本教程包含以下部分：

1：簡介

2：光通道

3：功率傳播或場傳播

4：激光活性離子

5：放大器和激光器的連續波操作

6：放大和產生短脈沖

7：超短脈沖

8：使用自制軟件還是商業產品？

以下是Paschotta 博士關于光纖放大器和激光器建模教程的第 5 部分。

第 5 部分：放大器和激光器的連續波操作

在本節中，您將學習如何計算光纖放大器和激光器在穩定狀態下連續波操作期間出現的光功率。我們將始終只傳播光功率，而不是整個場（見第 3 節），以避免數值光束傳播的所有復雜性和相應的更困難的邊界條件。幸運的是，這種方法通常非常現實，因為光纖的引導特性導致沿光纖或多或少恒定的強度分布。

本節包含一些比較棘手的操作。但是請記住，只有當您自己開發模擬軟件時，您才需要處理這些問題。使用某些現有軟件時，您可能只是喜歡獲得解決方案。

讓我們首先回顧第 3 節中某個光通道的光功率的微分方程：

穩態解決方案的一般困難是需要找到一種用于光功率和激發密度的自洽解決方案。在具有多個反向傳播波的情況下，這是非常重要的。

局部增益gj(z)取決于激光活性離子的激發能級，而激發能級本身可能取決于與所有光通道相關的光強度。因此，我們需要為整個光纖的光功率和能級激發找到一個自洽的解決方案。

ASE 的方程必須再包含一項與自發發射相關的項——但當然只是發射功率的一小部分仍然在光纖纖芯中引導。對于單模光纖和四級增益系統，事實證明只有本地增益和光通道帶寬與增加的功率相關。基于有限的角度接受范圍的純幾何推理由光纖的數值孔徑定義，結果證明僅適用于高度多模光纖。您可以在關于 ASE 的博客文章中找到更多相關信息。

計算局部增益

在研究這些方程的解之前，讓我們討論如何根據給定的通道光功率計算局部增益圖片。在基于頂帽強度分布的最簡單類型的模型中，對應于光通道的強度可以計算為功率除以核心面積。對于任意強度分布，該過程有點復雜，即使我們假設強度分布的形狀是恒定的（例如，由于每個通道的單個光纖模式）：

圖 1： 將纖芯分成環。

? 假設強度僅存在徑向（但不是方位角）相關性，我們可以在數學上將光纖纖芯劃分為一組環（見圖 1），即具有一定徑向坐標范圍的區域，其中強度變化不大。（如果還存在方位角相關性，我們還必須將環劃分為角部分。在非對稱波導的情況下，矩形網格可能更合適。）

? 對于每個環，給定的光功率可以除以環的面積以獲得強度。

? 使用速率方程，我們現在可以根據強度計算每個環的所有相關能級的分數激發。

? 從分數激勵，我們獲得每個環內的增益系數。不同的躍遷可能對其有貢獻，只要它們在光通道波長處具有非零躍遷橫截面即可。每個貢獻包含摻雜密度、能級的分數激發和躍遷截面的乘積。

? 給定z位置的總增益是所有環貢獻的總和。某環內光強越高，面積越大，對總增益的貢獻越大。這意味著總增益是所有環中增益值的一種加權平均值。

求解放大器和激光器的傳播方程

現在我們考慮如何找到光功率和能級激發的自洽解。一般來說，這是相當困難的，但在更簡單的情況下，它可以很容易地完成。

在最簡單的情況下，所有的光都只在一個方向上傳播——例如，在一個共同傳播的光纖放大器中，泵浦光和信號光。在這里，可以進行如下操作：

? 在光纖的輸入端，所有的光功率和強度都是已知的。根據這些，可以計算局部增益值（或泵浦波的吸收），并從中計算出功率相對于z的導數。

? 有了這些數據，人們可以將功率傳播到光纖中一小段距離，以獲得該點的光功率。同樣，可以計算電平激勵、增益和功率導數。

? 一個人簡單地重復這個過程，直到一個人到達輸出端。

實際上，我們正在處理一個簡單的初始值問題。圖 2 顯示了一個示例案例的結果。這里，泵浦功率由于泵浦吸收而降低，而信號功率則上升。請注意，泵浦功率的衰減不是指數衰減，因為我們有相當大的飽和效應。這在光纖設備中很常見，這些設備通常在非常高的強度水平下運行。其后果之一是放大器所需的光纖長度可能比基于忽略飽和效應的單一估計所預期的要長得多。

圖 2： 摻鐿光纖放大器中的泵浦和信號功率，具有共同傳播的泵浦和信號。

對于具有反向傳播泵和信號的放大器，不能直接應用所解釋的方法，因為在每一端我們只知道一個功率（信號或泵）。但是，該算法有一個相對簡單的擴展：

? 從信號輸入端開始，對此時的剩余泵功率使用估計值。

? 將兩個字段傳播到另一端。泵浦功率將朝那個方向增長，因為它是反向傳播的。

? 將在信號輸出端得到的泵浦功率與實際泵浦輸入功率進行比較，并在此基礎上更正您對信號輸入端剩余泵浦功率的估計。

通過幾次迭代，您可以找到自洽的解決方案。所需的數值程序很簡單；本質上，一個是處理一維求根問題。

圖 3 顯示了示例案例的結果 - 與圖 2 相同，只是泵波現在從右向左傳播。順便說一句，只要 ASE 不相關，剩余泵浦功率（以及信號增益）必須與前一種情況相同。因此，在那種情況下，實際上可以避免迭代，只需從具有共同傳播波的情況下獲取剩余的泵浦功率。

盡管兩種情況下的輸出功率相同，但沿光纖的鐿激發分布卻大不相同。因此，ASE 輸出功率在正向和反向之間也可能有很大差異。

圖 3： 具有反向傳播泵浦和信號的摻鐿光纖放大器中的泵浦和信號功率。

不幸的是，進一步擴展該方法以包括放大自發發射(ASE) 并不容易。挑戰在于獲得一個多維求根問題，這要困難得多。高增益系統中的強指數依賴性并沒有完全讓它變得更容易……

然而，對于光纖激光諧振器，該方法所需的擴展并不困難。在這里，我們可以從泵輸入端開始，估計該點的正向信號功率值。然后我們將泵浦、前向和后向信號功率傳播到另一端。前向和后向信號功率的關系以及該端信號波的反射率告訴我們使用的估計值是太高還是太低。

圖 4 顯示了一個示例案例的結果。對于左端 148 mW 的信號功率，右端的信號功率與選擇的 10% 的輸出耦合器反射率一致。

圖 4： 摻鐿光纖激光器中的泵浦和信號功率。

由于光纖激光器通常沒有那么高的信號增益，ASE（或至少它對能級激發的影響）通常可以忽略不計。

其他算法

不幸的是，由于在多個反向傳播波的情況下難以找到多維根，解釋的相對簡單的數學技巧并不總是合適的。因此，已經開發了其他算法——特別是松弛技術。在這里，基本思想是從估計的能級激發分布開始，并基于這些傳播所有光功率。此后，根據獲得的光功率重新計算能級激發。重復這些步驟，有望找到解決方案。

由于每個波都可以在其實際傳播方向上進行數值傳播，因此不再需要使用估計的起始值。例如，在激光模型中，兩個方向的信號功率的起始值從一開始也是未知的，但始終可以使用上一次迭代產生的值。

盡管松弛技術的實現似乎相當簡單，但在廣泛的情況下實現算法的可靠和快速收斂是相當困難的。

然而，再次難以實現可靠地收斂到解決方案的算法。通常，人們會應用某種阻尼機制來實現收斂。然而，這會使收斂速度變得很慢。

手動調整算法的數值參數以使其在給定情況下收斂可能相當容易。然而，要開發一種在所有情況下都可靠且有效地收斂的算法要困難得多。請注意，在實踐中可能遇到的情況可能非常多樣化，涉及不同的設備配置、不同的光譜數據、不同的強度范圍等。激光器存在特殊的困難，例如，因為增益中的小誤差會導致信號的顯著漂移權力遠離解決方案。

對于RP Fiber Power，我們基于松弛方法的一般思想開發了一種相當復雜的算法。它進一步使用基于物理洞察力的各種數字技巧。（當使用一些通用的數值庫時，不能從這種專門的想法中獲益！）花費了相當大的努力和大量的時間來開發它，使其在廣泛的測試用例中都能很好地工作。該算法現在非常有效地工作，在相當短的計算時間內找到解決方案。此外，很久以前，客戶提出了一個沒有實現收斂的案例。

學生可能想嘗試自己實現一種算法，該算法至少可以處理更簡單的情況。但是，請注意，要獲得穩定高效的通用解決方案需要大量的努力。

計算激光波長

在關于光纖激光器的討論中，到目前為止，我們一直隱含地假設激光波長是已知的：相應光通道的給定參數。然而，情況并非總是如此。一些激光諧振器不包含確定發射波長的強波長選擇元件（例如，光纖布拉格光柵）。然后激光器可以選擇發射波長本身。如何在模型中解決這方面的問題？

什么決定了激光的發射波長？

讓我們首先考慮所涉及的物理。當激光被泵浦時，激光活性離子的激發上升，直到激光達到激光閾值。當凈往返增益在某個波長處變為 0 dB 時，就會出現這種情況。該波長將是最終的發射波長：任何其他波長的光，具有較低的凈往返增益（即，小于 0 dB）都沒有機會產生任何實質性的功率。請注意，產生的發射波長通常取決于光纖的長度和諧振器的損耗，因為在準三能級激光躍遷中，正如在有源光纖中通常遇到的那樣，增益譜的形狀取決于激發程度.

概念上簡單的方法并不總是最有效和最準確的。

在概念上簡單的方法是構建一個模型，該模型包含大量具有不同波長的光通道，其中可能會發生激光。然后計算機模型應該產生正確的結果——只在具有最高凈增益的光通道（前向和后向）上發射激光。然而，這在數值上并不有效，也可能不會產生完全正確的波長，因為我們總是需要使用一組有限的波長。

另一種更有效和準確的替代方法僅使用一對用于特定激光波長的光通道。對于該波長的每種設置，可以計算激光活性離子的平均激發程度——當然，在設置與所選波長相對應的末端反射率之后。然后可以在數值上改變該波長，直到平均激發達到其最小值。這種算法可以很容易地使用靈活的仿真軟件（如RP Fiber Power ）來實現。