李薩如圖形是正交方向上滿足一定頻率比和相位差的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的規(guī)則、穩(wěn)定的閉合曲線，在大學(xué)物理的電學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂上，老師會(huì)讓我們用示波器調(diào)出這種圖形。

李薩如圖形

在一些機(jī)械振動(dòng)或某些航天器的軌道中，也能看到它的影子，比如李薩如沙擺，沙子從運(yùn)動(dòng)的擺錘中漏出，繪制出規(guī)則的圖形。

李薩如沙擺

沙擺原理

沙擺在Y型線的作用下，綠色和紅色兩個(gè)正交方向上的擺長(zhǎng)不同，頻率也就不同，受到初始擾動(dòng)后，擺錘軌跡可以合成為典型的李薩如圖形。

李薩如沙擺的模擬可以用Abaqus顯式動(dòng)力學(xué)，考慮到我們的顯式分析應(yīng)用案例比較多，這期文章我們換一種方法，使用Abaqus隱式動(dòng)力學(xué)來(lái)計(jì)算這個(gè)過(guò)程。

Abaqus隱式動(dòng)力學(xué)使用隱式時(shí)間積分（Hilber-Hughes-Taylor算法、向后的歐拉算法）來(lái)計(jì)算系統(tǒng)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)或準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)，首先簡(jiǎn)單的看一下Abaqus中隱式動(dòng)力學(xué)的幾種應(yīng)用方案：

• 瞬態(tài)保真（Transient fidelity）

不含接觸模型的默認(rèn)選項(xiàng)，涉及最小的系統(tǒng)能量耗散，比如衛(wèi)星系統(tǒng)的分析，使用較小的時(shí)間增量來(lái)精確求解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)，本文的沙擺采用這種方案。

隱式瞬態(tài)保真應(yīng)用-沙擺振動(dòng)

• 中度耗散（Moderate dissipation）

包含接觸模型的默認(rèn)選項(xiàng)，涉及中度的系統(tǒng)能量耗散，比如動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)通過(guò)塑性、黏性阻尼或其他效應(yīng)進(jìn)行能量耗散，可以用于各種插拔、 碰撞和成型分析。

隱式中度耗散應(yīng)用-棘輪碰撞

• 準(zhǔn)靜態(tài)（Quasi-static）

準(zhǔn)靜態(tài)分析的選項(xiàng)，主要感興趣的是最終的靜態(tài)響應(yīng)，涉及高度的能量耗散，通過(guò)引入慣性效應(yīng)來(lái)規(guī)范不穩(wěn)定行為，比如因欠約束導(dǎo)致的剛體位移或“突然跳變”。一個(gè)應(yīng)用場(chǎng)景是指甲刀的捏合分析，首先通過(guò)添加和釋放輔助約束的靜力學(xué)方法來(lái)計(jì)算指甲刀的裝配應(yīng)力，然后將所有部件的相互作改用接觸定義，模型中增加了很多不穩(wěn)定因素，如果繼續(xù)使用靜力學(xué)則極其容易發(fā)散，改用隱式準(zhǔn)靜態(tài)可以順利完成計(jì)算。

隱式準(zhǔn)靜態(tài)應(yīng)用-指甲刀捏合

沙擺模型中不含接觸，能量耗散比較小，因此宜采用Abaqus的隱式瞬態(tài)保真（Transient fidelity）進(jìn)行計(jì)算。

我們用Connector模擬繩子，通過(guò)更新Connector端點(diǎn)的位置坐標(biāo)，來(lái)改變沙擺兩個(gè)方向的擺長(zhǎng)，從而調(diào)整兩方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率比，然后計(jì)算并提取沙擺尖點(diǎn)的位移數(shù)據(jù)， 繪制出幾組不同頻率比的李薩如圖形。

調(diào)整擺長(zhǎng)

沙擺Model1

沙擺Model2

沙擺Model3

沙擺Model4

如果要在Abaqus的后處理界面直接顯示沙擺軌跡，可以通過(guò)之前文章中介紹的來(lái)完成。

沙擺軌跡顯示

下載地址：Abaqus動(dòng)力學(xué)有限元分析指南張文元