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問：采用有限元計算一個模型，計算出來的最大總應力值是250Mpa，而通過此最大應力點定義路徑提取出線性化后的計算結果發(fā)現(xiàn)薄膜+彎曲應力的值=260Mpa＞最大總應力值250Mpa。理論上是不可能的啊，軟件計算是不是有問題啊，是不是計算有誤？

答：理論上來說，薄膜+彎曲應力值確實是不應該＞總應力值的；在力學模型、邊界條件和載荷條件均施加正確的前提下，軟件計算出現(xiàn)這種情況是正常的，那么為什么線性化后的結果會出現(xiàn)這種奇怪的現(xiàn)象呢？問題又出在哪里呢？

相信很多經驗豐富和細心的朋友已經知道存在的這種情況以及產生的原因了，而必然也有很多朋友對這個問題可能從未發(fā)現(xiàn)和考慮過，這便是本文要重點探討的問題。

有限元軟件中等效線性化的原理

剖析這個問題的原因首先還得從等效線性化的基本原理說起，目前所有有限元軟件中采用的等效線性化方法均是六應力分量法，即將6個應力分量（3個正應力和3個剪應力）全部進行線性化處理，然后再進行薄膜、彎曲、峰值及總應力的計算。關于線性化的基本原理，本公眾號已經有多篇文章進行了詳細的介紹，如有感興趣的請參考如下鏈接文章：

1. 看似簡單的線性化路徑定義，你的選擇對嗎？應力分類線的選擇：在于精而不在于多！

2. 重要的問題說三遍！線性化！線性化！線性化究竟是如何對薄膜、彎曲、峰值應力進行劃類的？

六應力分量法存在的缺陷

等效線性化處理方法的基本思想來自材料力學和板殼理論中薄膜應力和彎曲應力（它們都是截面上的正應力）沿截面均勻分布和線性分布的現(xiàn)象。由材料力學的知識可知：彎曲應力沿截面的分布規(guī)律是線性分布的，而橫剪應力沿截面的分布規(guī)律應該是拋物線分布的，如下圖所示：

  

彎曲應力的最大值在截面的上下表面處，在中面處為零；而橫剪應力則恰恰相反，在上下表面處應力值為零，在中面處應力值最大，即彎曲應力最大的表面處橫剪應力為零，反之， 在橫剪應力最大的中面處彎曲應力為零。所以在材料力學和板殼理論中強度校核都是嚴格的按兩步進行：先校核表面處薄膜+彎曲應力能否滿足強度要求，再校核中面處薄膜應力+橫剪應力是否滿足強度要求，這才是正確完整的校核步驟。

而現(xiàn)用的等效線性化處理方法則忽略了這一基本思想，而是把6個應力分量一視同仁，都作線性化處理并混到一起去計算應力強度，這種一視同仁做法的結果就是：

（1）原本沿截面拋物線分布且在上下表面處本應該為零的橫剪應力按六應力分量法線性化等效處理后變成了沿截面均勻分布的平均剪應力，即在上下截面處人為的增加了虛假的剪應力分量，而這個平均剪應力按等效處理又被劃歸為薄膜應力成分，這就最終導致了線性化后的薄膜應力增大，進而薄膜+彎曲應力也相應增大，甚至當應力分布曲線下凹時也會出現(xiàn)薄膜+彎曲應力＞總應力的奇怪現(xiàn)象，這將直接影響P_L+Pb和P_L+Pb+Q兩項應力評定的準確性。

（2）橫剪應力的影響會導致主應力方向在x-z平面內逐漸的旋轉（如下圖所示），進而導致應力強度呈曲線分析的趨勢，與實際應力分布規(guī)律不符。

 

通過以上內容的論述，相信朋友們已經看明白了有限元軟件計算結果線性化后薄膜+彎曲應力＞總應力這種奇怪現(xiàn)象產生的原因了，導致出現(xiàn)這種現(xiàn)象是目前六應力分量等效線性化處理方法自身存在的缺陷，也是目前無法避免的，但是我們也可以看到橫剪應力的存在導致線性化后薄膜應力、薄膜+彎曲應力結果較理論值偏大，應力評定總體上是趨于保守的。從工程應用的角度來說：精度足夠、計算簡便和偏于安全，那么這種方法就是優(yōu)秀的可接受的方法。

等效線性化處理的修正方案

基于上述六應力分量線性化法存在的橫剪應力的影響缺陷，清華大學陸明萬教授和北京化工大學徐鴻教授在2006年的時候發(fā)表相關論文提出了一個等效線性化處理的修正方案，該方案回歸到材料力學和板殼理論的基本處理方法，即將等效線性化處理主要用在正應力上，具體評定步驟如下：

（1）不考慮τ_θz和τxz兩個橫剪應力（z指的是沿中面法線方向或沿校核線方向），只對其余的4個應力分量求主應力，這些主應力都是垂直于中面的（或通過校核線的）橫截面上的正應力，與材料力學和板殼理論的處理對象相一致。對于軸對稱情況，另一個橫剪應力也是零，那么只剩下三個主應力，這三個主應力分別是沿環(huán)向、軸向和徑向的正應力；

（2）對上述三個主應力作等效線性化處理，并按照通常的做法進行應力分類和應力評定；

（3）對若干橫剪應力很大的部位，尤其是同時也存在較大薄膜應力的部位，單獨進行增補的應力評定。

上述即是修正方案的處理方法，很顯然這樣處理起來確實要更精確但是也更復雜更不具備可操作性，需要專門進行用戶子程序的編制并接入有限元軟件，然后用算例來考核，并與現(xiàn)用的等效線性化處理方法進行對比。

上述方法可避免橫剪應力對應力線性化結果的影響，能夠得到更為精確的應力評定，這是2006年陸教授針對現(xiàn)行方法中缺陷提出的改進方案，但可惜的是時至今日也只是停留在論文階段，并沒有得到更多實質性的開發(fā)進展，也并未納入相關標準規(guī)范中，所以也沒有相關操作案例和工程應用案例。希望后面能有更多有熱情的朋友涌入到相關軟件程序的開發(fā)中，將一些優(yōu)秀的方法變?yōu)楣こ炭刹僮鞯膶嶋H，期待中國軟件變得越來越強大！

以上內容由筆者參考相關資料并結合自己的理解整理而得，僅供交流討論用。限于筆者專業(yè)水平有限，文中難免有不當之處，歡迎不吝批評指正！

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