破解一個2000年之久的古老謎團

破解一個2000年之久的光學謎團并非易事。然而，蒙特雷科技大學（譯注：學校簡稱ITESM或TEC，是拉丁美洲規模最大的私立大學之一，也是墨西哥最著名的私立大學）博士生Rafael G. González-Acu?a卻瞄準了這樣一個問題：解決鏡片中的球面像差問題。考慮到不同方向的折射，光線如何聚焦在一個點上？這個問題在兩千年前希臘數學家戴克里克斯（Diocles）的作品“燃燒的鏡子”（On Burning Mirrors）中就已經產生。而克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在1690年曾坦言，即使是艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和戈特弗里德·萊布尼茲 （Gottfried Leibniz）也無法理清頭緒。

但今天，González-Acu?a和他的同事決定使用Wolfram語言及其計算工具來面對這個古老的問題。結果呢？一個突破性的文章最近橫空出世，通過精度為99.999999999％的模擬光束，解釋了鏡頭圖像的中心為什么（如何）比在邊緣處更清晰。

很巧的是，González-Acu?a參加了Wolfram暑期學校，我們有幸采訪到他并詳細了解他的工作。

Q: 您是如何想到用Wolfram語言解決光學問題的？

A: 我對光學研究的興趣在我攻讀物理學士學位時就開始了，我對成像問題很感興趣。

當我正在為手動解決代數問題而困擾時，我的同事Héctor A. Chaparro-Romo告訴我，Mathematica非常擅長代數操作和計算。

幸運的是，蒙特雷科技大學有Mathematica的站點許可證，所以我很快就開始使用并且喜歡上了Mathematica。它顯示結果的方式，運算內聯的方式，以及默認情況下進行代數計算的方式都很令我喜歡。

Q: 你試圖解決的問題是什么？

A: 我想要解決的問題是球面無像差鏡頭的設計。換句話說，從一個物點發出的所有光束穿過鏡頭會聚在一個像點中。這個古老的問題在兩千年內沒有解析解，主要是因為其冗長的代數表達式，我的意思是，一個一般方程本身就超過11頁！

這個問題有許多數值解，但數值解和解析解之間的差異是無法估量的– 解析解保留了問題的物理特性。我不僅找到了問題的通解，而且還發現解是唯一的，Mathematica是一個很好的工具。

我的研究結果相繼以“General Formula for Bi-aspheric Singlet Lens Design Free of Spherical Aberration” （https://doi.org/10.1364/AO.57.009341） 和“General Formula to Design a Freeform Singlet Free of SphericalAberration and Astigmatism”（https://doi.org/10.1364/AO.58.001010）為題，發表在權威雜志《應用光學》中。

上圖為透鏡中球面像差問題的方程

Q: 你以前和現在都是如何開發解決方案的？

A: 我花了好幾個月時間研究這個問題。這是一種癡迷。我一直與我的共同作者Chaparro-Romo交流 - 我們是一個團隊，分享代碼、想法和可能的解決方案；為了解決自由形式鏡頭的問題，我們有過很多次非常棒的討論。

我讀過幾篇與牛頓有關的對該問題的評論。事實上，克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens）在他的著作《光之論》（Treatise on Light）中提到牛頓、萊布尼茲和笛卡爾都未能成功給出解決方案。

而實際上，惠更斯在他的《光之論》第六章得到了一個近似的解決方案：

Christiaan Huygens的1690年著作《光之論》摘錄，以及Rafael的Mathematica筆記本輸出（最右）

但是經過這么多年，我們現在已經得到了300多年前由惠更斯、笛卡爾、萊布尼茲和牛頓以及2000多年前的戴克里斯所尋求的方程式。查看我們的Wolfram筆記本關于構建無球差鏡頭的簡介，了解Rafael G. González-Acu?a和 Héctor A. Chaparro-Romo的解決方案:

https://develop.open.wolframcloud.com/objects/exploration/SphericalAberrationFreeLens.nb