可折疊顯示設(shè)備日益走進(jìn)我們的生活，對此類屏幕分析驗(yàn)證是當(dāng)今CAE工程師面臨的難題之一，因?yàn)楸仨氁紤]多層堆疊的復(fù)合材料，并進(jìn)行90度彎曲、展開的大變形模擬；另外，為了預(yù)測它的耐用性，需要確定以何種損傷標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評估。執(zhí)行這種高度復(fù)雜的顯示器分析，先決條件是進(jìn)行精確的應(yīng)力、應(yīng)變計(jì)算，在此之前，工程師必須要了解一個(gè)基本概念，那就是“客觀應(yīng)力率”。

01

小張的困惑：線彈性材料的“殘余應(yīng)力”！

小張是訓(xùn)練有素的CAE工程師，有一天，他接到一個(gè)分析任務(wù)：折疊屏材料的彎曲有限元分析，心想，還真是趕時(shí)髦呀，來吧。

供應(yīng)商提供了某一層材料的試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線，筆直的讓人能口算出彈性模量，試驗(yàn)部門也提前告知了彎曲試驗(yàn)完全在此應(yīng)變范圍進(jìn)行加、卸載。于是，小張確信用線彈性本構(gòu)無疑，一頓操作，下班前竟完成了彎曲試驗(yàn)對標(biāo)：仿真得出來的應(yīng)力、應(yīng)變、彎矩和試驗(yàn)結(jié)果完全一致。

折疊屏某層材料90°彎曲仿真-加載

正要高興的時(shí)候，他看到了卸載的計(jì)算結(jié)果：

卸載后的應(yīng)力、應(yīng)變

線彈性材料加、卸載怎么會出現(xiàn)“殘余應(yīng)力”？于是他又校核了一下模型：線彈性材料模型、靜力學(xué)分析，幾何非線性，ALM接觸、沙漏控制，一切都很合理，否則前面的試驗(yàn)對標(biāo)不會這么順利，然而并沒有定義塑性啊，為什么材料會表現(xiàn)出如此強(qiáng)烈的路徑依賴性？

就算是數(shù)值誤差，也不可能在這個(gè)量級的吧？這一度成為小張童鞋的一個(gè)困惑。

02

什么是客觀應(yīng)力率？

客觀應(yīng)力率（Objective Stress Rate）是連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)基本概念，為什么會有這么個(gè)概念呢？考慮一根受力平衡、兩端拉力恒為F的桿，在空間中發(fā)生一定角度的剛體轉(zhuǎn)動（地面上的觀察者），即使力的大小不變，方向也是不斷變化的，所以桿中（柯西）應(yīng)力變化率不為0；另一方面，桿的長度始終不變，應(yīng)變和初始狀態(tài)一樣，是恒定的，應(yīng)變的變化率為0，若按照不變的本構(gòu)描述（桿上的觀察者），可以立刻得出應(yīng)力變化率為0！換句話說，柯西應(yīng)力的應(yīng)力率不是客觀的，從下圖也可以看出，柯西應(yīng)力滿足張量旋轉(zhuǎn)的協(xié)變規(guī)則，而應(yīng)力率不滿足。

柯西應(yīng)力不滿足應(yīng)力率的客觀性

客觀應(yīng)力率是應(yīng)力對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，不應(yīng)該依賴于參考系，因?yàn)楹芏啾緲?gòu)方程是通過應(yīng)力（率）和應(yīng)變（率）之間的關(guān)系進(jìn)行描述的，材料的機(jī)械響應(yīng)和坐標(biāo)系的選擇沒有關(guān)系，材料本構(gòu)方程也應(yīng)該是和框架無關(guān)的（客觀的），總不能為每一個(gè)觀察者配一套材料本構(gòu)方程吧？于是力學(xué)家們提出了多種滿足客觀性的應(yīng)力率，在各大商業(yè)有限元軟件中應(yīng)用比較廣泛的有：

• 柯西應(yīng)力的Truesdell率

• 柯西應(yīng)力的Green-Naghdi率

• 柯西應(yīng)力的Jaumann率

Abauqs用的是后兩個(gè)，通過Nlgeom=ON啟用，具體是哪一種和模型的設(shè)定有關(guān)，取決于單元類型、求解器以及材料本構(gòu)模型。

Abauqs中的客觀應(yīng)力率

注：

Solid指連續(xù)單元

Structural指梁、桿、膜、殼這類結(jié)構(gòu)單元

Nlgeom=ON，Standard+Solid Element，對應(yīng)就是Jaumann率，這種情況下，應(yīng)變增量是通過應(yīng)變率在時(shí)間上積分得到的，而應(yīng)變率的更新又依賴于上一個(gè)增量的即時(shí)構(gòu)型坐標(biāo)系，所以，對于小張的模型，總是存在初始增量應(yīng)變率為0，最后一個(gè)增量應(yīng)變率不為0的情況，那么閉環(huán)積分（加卸載）的時(shí)候，肯定會引起所謂的“殘余應(yīng)力”和“殘余應(yīng)變”。

問題找到了，有兩種方法可以改善:

1. 使用非常小的增量（Step里通過Maximum Increment Size控制），計(jì)算出的“殘余應(yīng)變”基本會和Maximum Increment Size保持一個(gè)量級，比如你覺得應(yīng)變結(jié)果在1E-8量級上是可以接受的，那么你就得設(shè)置Maximum Increment Size=1E-8，顯然，對于很多分析，這樣做是不太現(xiàn)實(shí)的。
   

   
   

2. 使用超彈性本構(gòu)，超彈性本構(gòu)基于應(yīng)變能勢描述材料，自動確保能量守恒，它使用總應(yīng)變公式，不用更新坐標(biāo)系，因此從定義上來說就是客觀的，這是它的先天優(yōu)勢。

小張嘗試把線彈性改為超彈性的Mooney-Rivlin或者Neo-Hookean之后，得到的應(yīng)力、應(yīng)變、彎矩結(jié)果和線彈性之間的誤差只有1%左右，而且“殘余應(yīng)力”和“殘余應(yīng)變”都降低到了可以忽略的程度。

線彈性-超彈性應(yīng)力結(jié)果差異（加載）

線彈性-超彈性應(yīng)變結(jié)果差異（加載）

線彈性-超彈性彎矩結(jié)果差異（加載）

線彈性-超彈性“殘余應(yīng)變”結(jié)果差異（卸載）

問題終于解決了~

03

如何將線彈性材料“超彈性化”？

看到這里，小張的困惑是解決了，有的朋友可能困惑了：這家伙是怎么把線彈性材料“超彈性化”的？

我們要考慮的應(yīng)變相對來說比較小，大致在（-0.1~0.1）范圍內(nèi)，通過下面的公式即可完成轉(zhuǎn)換，反過來（超彈性本構(gòu)線彈性化）也是可以的。

小范圍應(yīng)變下彈性模量與超彈性參數(shù)關(guān)系式

比如：

線彈性E=200MPa → 超彈性NH，C1=33.33MPa

線彈性E=200MPa → 超彈性MR，(C10 , C01 )=(35MPa, -1.667MPa)

通過繪制這三種本構(gòu)模型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以看出，在（-0.1~0.1）應(yīng)變范圍內(nèi)，三者是基本重合的，可以用作互相替換。

三種本構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變曲線對比

參考：

SIMULIA User Assistance 2022, Dassault Systèmes Simulia Corp., Providence, RI, USA.

Wikipedia-Objective stress rate

Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, Belytschko, T., Liu, W.K. and Moran, B., John Wiley and Sons, p. 99, 2000.

Finite Element Procedures, Bathe, K.-J., Prentice-Hall, p. 612, 1996.

Stress rate objectivity and foldable display simulation, Naver blog 2022, korea

'Finite Deformation Constitutive Equations and a Time Integration Procedure for Isotropic, Hyperelastic-Viscoplastic Solids,' Weber, G. and Anand, L., Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 79, pp. 173-202, 1990.