Vol.01 H方程

計算交流損耗的方法有很多，使用最多的是磁矢量 － 電標量方程( A － V 方程) 、電矢量 －磁標量方程( T － Ω 方程) 和基于磁場分量的 H方程，H 方程相比于其他兩種計算方法，具有變量少、迭代速度快、收斂性高的優點，所以這次將用 H 方程法在二維中進行計算分析。

在 COMSOL Multiphysics 有限元仿真軟件中建立一根超導帶材的二維計算模型，因變量有兩個為 H = [ H_x，H_y ]，對傳輸電流進行只在沿 z 軸方向上流動的假設，因此，電流密度和電場強度只有z 方向的分量，即 Jz 和 Ez。 

根據法拉第電磁感應定律和本構方程有:

可以寫為:

根據全電流定律有:

可以寫為:

根據歐姆定律有:

綜上，可以推出:

Vol.02 參數設置

仿真參數設置都是以上海超導生產的第二代高溫超導帶材為依據，在 COMSOL Multiphysics 有限元仿真軟件中建立一根超導帶材的仿真模型。

上海超導帶材的參數見表 1。由于生產廠家考慮安全因素給定的臨界電流為多次實驗測得的臨界電流最小值，并不能真實地反映超導帶材臨界電流，首先對超導帶材進行臨界電流測試，實驗得到超導帶材的臨界電流為 598 A，擬合的 n值為 30，仿真模型中的參數設置采用實驗所得數據。

表 1 上海超導帶材測試樣品參數

網格的剖分精度和求解時間往往是相互制約的，在對網格進行剖分時，既要保證求解結果的準確性，又要考慮計算時間不宜過長，因此需要對網格剖分進行設置。對于計算求解的超導帶材區域進行細致的網格剖分，以保證計算結果盡可能精確，而對于設置空氣域，為了縮短仿真的計算時間，對空氣域進行常規的網格劃分，這樣可以在保證計算精度的同時滿足計算時間的要求。

 一根超導帶材的二維網格剖分如圖 1 所示，超導帶材模型長 10 mm，寬 0． 1 mm，對超導帶材設置長度方向分布單元數為 100，寬度方向分布單元數為 10 的映射網格，對空氣域采用常規的自由三角形網格剖分，這樣在保證原有網格剖分精度基礎上，細致剖分超導帶材區域網格，保證計算準確性，縮短仿真時間。

圖 1 一根超導帶材的網格剖分圖

1. 一般形式偏微分方程參數設置

在 Comsol 二維仿真模型中 PDE 模塊的一般形式偏微分方程形式為:

這里，u 是非獨立變量的矢量形式，e_a 是質量系數矩陣，d_a 是阻尼系數，f 是源項，Γ 是通量向量。需要指出的是 Γ、e_a、d_a 和 f 是空間坐標 x、y和 z、求解矢量 u、u 對空間坐標 x、y 和 z 的導數以及 u 對時間 t 的導數。得到：

由于本模型為一階方程，因此質量系數矩陣ea 取 0，得到:

綜上，PDE 模塊的控制方程可以寫為

2. 逐點約束條件設置

超導帶材在通入直流電流時不會產生交流損耗，此次將分析超導帶材通入交流傳輸電流時的交流損耗變化規律。定義正弦交流傳輸電流，如下式:

其中，I_m 為從 0.1－0.9I_c 以 0.1I_c 為間隔變化的交流傳輸電流的幅值，f 為交流傳輸電流的頻率，t 為一個周期內的任意時間。

對超導帶材的橫截面進行電流密度的面積積分，施加逐點約束條件:

其中，J 為超導帶材的電流密度，S 為超導帶材的橫截面積。

首先推導了求解交流損耗 H 方程法的數值計算公式，然后利用 COMSOL Multiphysics 有限元仿真軟件 PDE 模塊建立單根超導帶材仿真模型，并介紹模型參數、網格剖分和物理場設置等流程和細節，系統分析不同幅值交流傳輸 流下的磁場分布和交流損耗。仿真結果顯示，磁場強度較大的位置在超導帶材的兩端，并向中間區域逐漸減小。隨著通入交流傳輸電流的幅值增加，超導帶材內部及周圍空氣的磁場強度、磁場穿透深度和交流損耗也有了明顯的增加。