ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據

宇熠科技

2022年5月19日 16:27

光譜學是一種無創性技術，是研究組織、等離子體和材料的最強大工具之一。本文介紹了如何利用近軸元件建立透鏡—光柵—透鏡(LGL)光譜儀模型，使用OpticStudio的多重結構( Multiple Configurations )、評價函數 ( Merit Functions )和ZPL宏等先進功能完成了從所需指標參數到性能評估的設計過程。

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簡介

光譜儀是測量光強與波長的函數關系的儀器。光譜儀有各種各樣的通用設置。本文介紹了透鏡—光柵—透鏡(LGL)光譜儀。在OpticStudio中完成對光譜儀的設置后，對其關鍵設計參數進行確定和討論。

LGL光譜儀的基本設置

LGL光譜儀的基本設置如下：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖1

多色光通過入射針孔進入光譜儀，從而產生發散光束。然后，使用準直透鏡生成平行光線。后面的透射式衍射光柵是光譜儀的核心元件，它可以根據光束的波長（即顏色）改變光束的方向。最后，聚焦透鏡將光束會聚在探測器上。每種波長的光線會聚在探測器上不同的位置，通過將測量到的強度作為探測器上位置的函數，可以得到光線的光譜。

第一種方法，在OpticStudio中使用近軸元件對該設置進行建模。這樣做可以忽略像差和優化問題，這些問題我們在下期更新的文章中討論。另一方面，LGL光譜儀適用于理解光譜儀的基本物理概念及其分辨率。

在OpticStudio中建立近軸LGL光譜儀模型

系統設置

首先，在系統選項 ( System Explorer ) 中設置系統的基本參數。按照下圖設置入瞳直徑 ( Entrance Pupil Diameter ) （稍后將看到孔徑如何影響光譜儀的性能）：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖2

在此光譜儀中，要分析波長范圍為：λmin=400 nm到 λmax = 700 nm的可見光，波長帶寬為：Δλ= 300 nm。因此，設置三個波長，其中兩個波長處于光譜的邊緣，中心波長為：λ0 =550 nm，后者為主波長：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖3

準直透鏡

完成以上操作后，可以繼續使用光譜儀中的第一個元件，并在鏡頭文件中添加第一行。假設光來自點光源（對應于針孔）。使用焦距為30 mm的近軸透鏡，將其置于針孔后30 mm處，將產生準直光束。插入另一個厚度為30 mm的表面，以表明準直透鏡和衍射光柵之間的距離：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖4

所設計系統的三維布局圖(3D Layout)如下所示：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖5

衍射光柵

光譜儀中的下一個元件是透射式衍射光柵。在OpticStudio中使用光柵之前，先仔細了解一下它，因為它是光譜儀的關鍵元件。

光柵本質上是帶有平行排列的若干等距狹縫的光闌。為了進行簡化，先來看看只有兩個狹縫的光柵（俯視圖）：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖6

已經對入射光束進行了準直，所以光束中的所有光線彼此平行。如果考慮穿過兩個狹縫（紅色箭頭）的兩條光線，我們可以計算這兩條光線（藍色部分）之間路徑差Δs ，它是兩個狹縫之間的距離 d ，入射角 α 和衍射角 β 的函數：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖7

我們希望這個路徑差的大小相當于一個波長，以便在兩條光線之間產生相長干涉：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖8

可以通過前兩個方程計算出衍射角：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖9

該公式描述了多色光在光譜儀中是如何分解為不同波長的。可以看到，衍射角只取決于波長（對于給定的 α 和d ）。

將雙狹縫的概念推廣到具有多個狹縫的柵格中，使更多特定波長的光線聚集在衍射角的方向上，從而提高衍射效率。

關于衍射光柵及其效率、閃耀角等特性的更多討論可以在知識庫文章 "使用RCWA法模擬表面浮雕光柵的衍射效率"中找到。我們只需要記住，衍射光柵的特性是由兩個相鄰狹縫之間的距離決定的，并且將準直光束轉化為其波長的函數。

在光譜儀中使用折射式光柵時，一般使其入射角等于中心波長的衍射角，即：α=β

使用公式（1）可得：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖10

本文示例中假設d = 0.5μm ，可得：α= 33.367°。考慮到這一點，我們在OpticStudio中設置了衍射光柵。首先，在鏡頭文件中引入坐標斷點，并將傾斜X ( Tilt About X )設置為33.367°，以使光線傾斜度與入射角大小相同。在下一行添加衍射光柵 ( Diffraction Grating )，設置刻線/μm(Line/μm) （d的倒數）為2，并將衍射級次設為 -1。需要另一個坐標斷點來達到衍射角的參數需求。此處，在傾斜X上設置主光線 ( Chief Ray ) 求解，使坐標自動跟隨主波長：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖11

聚焦透鏡和探測器

光譜儀的最后一組元件是聚焦透鏡和探測器。我們在鏡頭文件中添加了四行，分別為：光柵和聚焦透鏡之間的距離(30 mm)，近軸聚焦透鏡（焦距ff = 30 mm ），用來滿足焦距的空間和探測器平面：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖12

一旦調整了設置，三維布局圖如下圖所示：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖13

最后一個設置是關于三維布局圖中的光線，在上一張圖像中用紅色圓圈標記出了OpticStudio繪制太多光線的部分。可以通過在鏡頭文件中設置表面 6的屬性來消除它們：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖14

現在已經完成了近軸LGL光譜儀的設計，打開標準點列圖 ( Standard Spot Diagram ) 來查看最初選擇的三個波長在像面上（即探測器上）的光斑大小：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖15

可以看出光斑尺寸非常小，這僅僅是因為我們選擇了近軸透鏡并使用了幾何光線追跡才有可能實現。在真實情況中，由于衍射效應，會使光斑更大。這就是本文的最后一部分將要討論的內容。但是，我們先要仔細觀察聚焦透鏡和探測器，以了解它們的尺寸。

光譜儀分辨率

探測器寬度

探測器寬度由三個參數定義：光譜儀的帶寬 Δλ=λmax -λmin，光柵狹縫的距離 d和聚焦透鏡的焦距ff。其中，Δλ和d通常是先決條件，可以通過選擇聚焦透鏡以匹配探測器的幾何尺寸。

通過光譜儀的最小和最大波長（本例中分別為400 nm和700 nm），可以利用公式1計算出最小和最大衍射角，結果是 βmin = 14.48° 和 βmax = 58.21°，這可以使用 OpticStudio中的單光線追跡( Single Ray Trace ) 數據來驗證，以最小和最大波長來進行邊緣光線追跡：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖16

當光線以最小和最大角度通過聚焦透鏡時，會出現以下情況：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖17

其中ff為聚焦透鏡的焦距，L為探測器寬度。因此，可以使用下式計算探測器的寬度：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖18

在本例中，得到L = 24.16 mm。可以在OpticStudio中再次驗證這個結果。一個簡單而近似的方法就是使用三維布局圖中的測量 ( Measure )工具直接測量：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖19

更復雜和精確的方法是使用操作數。為此，打開評價函數編輯器 ( Merit Function Editor )，輸入以下內容并更新窗口（點擊紅色箭頭所指按鈕）：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖20

通過REAY操作數可以得到表面9（探測器）上實際光線的y坐標。我們選擇波長1和波長3（分別為400 nm和700 nm）對應的y坐標值，DIFF操作數用于計算這兩個y坐標之間的差值。得出的結果正好是我們之前分析計算出的值。

之前考慮的重要結果：一旦定義了光譜儀的帶寬，衍射光柵產生的最小和最大折射角度就確定了（公式1）。最小和最大衍射角與聚焦透鏡的焦距ff一同定義了探測器寬度（公式2）。大尺寸探測器需要較大ff ，反之亦然。

重新映射探測器上的波長

查看點列圖時，我們注意到，盡管在波長范圍內均勻分布，這三個波長的光斑在探測器上并不是均勻分布的。此效應來自公式1中的正弦波，必須通過將探測器上的位置重新映射到相應的波長來解決光譜儀中的這個影響。

我們可以在OpticStudio中通過掃描光譜儀帶寬的波長并記錄光線在探測器上的位置，來計算映射函數（重映射函數的逆函數）。另一種有效的解決方法就是使用Zemax編程語言(Zemax Programming Language，ZPL)宏。下載附件中的宏Mapping_Function_Resolution.ZPL，并將其保存在Zemax\Macros文件夾中，打開并查看它的結構。該宏首先獲取系統的波長（操作數WAVL），然后計算探測器上光線的y坐標（操作數RAYY），同時使用多重結構循環遍歷波長。執行后繪制的結果圖顯示了映射函數：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖21

光譜分辨率

宏Mapping_Function_Resolution.ZPL繪制第二個圖，顯示光譜儀的光譜分辨率R，即部分帶寬δλ 與每單位寬度探測器 ΔL的比值：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖22

這里定義的光譜分辨率是映射函數導數的倒數。因此，在相同的宏中計算：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖23

光譜分辨率越低，探測器單位寬度的帶寬就越小。將光譜分辨率與探測器的像素寬度相乘，最終得到光譜儀的分辨率，這是光譜儀重要的特征值。

根據公式2，我們可以通過選擇更大焦距的聚焦透鏡，以在更大的探測器寬度上擴展光譜，從而提高光譜儀的光譜分辨率。然而，這種策略行不通。我們還必須考慮到探測器上的光斑大小受到衍射的限制，這為光譜儀的設計帶來了新的約束。

衍射極限

可以將光譜儀看作是將物體（入射針孔，即點光源）映射到像面（探測器）的光學系統。像OpticStudio那樣使用光線來計算光在光學系統中的傳播是非常有效的，但光線追跡的結果并不完全符合實際情況。點光源不是無窮小的點（對應銳利的圖像），所得到的圖像將是模糊的。這種效應是由于衍射限制了光學系統的分辨率。

OpticStudio有各種各樣的工具來分析衍射。此處考慮了點列圖中的艾里斑(Airy disk)（衍射極限的點列斑尺寸），其數值在點列圖注釋中：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖24

瑞利判據也使用了艾里斑。瑞利準則指出，當兩個點光源的距離大于它們的艾里斑半徑時，就可以將它們識別出來。光譜儀中兩個點光源之間的距離對應帶寬的一部分 δλ ，如前一節中所述。

瑞利準則直接影響探測器像素大小的選擇，像素小于艾里斑半徑是沒有用的，因為它們會使光譜儀的衍射極限分辨率過采樣。

艾里斑半徑的計算公式為：

ZMEAX | 如何設計光譜儀——理論依據的圖25

其中，F#是工作F 數，等于聚焦透鏡的焦距 ff 除以系統的口徑。由此關系可以得出：

光譜儀的衍射極限分辨率隨波長的變化而變化。光學設計無法消除這種影響。
選擇大焦距 ff 的聚焦透鏡，將增加F數，增加艾里斑的大小。這種效應與前一節中討論的探測器寬度L密切相關（公式2）：探測器寬度也會增加。最后，只是在更大的探測器上得到更大的艾里斑，而不提高光譜儀的分辨率。
選擇大的系統孔徑將減少F數，以減少艾里斑的大小。