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今天木木為大家分享的是一個有限元領域中有趣的小案例——四節點平面單元，是不是乍一看好像沒什么特別之處？接著往下看~

求解域是一個邊長為1的二維區域，底部固定U1,U2,UR3自由度，上部受拉，以位移控制方式加載，加載位移設置為1mm。如圖1所示，圍繞著該模型，木木基于Abaqus使用CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST單元（CPS9由自定義單元完成），共5種演繹方式，來闡釋有限元對于單元的理解，然后編寫相應的UEL子程序，來掌握以上的單元概念。內容較長，請慢慢食用~

單元類型

CPS4單元，即四節點平面完全積分單元，如圖2左所示。一個單元四個積分點稱為完全積分單元，單元應力由積分點應力值通過形函數內插獲得，單元剛度由4個積分點循環得到。CPS4R單元，即四節點平面減縮積分單元，如圖2右所示。母坐標系中每個坐標方向少一個積分點，一個單元中含1個積分點，單元剛度不需要對積分點進行循環，直接帶入中心的高斯坐標點與相應的權重值。

CPS8單元，稱為完全積分二次單元，如圖3左所示。相應的形函數為8個，對單元內   個積分點進行循環得到單元剛度矩陣。CPS9單元，即9節點平面完全積分單元，如圖3右所示。在8節點單元的基礎上，中心加一個節點，形函數也在此基礎上增加一個：   ，單元剛度矩陣同樣也是對9個積分點進行循環得到。

CST單元。為豐富單元類型，木木在矩形單元的基礎上再增加一種類型單元——CST單元，如圖4所示。將求解域劃分為兩個常應變三角形單元，剛度矩陣的形成時不需要對積分點進行循環，直接套用現成的公式，上幾期我們也探討過CST單元的概念。

UEL自定義單元。為了深入理解這個概念，木木基于單元二次開發技術編制了CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST單元，對應于上圖中的單元類型，相應的INP文件和for文件可在后臺回復單元分析，即可自動獲得。

位移、應力云圖分析

位移云圖分析

不同的單元在受相同荷載下，以 U2 云圖為例，位移值相同。由于 Abaqus 沒有內置的CPS9（二維 9 節點單元），如圖5(e)，故這里使用User Element用于對比。為了豐富單元類型，將求解區域劃分為兩個CST單元（常應變三角形單元），如圖5(d)所示。

應力云圖分析

應力分析時，不同的單元類型應力云圖不一樣，形函數階次、積分點分布形式影響單元應力值，而不影響位移值。從側面反映了位移是有限元結果的求解第一變量，較應力值準確。有趣的現象：從圖6(b)和圖6(c)所示，一個 CPS4R 單元和兩個 CST 單元的應力值相同。

UEL位移分析

基于Fortran語言，編制CPS4、CPS4R、CPS8、CPS9、CST單元的UEL Subroutine，位移值如Abaqus 分析結果一樣，位移值相同。

以上就是為大家分享的廣闊有限元世界中一個有趣的小案例，覺得本期內容對您有幫助的話，就點點小贊和在看吧，我們下期再見~