什么是聲學？

聲學是研究聲音的物理學，研究內容包括聲信號的產生、傳輸和檢測等所有與之相關的多物理學科。這里提到的聲音不僅僅是人耳能夠聽的聲音，還包括次聲波和超聲波；即頻率低于和高于人類聽覺范圍的聲波傳播。不僅如此，聲音的定義還包括在空氣以外的介質中的傳播，可以是固體中的彈性波（振動），液體中的壓力波（如水聲學），也可以是多孔材料中的組合傳播（多孔彈性波）。

對于人類來說，對聲音的最佳理解是將其視為一種感覺，通過耳朵感知聲壓 p 在某個靜態值上下非常微小而快速的變化，這個靜態值為大氣壓（在海平面上約為 10 萬帕）。這就是聽力，人耳能夠檢測到的壓力微小變化的幅度大約介于 20·10^-6 Pa（聽閾）到 600Pa（噴氣發動機噪音）之間。通常人類語音的幅值約為 0.02 Pa。一般將幅值以對數分貝刻度給出，相對于 20·10^-6 Pa（或 20 μPa）的聽閾進行定義（單位為 dB SPL）。這種對數刻度很自然地可以將聲音按照人類聽覺系統感受響度的方式進行分類。聲壓級   定義如下

（1）

其中，  為測得的均方根（RMS）聲壓，  = 20μPa 為空氣中常用的參考壓力（也稱 RMS 值）。在水聲學中，通常使用 1μPa 作為參考值。

下圖給出了不同情況下的典型（寬帶）聲壓級示例。在指定聲壓級時，指定參考壓力、與聲源的距離、測量的帶寬以及可能的加權函數非常重要。根據經驗，每當與聲源的距離增加一倍時，聲壓級下降 6dB。這稱為反距離定律。

分貝刻度，演示了不同情況下的聲壓級。這些值是在聲源附近測量的典型寬帶值（如果沒有另行說明）。

波既可以傳播，可以駐留，也可以是兩者的組合。下圖顯示一個駐波和一個行波，其中波峰表示壓力最大值，波谷表示壓力最小值。

駐波（上）和行波（下）的表示圖。

波的傳播速度為聲速 （SI 單位：m/s），其值與傳播聲波的材料本身的壓縮率 （SI 單位m2/N或1/Pa）和密度（SI 單位：kg/m3）有關，用  表示。空氣中的聲速約為343m/s，水中的聲速約為1485m/s。具體的取值取決于環境溫度、壓力，以及其他變量。

為了更好地理解駐波和行波的性質，將與波相關的空氣分子的運動進行可視化可以直觀地說明問題。下圖以另一種形式演示了駐波（上）和行波（下），背景色表示壓力幅值（紅色為高值，藍色為低值），其中的點表示與波相關的空氣運動。（提示：您可以仔細觀察其中一個較大的點，以便更好地理解它的運動情況。）

請注意，即使是行波，空氣分子也不會產生向右的凈移動。如果發生向前運動，通常是傳遞與波相關的能量的脈動，單位時間內通過截面傳遞的能量稱為波的強度 （SI 單位：W/m2）。

駐波（上）和行波（下）的壓力（紅色為高值，藍色為低值）和空氣分子運動表示圖。

更籠統地說，聲音是流體受到某個源的擾動時產生的，比如音響系統中的揚聲器紙盆等物體的振動。當低音揚聲器紙盆發出頻率非常低的聲音時，我們可以觀察到它的運動。當紙盆向前移動時，它會壓縮前方的空氣，使空氣壓力升高。隨后，當它向后移動超過其靜止位置時，會使空氣壓力下降。這一過程不斷持續，從而輻射出一種以聲速傳播的、高低壓交替出現的波（參見下面的動畫）。

揚聲器驅動器產生的聲波，紅色表示高壓，藍色表示低壓。為了方便演示，其中夸大了揚聲器紙盆的運動。

頻率 f（SI 單位：Hz=1/s）是每秒感知的振動次數（壓力峰值），波長 λ（SI 單位：m）是兩個波峰之間的距離。可供參考的數據是，人類聽覺系統（對于新生兒）可以感知頻率約為 20Hz 到 20,000Hz（或 20kHz）之間的聲音。比較常見的頻率表示法是使用倍頻帶或分數倍頻帶。這是一個對數變換，從生理學上講，人們采用這種表示法源于這樣一個事實：人耳本身會過濾（通過聽覺濾波器）聲音，并且感知的聲音可以用對數頻率軸表示。這也是音樂中使用的一個基本概念。同樣，人耳也有對數靈敏度，因此，我們使用分貝刻度來表示聲壓級，如前所述。

簡單的數學模型

在數學上，我們使用標量波動方程來描述聲波沿一維空間和時間的傳播

（2）

這是一個偏微分方程（PDE），其中 t 表示時間，x 表示空間坐標，c 表示聲速，p 表示壓力（因變量）。

該方程基于幾種假設，由連續介質力學的守恒定律（質量守恒、動量守恒和能量守恒）導出，下文將對這些假設進行更詳細的討論。一維波動方程的通解由下式給出

（3）

其中  為任意函數，符號可以確定波是正向運動還是反向運動。

實際上，最常用的通解是此類函數的線性組合，當我們考慮初始條件時，可將其稱為達朗貝爾公式。這樣的解是一個傳播的正弦波

（4）

其中  為波幅。

對于最后一個表達式，通常可以方便地定義波的角頻率 （SI 單位：rad/s），即 ，并將頻率與完整的 360° 相移關聯起來。波數 （SI 單位：rad/m）定義為 ，我們通常將它定義為一個矢量，使其還包含波的傳播方向相關信息。一般來說，角頻率  與波數  之間的關系稱為色散關系；對于簡單的流體，關系式為 。上面的動畫描繪了一個行波示例，其振蕩周期定義為 ，聲速為頻率  與波長  的乘積。

與頻域中建立的波動方程等價的方程是非常重要的亥姆霍茲方程。我們可以通過多種方式來推導該方程：將壓力展開為其傅里葉分量，或等效地使用分離變量法（時間和空間）。最簡單的方法是假設壓力是以下類型的時諧信號

（5）

其中， 是該問題的復值因變量。

將此表達式插入波動方程并將其重新排列，可以得到時諧信號的亥姆霍茲方程（具有恒定的材料參數）

（6）

亥姆霍茲方程常常是對聲學問題進行數值分析或解析分析的基礎。為了求解波動方程或亥姆霍茲方程，我們應該將這些方程與描述所研究物理問題的材料參數、邊界條件和初始條件相結合。有關基本聲學的更多詳細信息，請參見參考資料 1-4 和下面的“控制方程的詳細推導”一節。

聲學范圍

在聲學中，聲音由傳播介質產生、在其中傳播并受其影響，最終被人們檢測、感知并進行分析。聲信號傳播過程的描述涉及許多不同的科學分支，包括工程、地球科學、生命科學和藝術。

例如，音樂家用鋼琴演奏出美妙的音符（音樂）；有些工程師研究拾音麥克風，而其他一些工程師則通過揚聲器對聲音的再現進行優化（電聲學）；建筑師和土木工程師確保聲音在音樂廳完美再現（室內聲學）；聽者的耳朵接收聲音（生理學），聽覺系統對聲音進行處理，隨后聽者便會感知到音樂（心理聲學）。

顯而易見，聲學在本質上涉及多個學科和多個物理場。在這里，我們主要討論與工程和地球科學相關的聲學物理原理。有關聲學的詳細分類，請參見《美國聲學學會雜志》（Journal of the Acoustical Society of America） 使用的 PACS classification。

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