自1999年美國西北大學以Belytschko教授^[1]為代表的計算力學課題組提出的擴展有限元概念至今已有23年，該理論基于傳統有限元的單位分解思想，在不連續位置通過富集自由度的形式表達不連續場，既保持了計算過程中的收斂性，又可以很好的解決傳統有限元在面對不連續問題時的困境。本文基于大型非線性有限元商用軟件Abaqus模擬混凝土I型開裂行為，主要內容包括：混凝土開裂模型介紹、數值模擬細節、后處理分析。

模型介紹

    本文講解的模型數據選自胡少偉課題組^[2]，模型尺寸圖所示，彈性模量：30 GPa，泊松比：0.167，抗拉強度：1.65 Mpa，斷裂能：102.8 N/m，預置裂紋長度為80 mm。

圖 1 混凝土開裂模型尺寸

模擬細節

    Abaqus以非線性計算為自身優勢，在眾多有限元軟件中一騎絕塵，本文選用Abaqus作為模擬工具。

整體介紹

    為減少計算成本，整體采用平面應力模型，讀者也可根據自己需求建立三維實體模型。支座與壓頭使用離散剛體，即剛度無限大，不參與計算過程，不要忽略了剛體的參考點設置。

圖1 2D三點彎曲梁模型圖

材料屬性

    應用Maxps Damage斷裂準則，損傷演化采用以能量線性Linear軟化本構，斷裂能參數輸入至Fracture Energy，粘性系數Damage Stabilization Cohesive-Viscosity coefficient選用1.0 e-4~1.0 e-5，該選項的作用是幫助收斂，取值范圍是一個經驗性的取值，具體的范圍取值可參照Ahmad^[3]的建議 。

圖 2 材料屬性設置

分析步設置

    在斷裂分析中，結構大變形開關應保持開啟(Nlgeom：on)，最大增量步數可以適當調整，初始分析步應相對減小，使得結構在啟裂階段更容易收斂，最小增量步也應適當減小，在這里我設置的1.0E-12，大家可以試一試別的數值，最大增量步無實際含義，保持默認值1不變即可。

    場變量設置中，應勾選裂紋面水平集函數(PHILSM)、裂尖水平集函數(PSILSM)、XFEM狀態(STATUSXFEM)。

    歷程變量設置(非必須設置，用于后處理)，建立三個Set集合用于P-CMOD曲線繪制，壓頭剛體參考點設置為Set-pun，用于輸出支反力RF；裂紋左網格節點設置為Set-L，用于輸出左向位移；裂紋右網格節點設置為Set-R，用于輸出右向位移，即CMOD=右向位移-左向位移(個人理解)。

圖3 分析步設置

圖4場變量設置

圖 5 建立 Set 集合

相互作用設置

    創建初始裂紋(Special-Crack-XFEM)，裂紋區域可以指定整個梁的范圍，也可以自定義裂紋可能要開裂的范圍，本次案例指定梁的中部區域。

圖5 XFEM裂紋設置

    一定要在Interaction中創建XFEM crack growth類型的相互作用，選中預設的XFEM Crack，支座與梁體、壓頭與梁體的接觸均采用硬磨擦的形式，摩擦系數采用0.1，該值也是經驗取值。

圖 6 相互作用設置

邊界條件設置

    本案例中將底部的所有自由度全部鎖定，以位移方式進行加載，加載幅值為1.5 mm(經驗取值)。

網格設置

    網格類型采用平面應力網格(CPS4)，一定不要選用減縮積分，否則會頻繁報錯！對于裂紋擴展區域進行局部網格加密，以提高精度。模型規模：2500個CPS4單元，39個R2D2剛體單元，2685個單元節點。

提交作業

    使用8個并行核心數計算，個人筆記本配置：8G內存-CPU 8核。模型耗時1分鐘，很大程度上改善了傳統有限元在解決不連續問題時出現網格重劃分，計算成本高昂的缺點。

圖 7 提交作業

后處理分析

    Create XY Data-ODB history output保存Set-pun的反力RF曲線，同樣地保存Set-L的左位移L曲線，Set-R的右位移R曲線，如圖8所示。Operate on XY data，操作已保存的曲線combine(“R”-“L”,-“pun”)，保存為P-CMOD曲線，如圖9和圖10所示。將曲線數據導出至Origin，與實驗曲線進行對比，如圖11所示，吻合程度較高。

圖 8 繪制歷程變量曲線

圖 9 繪制P-CMOD曲線

圖 10 模型 U2 云圖（左）和 P-CMOD 曲線（右）

圖 11 P-CMOD 曲線模擬值與實驗值對比

結論

    本次研究基于Abaqus的擴展有限元功能，模擬了混凝土三點彎曲梁在受力作用下發生I型斷裂的過程，并與實驗P-CMOD曲線進行對比，具有很高的吻合度，可以較為真實的模擬混凝土I型斷裂行為，對于實際工程的混凝土斷裂分析提供了一定程度上的參考價值。

 

參考文獻

[1] Belytschko T, Black T. Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1999.     

[2] 胡少偉, 魯文妍. 基于XFEM的混凝土三點彎曲梁開裂數值模擬研究[J]. 華北水利水電大學學報(自然科學版), 2014, 35(004): 48-51.    

[3] Ahmad H, Sugiman S, Jaini Z M, et al. Numerical Modelling of Foamed Concrete Beam under Flexural Using Traction-Separation Relationship[J]. Associa??o Brasileira de Ciências Mecanicas, 2021, (5).