我們之前的討論只考慮了由外力引起的應(yīng)力和變形，實(shí)際結(jié)構(gòu)中，的應(yīng)力和變形還會收到溫度變化的影響。溫度引起的應(yīng)力變化我們習(xí)慣上稱為溫度應(yīng)力。

從物理學(xué)角度分析，溫度變化將會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的變形，結(jié)構(gòu)的變形同樣也會產(chǎn)生熱量，從而引起溫度變化，兩者相互交替，若全面考慮溫度影響，勢必將十分復(fù)雜。“幸運(yùn)”的是，工程中大多數(shù)問題，變形對溫度的影響很小，可以忽略不計(jì)。如此一來，就可以把溫度場看做成一個(gè)獨(dú)立的問題來處理，將溫度應(yīng)力問題看成由于溫度變化導(dǎo)致的初應(yīng)變問題。

本次推文將從理論公式入手，帶著大家理解考慮溫度應(yīng)力后的有限元方程將會有哪些變化？最后給出相應(yīng)的 Matlab 代碼，加深理解，更多詳情可以前往公眾號：易木木響叮當(dāng)。

聲明：本文的理論基礎(chǔ)及代碼樣例源自《結(jié)構(gòu)分析的有限元方法與MATLAB程序設(shè)計(jì)》，對于學(xué)習(xí)有限元編程有著很大的幫助，課后均有源碼對照練習(xí)，可在后臺回復(fù)：結(jié)構(gòu)有限元，即可自動獲取書中全部源代碼。

理論基礎(chǔ)

加入初應(yīng)變影響后的本構(gòu)方程：

 初應(yīng)變     可表示為：

 其中，    是材料的熱膨脹系數(shù)向量，    是溫度的變化量。對于各向同性材料，有

將溫度初應(yīng)變看成另一種荷載，利用最小勢能原理，將其寫成等效節(jié)點(diǎn)力，

溫度應(yīng)力問題和熱荷載的應(yīng)力分析問題相比，除增加一項(xiàng)以初應(yīng)變形式出現(xiàn)的溫度荷載以外，則完全相同。通常的處理過程是：由實(shí)驗(yàn)或計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)的溫度場，然后把溫度作為熱荷載進(jìn)行結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析。

對于彈性模量為     ，截面積為     ，梁長為     的梁單元，上式可以簡化為

一般假設(shè)溫度場沿梁長線性分布，上式可演化為

其中，   、   分別是梁單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)處的溫度變化量。

Matlab 程序

function etf = EquivalentThermalForce( ie )
%  計(jì)算單元的溫度荷載的等效節(jié)點(diǎn)力
%  輸入?yún)?shù)
%      ie  ----- 節(jié)點(diǎn)號
%  返回值
%      etf ----- 整體坐標(biāo)系下的等效節(jié)點(diǎn)力 
    global gElement gNode gMaterial
    
    dT1 = gNode( gElement( ie, 1 ), 3 ) ;
    dT2 = gNode( gElement( ie, 2 ), 3 ) ;
    E = gMaterial( gElement( ie, 3 ), 1 ) ;
    A = gMaterial( gElement( ie, 3 ), 3 ) ;
    alpha = gMaterial( gElement( ie, 3 ), 5 ) ;
    Nx = E*A*alpha ;
    
    etf = [ -Nx; 0; 0; Nx; 0; 0 ] ;
    T = TransformMatrix( ie ) ;
    etf = T * etf ;
    etf = (dT1+dT2)/2 * etf ;
return

這本書的代碼風(fēng)格采用了全局變量形式，節(jié)點(diǎn)溫度變化量儲存在節(jié)點(diǎn)信息gNode第三列，在處理節(jié)點(diǎn)荷載時(shí)：

for ie=1:1:element_number
    egf = EquivalentGravityForce( ie ) ;
    etf = EquivalentThermalForce( ie ) ;
    i = gElement( ie, 1 ) ;
    j = gElement( ie, 2 ) ;
    f( (i-1)*3+1 : (i-1)*3+3 ) = f( (i-1)*3+1 : (i-1)*3+3 ) + egf( 1:3 ) + etf( 1:3 );
    f( (j-1)*3+1 : (j-1)*3+3 ) = f( (j-1)*3+1 : (j-1)*3+3 ) + egf( 4:6 ) + etf( 4:6 );
end

egf暫且不用管，是考慮自重影響，從以上代碼片可以看出有限元方程是怎樣處理溫度應(yīng)力（將溫度初應(yīng)變看成另一種形式的等效節(jié)點(diǎn)荷載）。

以上就是在有限元分析時(shí)，溫度應(yīng)力的處理方式，希望對初學(xué)有限元編程的你，有所幫助。