文章來源公眾號&知乎號：BB學(xué)長

導(dǎo)讀：介紹渦粘模型-下。

通過輸運(yùn)方程求解湍流渦旋頻率 。由于只有兩個獨(dú)立變量， 與k和 相關(guān)：

有兩種方式可以推導(dǎo)得到 方程：

• 與 方程一樣，通過與k方程相似類比；
• 通過兩者之間的關(guān)系，直接將k- 方程準(zhǔn)確轉(zhuǎn)換了k- 方程。

k方程和 方程的形式為：

• 其中 為湍流生成項； , 為常數(shù)項。 -k- 方程與k- 方程推導(dǎo)其實(shí)是相同的，需要注意的是只針對特定實(shí)驗數(shù)據(jù)校準(zhǔn)模型，因此不能保證適用于所有的應(yīng)用場合。

對于Vilcox形式的k- 方程存在一個問題-方程求解的結(jié)果是基于剪切層外的值。

下圖顯示方程對混合層的預(yù)測：

• 速度U和無量綱化尺度 對 的取值具有強(qiáng)依賴性；
• 湍動能的變化非常劇烈。 當(dāng)然這些是屬于標(biāo)準(zhǔn)Wilcox模型的數(shù)學(xué)特征，這也是k- 模型相比于其的優(yōu)勢。

k- 模型的優(yōu)勢在于：

• 形式簡單，魯棒性好；
• 能夠準(zhǔn)確體現(xiàn)壁面行為
• 與k- 模型相比，k- 模型在處理近壁面流動行為時，不會引入非線性項；
• 兼容層流湍流過渡建模，更適合分離流中的逆向壓力梯度。不足在于：
• 在原始Wilcox模型中，對自由流的邊界設(shè)置非常敏感。

（作為補(bǔ)充說明）

• 當(dāng)湍流非常接近壁面時，湍流會被壁面削弱，在該區(qū)域
• 這個區(qū)域被稱為粘性底層，近壁面的湍流模型需要有所調(diào)整。
• 在推導(dǎo)湍流模型時，沒有考慮分子粘度，而是將其認(rèn)為完全湍流，但是近壁面情況并非如此，因此需要進(jìn)行修正。
• 這些修正被稱為低雷諾數(shù)模型，但這里的雷諾數(shù)指的是湍流雷諾數(shù) ，并非流動雷諾數(shù)。也稱之為粘度子層模型
• 在k- 模型中增加衰減函數(shù)（稱為低雷諾數(shù)項）；
• 相比之下，k- 模型處理方式更加簡單，直接通過 的邊界條件。

觀察上述方程，均含有低雷諾數(shù)項，用于近壁湍流添加阻尼，這里有三種不同的模型：

問題在于這三種模型對平板流是有效的，但對于更復(fù)雜的流動，求解將變得不穩(wěn)定，導(dǎo)致很難求解，對時間步長，網(wǎng)格質(zhì)量要求極高。正因如此低雷諾數(shù)模型一般沒有在工業(yè)流動仿真中使用。

在商業(yè)軟件中使用的替代方案就是雙層模型，它針對的是低雷諾數(shù)模型求解困難的問題。雙層模型的含義是：在非常接近壁面的地方，就是藍(lán)色區(qū)域，根據(jù)代數(shù)項做了一個關(guān)于 的假設(shè)，代數(shù)項與距離壁面的距離y有關(guān)：

通過這種方式處理，就可以得到近壁 方程：

表示混合函數(shù)，在近壁地方將它們加入邊界層中間，遠(yuǎn)離壁面的地方，又去除這些項，常見形式如下：

對湍流粘度，，采用同樣的方式處理：

這種方式在FLuent中就是增強(qiáng)壁面處理（Enhanced Wall Treatment，EWT）。

但是這種方式有些復(fù)雜，如果自由流中的k值過低，就有可能造成混淆，比如在貼近壁面的地方，距離壁面的距離很小， 就有可能趨于0，模型最終就會切回近壁公式。

因此雙層模型對于近壁處理是一個相當(dāng)有問題的方案，其替代方案就是 方程。

• 無需類似于 k- 模型的復(fù)雜低雷諾數(shù)項；
• 無需雙層模型。

對方程添加了交叉擴(kuò)散項，就可以積分到壁面。

方程的邊界條件能夠?qū)崿F(xiàn)湍流衰減：

鑒于 方程的兩個優(yōu)勢：可靠的壁面處理和逆向梯度流中更優(yōu)異的行為，可以圍繞 方程組合湍流建模方案。

• Boussinesq假設(shè)是工業(yè)湍流建模的關(guān)鍵元素之一；
• 一旦知道兩個獨(dú)立的尺度，就可以計算湍流粘度，因此我們自然得到兩個方程模型；
• 文章展示了如何從Navier-Stokes方程出發(fā)，先推導(dǎo)k方程，再推導(dǎo)出k- 模型和k- 模型，然后為每一項建模；
• k- 模型可能會是未來最有前途的模型