摘   要：針對在高速輕載條件下，齒輪傳動系統出現的碰撞振動現象。以直齒輪傳動系統為研究對象，結合 Hertz 接觸理論，構建了系統碰撞振動分析模型。在輕載條件下，就不同轉速及負載對齒輪副碰撞振動的影響進行了分析。研究發現載荷較小時輪齒間產生碰撞振動現象，嚙合力頻譜出現 1/3 次諧波，此時表現出極強的非線性，隨轉速的增加，碰撞力幅值逐漸增大，脫嚙時間逐漸減小；隨負載逐漸增加齒面依次經歷了雙側碰撞，單側碰撞以及正常嚙合三個階段，當負載達到碰撞振動門檻值時，齒輪副開始正常嚙合。該研究成果為齒輪系統的減振降噪提供了理論依據。

 

關鍵詞：齒輪副；Hertz 接觸；碰撞振動；動態特性

 

1  引言

 

齒輪傳動系統具有效率高，結構緊湊，工作可靠等特點，成為運用最為廣泛的傳動形式之一，其動態性能將直接關系到整個機器的優劣。在齒輪運轉過程中，由于磨損或齒廓加工誤差會使輪副產生齒側間隙，造成齒輪嚙合中出現三個重復沖擊階段，即接觸、脫嚙、再接觸三個階段^[1]。在高速輕載條件下，齒面將會發生更為明顯的碰撞作用，并會引起強烈的振動噪聲。

 

在齒輪碰撞振動方面，國內外科研人員對其進行了諸多有益的研究。文獻^[2]通過建立一個集中質量模型，并用該模型對齒輪傳動系統的拍擊振動進行分析，計算了主動軸轉速波動激勵下齒輪傳動系統振動狀態隨負載力矩變化的分岔規律；文獻^[3]對齒輪系統動態特性利用動態傳遞誤差來進行表征，并通過實驗對直齒輪副的受迫響應進行了研究，說明了嚙合剛度的時變幅值和重合度對系統動態特性有極重要的影響；文獻^[4]用動剛度方法建立其振動分析模型，將直齒輪輪齒模擬為變截面Timoshenko 梁，研究中考慮了時變嚙合剛度，計算了直齒輪的瞬態響應；文獻^[5]基于動態嚙合力，研究了相位調諧對抑制平移和扭轉振動模式上某階諧波的作用；文獻^[6]建立了一個非線性振動分析模型，該模型具有時變嚙合剛度和齒側間隙等，并利用打靶法深入研究了周期解的分岔和混沌過度等現象^[7]。結合 Hertz 接觸理論，建立了在輕載條件下的齒輪傳動系統碰撞振動分析模型，闡述了齒輪嚙合狀態隨負載增加的變化，分析了轉速對齒面碰撞振動特性的影響。

 

2  分析模型構建

 

2.1 減速器模型

 

以單級直齒圓柱齒輪減速器為分析模型，如圖 1（a）所示。其三維模型，如圖 1（b）所示。分析模型參數，如表 1 所示。

 

（a）裝配體模型                        （b）齒輪副模型

圖1  減速器分析模型

 

表1 分析模型參數

 

2.2 齒輪副動力學模型

 

以減速器傳動關系為依據，建立齒輪副的動力學模型，如圖2所示。在不考慮摩擦的情況下，將傳動系統中彈性較大，而質量較小的零件（如軸，軸承）簡化為彈簧結構，將質量大，彈性較小的零件（如齒輪）簡化為質量塊，即得到了典型的直齒圓柱齒輪副的嚙合耦合型動力學模型，如圖 2 所示。其中主動輪用 P 代表，從動輪用 G代表，嚙合線方向的標記為 Y。忽略傳動軸等的具體振動形式，用組合等效值 k_py、k_gy和 c_py、c_gy來表示傳動軸、軸承和箱體等支撐剛度和阻尼。引入接觸算法，計算齒輪嚙合剛度，采用圖 1（b）所示模型，依次計算齒輪副各個嚙合位置的剛度；對于齒輪誤差采用簡諧函數進行模擬，并假設從齒根到齒頂的誤差為正弦分布^[8]。

 

這時，動力學模型可表現為一個二維平面振動系統，把齒面摩擦忽略掉，而且齒輪的動態嚙合力沿嚙合線方向作用，因此現在它是一個具有 4 自由度的模型，分別是主、從動輪的旋轉自由度和 Y 方向的平移自由度，則系統的廣義位移向量可表示為：

 圖2  直齒輪系統動力學模型

 

各齒輪沿扭轉自由度與 Y 方向的位移均會使輪副嚙合狀態發生改變，故齒輪各自由度位移在嚙合線上的投影為：

 

式中：主、從動齒輪的基圓半徑分別用 R_p，R_g表示。

 

輪副的嚙合力和嚙合阻尼力，可表示為：

  

式中：k_m—齒輪嚙合剛度；c_m—齒輪嚙合阻尼；e—誤差。

 

因此齒輪副動態嚙合力 F_pg為：

 

F_pg=F_k +F_c           （3）

 

依據達朗博原理有：

 

 

式中：m_i，I_i（i=p，g）—主、被動齒輪的質量和轉動慣量；F_p、F_g—主、被動齒輪上的輪齒動態嚙合力；T_p—輸入扭矩；T_g—輸出扭矩。模型具體參數，如表 2 所示。

 

表2   直齒輪系統動力學模型參數

 

支撐阻尼系數 α 取值在（0.07~0.5）之間。

 

2.3 齒輪副碰撞力計算

 

當傳動系統負載不存在，或者負載很小直至為零時，主動輪和從動輪相互接觸的兩個齒面產生瞬時碰撞作用，由于較小的負載，當主動輪給予從動輪一個速度時，從動輪瞬時加速，此時與主動輪發生分離，很難繼續保持貼合，就此形成一個周期循環的過程。在該過程中，齒輪的碰撞力合力依靠輪齒的相互接觸來傳遞，采用 Hertz 接觸力學模型可以描述接觸面之間的彈性作用。此時，齒輪副碰撞振動模型，如圖3 所示。圖中齒輪副兩齒面由接觸彈簧連接，kc 表示齒面接觸剛度。

圖3  齒輪副碰撞振動模型

 

由于齒輪嚙合過程中，兩個影響因素：誤差與結構變形的存在，理論嚙合線方向已沒有齒輪嚙合力的作用，但是考慮誤差因素對系統的影響比較小，所以在齒輪接觸力的求解過程中，假設齒輪嚙合作用仍然是在理論嚙合線方向產生的，則可用會發生相互碰撞的質體[9]來代替這兩個接觸輪齒，接觸面法向為嚙合線方向，考慮到材料阻尼，廣義的 Hertz 公式具有如下形式：

 

式中：兩個質體的接觸面法向相對形變量用 δ 來表示，相對接觸速度用δ觶來表示，非線性指數用 n 來表示。阻尼系數為 D（x）=λxⁿ，其中 λ 表示為滯后阻尼系數。k_cpg—彈性力學中的Hertz 剛度，它取決于材料特性和曲率半徑，可表示為：

 

式中：主動輪與從動輪齒廓曲率半徑分別為 r_p=13.3471mm，r_g=26.1835mm；彈性模量和泊松比分別為 E_i=2.06e¹¹Pa，v_i =0.3?，F以能量關系為依據，確定滯后阻尼系數 λ 與碰撞前后的速度關系，基于 Newton 回復系數 e_N，對碰撞期間系統的動能損耗進行計算：

式中：—齒輪副的等效質量。此外根據文獻^[9]中雙質體正碰撞中 Hertz 接觸力的滯后形式圖，碰撞導致的能量損耗也可沿滯后環進行積分獲得，即：

式中：恢復系數和滯后阻尼系數之間滿足：

 

現在只要知道碰撞前的速度和碰撞后的速度，那么對于最大齒輪接觸面的壓入變形量 δ_m和它們之間的接觸時間就能確定下來，在壓縮段，兩個質體的運動方程為：

 

在壓縮階段，對上式積分，有：

 

這里=v_p0-v_g0，在壓縮結束時，相對壓縮量達到最大值δ_m，而，因此：

 

上式揭示了接觸力與恢復系數、碰撞前后速度的關系。

 

根據文獻^[9]，研究復雜系統碰撞動力學問題可用質體碰撞來代替，該對齒輪副發生瞬時碰撞作用，故可用雙質體正碰撞問題來計算齒輪副碰撞力。

 

2.4 計算結果

 

定義主動輪輸入轉速為 1000r/min，負載扭矩 T=0，通過計算得到齒輪副碰撞力，如圖 4 所示。在負載為零的情況下，齒輪副出現了主動輪齒面接觸與齒背接觸的雙側碰撞現象，該碰撞過程中主動輪正側齒面碰撞從動輪齒面，驅動從動輪開始轉動，但是由于負載較小，所產生阻滯力矩小于碰撞沖擊所產生的慣性力矩，即有：

 

式中：T_drag—阻滯力矩，由從動輪阻尼力與負載力矩決定。

 

則齒輪副發生碰撞振動現象，此時主動輪齒面無法與從動輪始終保持貼合狀態，瞬時從動輪加速旋轉，速度會瞬時超過主動輪，并且與主動輪分離，如圖（a）中 A 點位置，由于齒側間隙的存在，從動輪經歷短暫的脫嚙，該過程中不產生作用力。隨后，從動輪齒面逐漸接近主動輪齒背，并再次發生齒背碰撞，這時從動輪轉速迅速減小，并小于主動輪轉速，此后從動輪齒面又與主動輪齒背分離，再次脫嚙如圖 4（a）中 B 點位置。最后，從動輪再與主動輪發生齒背碰撞，以此循環推動從動輪旋轉。

 

圖4  轉速為 1000r/min 時齒輪副碰撞力

 

齒輪副碰撞力頻譜，如圖 4（b）所示。圖中：f_m—嚙合頻率成分；f_1/3—1/3 次次諧波成分，可以看到頻譜中出現 1/3 次諧波成分，并且為主要頻率成分。

 

3  轉速對齒輪副碰撞振動的影響

 

為了解轉速對齒輪副碰撞振動的影響，計算了在零負載條件下，主動輪轉速由 100r/min增加到 1000r/min 時，此時軸承載荷隨著各齒輪 Y 方向的位移而變化，可用計算公式：

 

f=k_iy y_i，i=p，g         （17）

 

得到軸承動載荷，因此碰撞力與軸承載荷波動幅值的變化，如圖 5 所示。

圖5  各轉速下碰撞力與軸承載荷幅值的變化

 

整體來講，在轉速從小到大的過程中，從動輪齒面相對于主動輪齒面的速度也逐漸增大，齒面間的碰撞力波動幅值也隨之增大。當轉速較小時（<500r/min），主動輪與從動輪齒面相對速度較小，故碰撞力波動幅值也較小，隨著轉速的增大，其增大趨勢較為平緩；當轉速較大時（>500r/min），主動輪與從動輪齒面相對速度較大，碰撞力也較大，隨著轉速的增大，其增大趨勢明顯加快。

圖6  各轉速下碰撞力瀑布圖

 

在齒輪副嚙合過程中，傳動系統的主要振動激勵成分是由動載荷嚙合頻率及其倍頻成分分別構成的，并且嚙合頻率與倍頻成分與轉速均呈線性比例關系（嚙合頻率 f_m =n·z/60），故齒輪副正常嚙合時，其動載荷主要頻率成分呈現規律的發射狀分布，其他頻率成分較少。相對比而言，在齒輪副碰撞振動階段頻率成分更為復雜，主要頻率成分較為凌亂，雖然也存在各嚙合頻率成分與倍頻成分，但均不是主要激勵成分也并不明顯。而在轉速在500r/min 以上時，出現次諧波頻率成分，并且其峰值大于其他頻率成分，其中，包括500r/min 時 1/2 諧波成分，600 r/min 時 1/5 諧波成分， 1000r/min 時 1/3 諧波成分等。

 

4  負載對齒輪副碰撞振動的影響

 

負載的大小將直接影響齒輪副嚙合狀態，計算了齒輪副動載荷與軸承動載荷波動幅值隨幅值的增大變化趨勢，如圖 7 所示。其中，曲線 a—碰撞力波動幅值；b—軸承動載荷波動幅值，可以看到，在轉速為 1000r/min，負載由 0 增大至 50N·m 過程中齒輪副經歷了較大波動，而整個過程可以劃分為負載為（0~12） N·m時齒面雙側碰撞，負載為（12~30） N·m 單側碰撞，以及負載為大于 30N·m 正常嚙合三個階段。

圖7  各負載下碰撞力與軸承載荷幅值的變化

 

4.1 雙側碰撞階段

 

該階段負載較小，齒輪副出現齒面碰撞與齒背碰撞現象，兩種碰撞交替出現，齒輪副碰撞力，如圖7 所示。在該階段隨著負載的增加，從動輪在主動輪齒背碰撞之后，從動輪轉速迅速較小，再加上負載的作用，增大了主動輪與從動輪的相對速度，故在該階段隨著負載的增大，齒輪正齒面碰撞力幅值將逐漸增大。在該階段，齒輪副脫嚙時間與齒背碰撞力幅值隨負載的變化，如圖 8 所示。可以看到在雙側碰撞階段，隨著負載的增加齒面碰撞及齒背碰撞后脫嚙時間均逐漸減小。同時由于負載的增加會使阻滯力矩增大，在齒面碰撞后兩齒輪齒背相對速度會減小，故齒背碰撞力幅值隨負載的增大逐漸減小，直至 12N·m 時，齒輪副不再發生齒背碰撞。

圖8  各負載下的脫嚙時間與齒背碰撞力幅值

圖中：a—齒面碰撞后脫嚙時間變化；

b—齒背碰撞后脫嚙時間；

c—單側碰撞時齒輪脫嚙時間；

d—雙齒嚙合時齒背碰撞力幅值。

 

4.2 單側碰撞階段

 

在負載大于 12N·m 時，齒輪副將不再出現了雙側碰撞現象，僅存在正齒面碰撞，即主動輪齒面與從動輪齒面碰撞，該碰撞過程中主動輪正側齒面與從動輪齒面發生碰撞，驅動從動輪開始轉動，從動輪瞬間加速，并且轉速瞬時超過主動輪，使兩齒面產生脫離，從動輪在齒側間隙中經歷短暫的脫嚙狀態，此時齒輪副碰撞力為零，如圖 9 所示。由于齒輪副在每個碰撞周期都存在脫嚙現象，在脫嚙時從動輪沒有外力作用，從動輪經歷了短暫的勻速運動。從頻譜上看，在該階段齒輪碰撞力主要頻率成分由 1/3 次次諧波成分轉變為 1/2 次次諧波成分，其他頻率成分還有嚙合頻率及其倍頻成分。

 圖9  單側碰撞階段齒輪副碰撞力

圖中：a—碰撞力；b—從動輪轉速。

 

在該階段，由于負載的作用使從動輪在脫嚙過程中轉速逐漸減小，使兩齒輪正齒面碰撞速度愈發的劇烈，故負載增大的條件下，主動輪和從動輪碰撞力幅值也逐漸增大。齒輪副脫嚙時間變化，如圖 8 所示。當齒輪副由雙側碰撞轉變為單側碰撞時，脫嚙時間階躍式增大，隨著負載的增加，脫嚙時間逐漸減小，直至負載到達碰撞振動門檻值，脫嚙時間減小為 0，齒輪副不再發生碰撞振動。

 

4.3 正常嚙合階段

 

在負載大于齒輪碰撞振動門檻值 28N·m 時，齒輪副嚙合力如圖 10 所示。齒輪副嚙合力不再出現脫嚙及碰撞振動現象，齒輪副進入正常嚙合階段，齒輪嚙合力與軸承載荷均呈現象變化。

圖10   齒輪副嚙合力

圖中：a—碰撞力；b—從動輪轉速，

 

5  結論

 

(1)提出了一種在輕載條件下，運用Hertz 接觸理論求解齒輪副碰撞力的齒輪傳動系統建模方法。（2）輕載條件下，齒輪副出現碰撞振動現象，其嚙合力頻譜中出現次諧波成分。（3）輕載條件下，當系統輸入轉速較小時，隨著轉速的增大，齒輪副碰撞力增大趨勢較為平緩；當轉速較大時，齒輪副碰撞力增大趨勢明顯加快。（4）負載從小增大的過程中，可將齒輪碰撞振動劃分為三個階段，分別為雙側碰撞、單側碰撞、以及當達到碰撞振動門檻值時齒輪的正常嚙合。

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