本篇文章將詳細介紹非牛頓流體函數的具體使用方法。

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常見的非牛頓流體有：冪律、CarreauYasuda 模型、交叉模型、Herschel-Bulkley 模型以及粘度曲線等 5 種模型。

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表觀粘度η

非牛頓流體的粘度μ隨剪切速率γ′和剪切應力τ而變化，所以用流動曲線上某一點的τ與γ′的比值來表示在某一值時的粘度，這種粘度稱為表觀粘度，用η表示：

τ=ηγ′ 

η=τ/γ′

下面將介紹各模型的參數的含義：

① 冪律（Ostwald-De Wale冪律）：

 

冪律模型適用于廣泛剪切變形速率下的假塑性流體或脹塑性流體。

由于其在公式上的簡單性，在工程上有較大的實用價值。但是由于它是一個純粹的經驗方程，所以物理意義不夠明確。

另外，對于切變率很大或很小的情形，冪指數定律都不適用。

一致性指數：k，也稱稠度系數。k值是粘度的度量，但不等于粘度值，而粘度越高，K值也越高；

冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，是與溫度有關的參數，n偏離1的程度越大，表明材料非牛頓性越強。；

當n>1時，冪律方程反映剪切變稠的脹塑性流體（如淀粉、蔗糖溶液、涂料等）；

當n<1時，冪律方程反映剪切變稀的假塑性流體（如大多數聚合物，番茄醬等）；

當n=1時，冪律方程反映牛頓流體k=η0；

最小粘度：流體在冪律模型下適用的最小粘度，n>1時必須要輸入；

最大粘度：流體在冪律模型下適用的最小粘度，n<1時必須要輸入。

多數高分子流體是假塑性流體，可以用冪律方程描述，其流動行為指數n=0.15~0.6。

② Carreau Yasuda模型：

Carreau Yasuda 方程既反映 高剪切 速率下的 假塑性 ，又反映 低剪切 速率下的 牛頓性 。能夠描寫比冪律方程范圍更廣的流動性質。

冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，一般n<1；

時間常數：λ，也稱松弛時間，指材料受力變形，外力解除后恢復正常狀態所需的時間；

零剪切粘度：η_0，也稱第一牛頓粘度。剪切速率很小時，聚合物粘度較大，且通常為一個定值，所以常作為聚合物粘度的標準；

無限剪切粘度：η_∞，也稱第二牛頓粘度。剪切速率非常大時，聚合物大分子鏈容易發生降解，有時可取為0；

Yasuda指數：a，控制從第一牛頓流動區到剪切變稀指數區域的粘度轉變速度的常數（a＜1時，轉變區域擴大），當a取2時就是 Carreau模型。

例如：下圖是3%乳清蛋白分離物和0.4%黃原膠假塑性溶液的粘度曲線。

如果應用Carreau-Yasuda流變方程進行擬合，擬合參數如下：

Carreau Yasuda模型適用于高分子聚合物的剪切變稀行為，而且是最常用于表征人體 血液粘稠度 的非牛頓模型之一。

不同模型血液粘度值測量數據的對比

（圖片摘自 G. Mach 等人員在 COMSOL 用戶年會 2016 慕尼黑站發表的演示作品）

③ 交叉模型：

交叉（Cross）模型可全面描述“S”形流動曲線反應的轉折，石油化工領域應用較多，通常用來描述瀝青等熱塑性材料。

冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，n可取大于1或小于1的數值；

時間常數：λ，也稱松弛時間，指材料受力變形，外力解除后恢復正常狀態所需的時間；

零剪切粘度：η_0，也稱第一牛頓粘度。剪切速率很小時，聚合物粘度較大，且通常為一個定值，所以常作為聚合物粘度的標準；

交叉（Cross）模型還有一些其他表達形式，例如：Cross-Exp模型、Cross-WLF模型。

Cross-Exp模型：

Cross-WLF模型 ：

④ Herschel-Bulkley模型：

Herschel-Bulkley模型可以描述帶有屈服應力的剪切變稀或剪切增稠流體。

模型中的流動行為指數n=1的情況下，Herschel-Bulkey模型將退化為Bingham模型，可用來描述賓漢流體。

一致性指數：k，也稱稠度系數。k值是粘度的度量，但不等于粘度值，而粘度越高，K值也越高；

冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，是與溫度有關的參數，n偏離1的程度越大，表明材料非牛頓性越強；

當n>1時，為廣義賓漢流體剪切變稠；

當n<1時，為廣義賓漢流體剪切變稀；

當n=1時，為理想賓漢流體；

屈服應力：τ_0，只有當外力超過該應力才發生流動；

臨界剪切速率：γ′_0，屈服剪切速率，開始流動時的剪切速率。

線性坐標下的典型的Bingham與Herschel-Bulkley模型擬合

⑤ 粘度曲線：輸入粘度與剪切速率的離散數據點。

非牛頓流體模型很多，如果遇到軟件沒有提供的模型，可以在Excel表格里編輯好后，通過粘度曲線進行定義。

一些常見的流動模型

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本來想這次給大家分享下案例，奈何篇幅太長，下次一定。

口說無憑，要不先預熱一下吧

水滴自由下落

非牛頓流體自由下落

非牛頓流體注液過程

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參考資料：

[1] J. Sepulveda, A. Montillet, D. Della Valle, C. Loisel, A. Riaublanc, Deformation of gas-liquid interfaces in a non-Newtonian fluid at high throughputs inside a microfluidic device and effect of an expansion on bubble breakup mechanisms, Chemical Engineering Science (2019).

[2]  White Paper – Understanding Yield Stress Measurements.

[3] Moldex3D模流分析知識點大百科-材料性質與模型（1/4） - 知乎 (zhihu.com)

[4] A13C2A29F91287E8DEC1A117259_269C7DBF_C13EB.pdf (hzau.edu.cn)