近場動力學入門（2）  

    近場動力學（PD）理論和經典連續介質力學是有較大差異的。經典連續介質力學范疇是以連續介質假設、Cauchy應力假設、局部化假設以及本構公理系統為基石的。經典彈性理論就屬于這一范疇。PD理論則放松了連續介質假設、摒棄了Cauchy應力假設和局部化假設。因此，PD理論體系屬于廣義連續介質力學范疇，是一種非局部理論。初學者可能會對PD理論產生些許不適。本期就簡單地梳理下PD理論中的一些基本問題。

一、PD理論與經典連續介質力學的符號對比

    首先，簡單回顧一下經典連續介質力學中的符號體系。在該體系下，一般用大寫字母表示初始構型中的物理量，用小寫字母表示當前構型中的物理量。比如，連續體B 中的某一粒子P 在初始構型中的位矢記為X，而在t 時刻的位矢記為x，則x=χ(X,t)，其中矢量場χ稱為連續體B 的運動。拉格朗日形式的位移場記為U(X,t)且以X為參考位置，則有U(X,t)=x(X,t)-X；歐拉形式形式的位移場記為u(x,t)且以x為參考位置，則有u(x,t)=x-X(x,t)。

    PD理論所用的符號體系和經典連續介質力學是不同的。在Silling2000年和2007年的論文中，連續體B 中的某一粒子P 在參考構型（以初始構型為參考構型）中的位矢記為x，而在變形后的構型（當前構型）中的位矢記為y(x,t)，且有y(x,t)=x+u(x,t)。如果將PD理論用經典連續介質力學的符號重新表示，則y(x,t)=x+u(x,t)將改寫為x(X,t)=X+U(X,t)。同理，PD理論中的速度場v(x,t)和加速度場a(x,t)同樣是拉格朗日形式的，平衡方程中的dv也是初始構型中的體元。

二、PD理論中其它符號的說明

   本主在閱讀文獻和書籍時發現有些資料中對于物質點x的horizon、family以及neig_hborhood（因為包含敏感詞，所以加下劃線）的定義存在混亂，雖然大多數時候是不會引起歧義的，但畢竟清楚的定義對初學者的幫助是很大的。因此，本主根據Silling的幾篇論文中的定義做了一個總結。

（1）horizon：粒子相互作用的最大距離δ；

（2）material family：在x的horizon內，除x外所有物質點的集合，記為F_x；

（3）bond（鍵）：矢量ξ=q-x，其中q屬于x的鄰域；

（4） neig_hborhood：x的鄰域，記為H_x；

（5） family：在x的horizon內，所有鍵的集合，有時也記為H_x。

三、“態”與“態場”

    “態（state）”是2007年Silling建立態基（SB）近場動力學時提出的一個數學概念。其并未出現在2000年建立的鍵基（BB）近場動力學中，是因為用矢量就足以清楚描述鍵基本構模型。那為何描述態基本構模型時一定要用“態”呢？答案是方便。

    從Silling2007年論文中對m階態的定義可以看出，“態”本質是一個函數（可類比函數f），用一個加了下劃線的字母表示，比如A。該函數的定義域是一個球形鄰域內所有矢量的集合，值域是m階張量的集合。用A<ξ>表示矢量ξ被態A作用的結果（可類比f(x)）。這么看，“態”也就是一個普通的函數，似乎沒有引入的必要。然而，如果考慮1階態即矢量態，那么“態”的出現就變得有意義了。因為，按照矢量態的定義，它是將矢量映射為矢量的一個函數，這類似于二階張量的作用。應該注意，只是類似于二階張量的作用并非類似于二階張量本身。因為，矢量態是函數，它的作用結果是矢量，將函數或矢量說成類似于二階張量是欠妥的。Silling2007年論文中也對此做出了說明，即矢量態比二階張量更廣義，這使得矢量態能完成二階張量不能完成的操作。比如，在一簇矢量上定義一個非線性映射關系的函數（即矢量態），就可以將一簇矢量做不同的變換映射為另一簇矢量。但如果想用二階張量對同樣一簇矢量完成和之前同樣的變換，則需要用一簇不同的二階張量點乘該簇每個矢量才可以（如果每個矢量做的變換都相同，則只需定義一個二階張量）。如果一簇矢量的個數不是有限個，則需要無數個不同的二階張量，這顯然是很難辦到的。在PD理論中，正是由于要對鄰域內無數個“鍵”做不同的操作，所以才用“態”而不用張量。說到這也許有人會有疑惑，為何鍵基本構模型不用“態”也可以描述清楚。那是因為，鍵基本構模型是一種特殊的態基本構模型，用矢量足以描述清楚，即遍歷每一個“鍵”。其實，描述態基本構模型時也可以只使用矢量的概念，只不過態基本構模型相比于鍵基本構模型要復雜得多，用遍歷每一個“鍵”的方式將它講清楚還不如定義一個“態”的概念來的方便。接下來要講下“態場”的概念。

    首先，簡單回顧一下“場”的定義。場是某一物理量在空間的一個分布情況。其次，再來回顧一下張量函數的定義。張量函數是以一個或多個張量為自變量且其值亦為張量的函數。如果一個函數的自變量是一個張量且函數值是一個矢量，那么稱該函數是一個張量的矢量值函數。按照Silling2007年論文中的定義，一個態場是一個關于參考構型中位矢和時間的態值函數，例如A[x,t]。簡單來說，一個態場就是一個隨空間和時間變化的態（可類比張量場A(x,t)）。論文中緊接著定義了一個依賴于位置和時間的態的矢量態值函數。該函數的自變量是一個態且函數值是一個矢量態場，例如ψ[x,t](A)。簡單來說，態的矢量態值函數就是一個將函數映射為另一個函數的映射，例如ψ[x,t]簡記為ψ（可類比一個張量的矢量值函數u(A)）。應該注意，這種映射ψ并非泛函，因為泛函是一個將函數映射為實數的映射。此外，由于映射ψ的像ψ[x,t](A)是一個矢量態場，所以ψ[x,t](A)<ξ>表示矢量ξ被ψ[x,t](A)作用的結果，該結果是一個矢量。

四、本構模型中的一些問題

    根據Silling2007年論文中的第8節對態基理論的本構模型的定義，我們能獲得兩點重要信息。第一，本構模型是指變形矢量態場Y[x,t]和力矢量態場T[x,t]之間的函數關系，即本構模型是一個矢量態場的矢量態值函數；第二，在不引起歧義的情況下，變形矢量態場常記為Y而力矢量態場簡記為T。此外，根據該論文中的定義8.3和8.4可以看出，一個態場的單位矢量態值函數M[x,t](Y[x,t])簡記為M并稱為變形方向矢量態，力標量態場簡記為t。應該注意，M并非指將Y[x,t]映射為M[x,t](Y[x,t])的映射，而是指映射后的矢量態場M[x,t](Y[x,t])。

    到此，我們可以做一個小結。第一，PD態基理論的運動方程是對力密度矢量T[x,t]<ξ>（簡記為T<ξ>）的積分；第二，對簡單材料，本構模型的一般形式為T[x,t]=?[x,t](Y[x,t])（簡記為T=?(Y)）；第三，常規態基本構模型為T[x,t]=t[x,t] M[x,t](Y[x,t])（簡記為T=t M）；第四，將本構模型帶入運動方程可得積分項為?[x,t](Y[x,t])<ξ>（不引起歧義時也可簡記為?<ξ>）；第五，PD理論中的本構模型不但可以顯示表達（比如最常用的彈性材料可以通過應變能密度函數得到本構模型），而且可以抽象表達。

    最后，還有三點需要強調。第一，Madenci2014的書中闡述的常規態基本構模型與Silling2007年論文中給出的線性近場動力學固體（LPS）模型不是同一個本構模型，它們對體積應變以及影響函數的定義都有區別。第二，對于一維結構，由于只有彈性模量這一個材料參數，所以常規態基本構模型將退化為鍵基本構模型。第三，彈性材料中定義的應變能密度函數W 是一個將矢量態映射為實數的映射，因此它是一個泛函，而根據frechet導數的定義，?W 是一個將矢量態映射為矢量態的態值函數（即本構模型）。

五、本程序包簡介

    該文件夾中的算例是一個二維矩形金屬板四邊給定位移的平面應力問題。該算例采用常規態型本構模型以及無網格離散方式，且分別使用顯式求解器和隱式求解器求解。所有程序均采用matlab編寫，可直接運行。更為詳細的說明可參看文件夾中的word文件。

    所有的程序都經過作者用心的編寫特別是隱式求解器，對初學者可以說干貨滿滿，對有基礎的研究者也有借鑒之處。