 設為 180° 而實現的。另一個教程展示了如何模擬厚度剪切式石英振子，并闡述了如何在 COMSOL 軟件中利用 -54.75° 的歐拉角 β 來表示 AT-切型石英，其中石英盤的厚度沿 Z 軸方向表示。

圓盤表示 AT-切型石英，其中藍箭頭表示 1st 主方向。石英盤厚度沿軟件中的 Z 軸方向表示。默認坐標顯示在左下角。用于建立旋轉坐標系的 Euler 角顯示在圖像右側。

在上述示例中，如果石英盤的厚度方向取向是沿 COMSOL Multiphysics 中的 Y 軸，那么同樣的 AT-切就需要用 35.25° Euler 角 β 來進行表示。值得注意的是，AT-切這一術語沒有提供任何關于三維石英晶體的空間方位的明確信息。

相反 AT-切描述的是與石英盤厚度方向一致的晶體取向。如果圓盤在 COMSOL 軟件中的全局坐標系中旋轉，那么必須采用一組不同的 Euler 角，這是因為 COMSOL Multiphysics 是使用旋轉坐標系來定義對應全局坐標系的晶體取向的。

另外，就石英的示例而言，一定要清楚材料的極化方向是左旋還是右旋，同時還需明確要選擇兩套常用標準中的哪一套來描述材料屬性（人們通常采用較舊的 IRE 1949 標來準描述石英材料屬性和晶體切片，而 IEEE 1978 標準常被用于描述大部分壓電材料）。

圖內圓盤表示 AT-切型石英，其中藍箭頭表示 1st 主方向。石英盤的厚度沿 COMSOL 軟件中的 Y 軸方向表示。默認坐標顯示在左下角。用于建立旋轉坐標系的 Euler 角顯示在右側。

備注：1949 IRE 標準和 1978 IEEE 標準可分別被用來描述左旋和右旋極化方向的材料屬性。部分材料屬性（例如 c14，d11 等）的符號（正或負）變化取決于使用哪種坐標系來定義材料屬性。更多關于該主題的詳細信息請參考“案例下載”中最新版本的厚度剪切式石英振子示例的文檔。

COMSOL Multiphysics 中提供的壓電材料。石英的材料屬性有 1949 IRE 標準和 1978 IEEE 標準格式，它們分別對應左旋和右旋極化方向兩種情況。

使用基矢坐標系

另一種實現方式是指定一組矢量，用于將晶體坐標系和材料坐標系進行關聯。在 COMSOL 軟件中，這一選項被稱為“基矢坐標系”，它可以幫助您建立正交或甚至是非正交坐標系。舉例來說，壓電剪切驅動梁教學模型介紹了如何通過指定適當的基矢來對表示材料繞 Y 軸旋轉 90o 的極化方向進行模擬。

這一特征還具有更高級的用法，利用它可以創建徑向極化的（在柱坐標中）壓電圓盤或者徑向極化的（在球坐標中）中空壓電殼。

圓盤表示 PZT-5H 徑向極化方向，其中藍色箭頭表示 3rd 主方向（極化方向）。默認坐標系顯示在左下角，用來建立柱坐標系的基矢顯示在右側。

COMSOL 仿真軟件還提供了其他用于建立用戶定義坐標系的選項。例如，可創建一個曲線坐標系以定義在空間中自由彎曲的各向異性材料。

本文來自：COMSOL博客