通過康拉德·沃爾夫拉姆 (Conrad Wolfram) 的 TED 演講“停止教授計算，開始教授數學”的視頻 (https://blog.wolfram.com/2010/11/23/conrad-wolframs-ted-talk-stop-teaching-calculating-start-teaching-math/) ，我想聊聊在談論數學教育中使用計算機時聽到的最大的恐懼。

使用計算機將“弱化”教育，持反對意見的伴隨著以下這些想法“學生必須學會用手去做，否則他們怎么知道他們得到了正確的答案”，“他們不會理解正在發生的事情，除非他們自己做”，等等。

好吧，讓我們通過看一個典型的數學問題來檢驗這個問題，我知道在我們教育的某個階段必須解決這個問題。

“第二次世界大戰古斯塔夫搶的初速為 820m/s（全程使用 SI 單位）。假設沒有空氣阻力，它在 45° 射擊時的射程是多少？”

如果我使用Mathematica，那么我幾乎可以輸入系統的微分方程組和系統方程組并得到答案。

“啊哈！” 批評者說。“證明計算機已經弱化了這個主題：這根本不需要任何思考。你從來沒有解決過 ODE；你從來沒有解過方程；電腦為你做了這一切。”

好吧，我同意這個例子非常愚蠢，盡管不是因為計算機做了計算工作。這個例子很愚蠢，因為答案完全錯誤。

問題中的搶的射程為 48 公里，而不是我們剛剛計算的 68 公里。這不是Mathematica的錯，手工操作也無濟于事——方程式是錯誤的。就目前的教育體系而言，這些方程式并沒有錯；它們會在我以前的學校獲得高分。它們是錯誤的，因為它們沒有反映現實。

問題本身進行了簡化，明確排除大氣，隱含排除任何其他影響力或復雜因素。很難想象什么情況能滿足以上條件。

這個典型問題之所以如此愚蠢，是因為如果沒有計算機，它很快就變得很難手動解決。在一個面向簡潔的手工可解決問題的教育系統中，唯一的解決方案是查看問題的玩具版本。

這里展示的一個關鍵概念問題是，在教育中，假設通常是指令。相反，我們應該教學生假設（甚至是隱含的）是選擇。應該考慮每一個假設可能對解決方案有效性產生的影響。

為了說明這一點，讓我們看一下同一問題的一個不那么簡單的版本。最大的缺失因素是空氣阻力。

拖拽效果

阻力由這個公式給出：

其中pb是基礎空氣密度，A是有效面積，Cd是阻力系數（衡量形狀流線型程度的指標）。但是當阻力作用于運動方向時，我們需要根據x和y速度將其分解為x和y分量。

現在讓我們把它放到我們的系統中。這已經成為一個很難以封閉形式計算的棘手問題（學生應該理解的另一個現實問題）。所以我會用數字來解決（手工基本上不可能）：

我們遺漏了一些信息，所以我去維基百科收集一些關于空氣和古斯塔夫搶的數據。

阻力系數取決于外殼的形狀：流線型可低至 0.04，立方體為 1.05，球體為 0.47。我要在這里作弊，聲稱它是 0.28，沒有任何分析或引用。你應該為此扣除一些分數！

高度影響

我們可以添加多種高度影響。如果我們正在打網球，我們可能會忽略這些影響，但是這個外殼會上升 15 公里，并且在那個高度空氣密度顯著下降。這是我們的Drag函數的一個版本，它將密度作為參數：

現在我需要一個關于空氣密度如何變化的模型。這本身就是一個棘手的問題。我們不希望學生永遠陷入從基本原理求解初步步驟的困境，因此他們需要能夠使用現有模型。

這是空氣密度模型和一些關鍵值，有效至大約 11000m（我假設這足夠接近）。

期望學生學習所有這些公式是不合理的——我包括簡單的公式，例如 sin(2 θ )=2sin( θ )cos( θ ) 以及我被迫記住的十幾個被遺忘已久的變體。所以這意味著一種“打開書本”的方法，可以根據需要查找它們。但在把正確的公式灌輸給學生之前，請記住，識別哪種模型適合他們擁有和需要的信息，并弄清楚如何填寫模型中缺失的部分，這是學生應該為現實世界掌握的另一項重要技能。

重力也隨著高度的增加而降低，當我在查找時，這里有一個更好的地表g值:

事實證明，這種影響在弧頂只有 0.3% 左右。但是很容易添加，所以我會使用它。

現在，我將把這些添加到方程組中，并且我還將在其中添加一個風速參數（假設在飛行期間所有高度的風速都恒定）。

現在我們的射程為 48 公里。很明顯，模型很重要：

我們還有什么辦法可以不那么愚蠢？

我離“真相”還有很長的路要走。我忽略了地球的曲率、快速的高空急流和低空陣風、科里奧利效應、大氣壓力、降雨和濕度，我只在 2D 中工作。我還忽略了一個事實，即由于非球形地球和自轉效應，赤道和兩極之間的重力會發生變化。當金屬通過地球磁場和來自月球、太陽和其他行星產生引力效應時，它甚至會在金屬中產生小的渦流效應。一個“完美”的模型將是一項重大任務，也許值得寫一篇博士論文，但在實踐中可能毫無用處。

我必須做出選擇，將其簡化以適應博客文章的大小，并且有直覺知道付出努力后，哪些效果會相應得到最好的改善。我們還應該考慮參數的可測量性。這些都是我們在真實世界的建模中所做的選擇，而我們卻沒有教會人們如何去做。

更重要的是，我沒有在這里花時間進行驗證測試。我的模型可信嗎？我對哪些影響微不足道的直覺是否正確？我是否正確輸入了方程式？對于學生或老師來說，檢查我沒有做錯什么不再是一項微不足道的任務。我非常希望有人指出我在這篇文章的某個地方犯的錯誤，同樣大多數讀者不會注意到它。驗證是我們必須教授的技能。我的模型是否適合低海拔的簡單模型？如果直接向上或直接發射，或以零速度或其他已知值發射，它的行為是否正確？

僅僅手工檢查我們的工作是不夠的。現在這是一個真正的問題，就像大多數真正的問題一樣，它既棘手又混亂，需要深思熟慮。

一旦我們對我們的模型感到滿意，我們就可以提出比范圍更有趣的問題，例如“±5m/s 的風速會帶來多大差異？”

一眼看過去，我們可以看到它有300多米。

“如果風速變化為 2mph，并且初速和發射角度的標準偏差為 1%，那么我們擊中直徑為 1 公里的目標的概率是多少？” （根據維基百科，更高速度的巴黎炮的射程為 130 公里，但在第一次世界大戰中，它有一半的子   彈沒有擊中整個巴黎 ）。

接受計算機作為工具的教師面臨的挑戰是教學生明智地權衡復雜性與正確性，識別他們需要知道、找出、計算的東西以及如何驗證。簡而言之，教他們思考而不是執行計算程序。

也許更重要的是，通過有趣和具有挑戰性的任務，我們必須讓學生有信心去處理那些沒有簡潔、簡短、假裝答案，但很凌亂，有替代方法，而且可能還沒有人知道答案的問題——就像他們在現實世界中會面臨的問題一樣。